精品解析：华东师大版2023-2024学年七年级数学下册期末复习试题

期末复习试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义作答． 【详解】A、该方程中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，解题关键在于掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1的整式，这样的方程叫一元一次方程． 2. 一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形周长，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边的关系确定第三边的范围，再根据第三边为奇数求出第三边即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别是3和8， ∴，即， 又∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长或， 当时，这个三角形的周长为， 当时，这个三角形的周长为， 故选D． 3. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵a＞b＞0，c≠0， ∴a-c＞b-c， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴-2a＜-2b， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 4. 如图，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，得点B，A，，在同一条直线上，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，根据平角的定义可得． 本题主要考查了旋转的性质：旋转前后对应角相等。熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】∵绕点A旋转得， ， 又∵B，A，，在同一条直线上， ∴旋转角． 故选：D． 5. 若方程组的解为，则方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二元一次方程组的解的定义得出，求解即可． 【详解】解：由题意知： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握换元法，体现了整体思想． 6. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当z=1时， ∴， ∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数； ②当z=2时， ∴， ∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数； 综上所述：共有8+6=14种购买方案． 故选：D 【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 7. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转、轴对称的定义来逐项分析，即可求解． 【详解】解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合． 故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个． 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转、轴对称的定义，熟练掌握图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称是解题的关键． 8. 在边长均为的正多边形是：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中，能与边长为的正三角形进行平面镶嵌的正多边形有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为．正三角形的一个内角为，找到一个顶点处若干个两种图形的内角度数加起来是的正多边形的个数即可． 【详解】解：正三角形的一个内角度数为， ①正方形的一个内角度数为，，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌； ②正五边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； ③正六边形的一个内角度数为，或，可作平面镶嵌； ④正八边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； 能镶嵌的只有2种正多边形． 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组宜用____法；方程组宜用_____法． 【答案】 ①. 加减 ②. 代入 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察已知方程组，确定出较好的解法即可． 【详解】解：我们知道解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组，宜用加减法；解方程组宜用代入法． 故答案为：加减；代入． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点，，在同一直线上，若，旋转角度是，则____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转变换及三角形外角的性质．关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化，还要掌握旋转角的定义．由旋转的性质可得：，由三角形外角的性质期初度数，根据，推出． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 已知是方程的解，求关于的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换． 先把代入方程得求得，再将代入方程解方程即可． 详解】解：把代入方程得 解得． 将代入方程中，得 ，解得． 故答案为：． 12. 当____时，代数式与的值相等． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列等式．根据代数式值相等列式求解即可得到答案 【详解】解：∵代数式与的值相等． ∴， 解得：， 故答案为：4 13. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是_____． 【答案】15，16或17 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案：15，16或17． 14. 如图，边长为个单位长度的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形，则_____，_____． 【答案】 ①. 5 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由平移的性质得，，进而可求出和的长． 【详解】解：由平移的性质得，， ∴，． 故答案为：5，1． 15. 如图，在中，，分别是，上的点，点在的延长线上，，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由，，得根据三角形的内角和定理得从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据4个整数解确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：1＜x＜-a-2， 由不等式组有4个整数解，得到整数解为2，3，4，5， ∴5＜-a-2≤6， 解得：-8≤a＜-7， 故答案为：-8≤a＜-7 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）方程整理后，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【小问2详解】 化整，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后用数轴表示解集即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共56分． 19. 如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可； （2）根据中心对称图形，不是轴对称图形，画出图形即可． 【详解】（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示： ； （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示： ． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，掌握轴对称和中心对称的定义是解题的关键． 20. 如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点恰好在小正方形的顶点上． （1）作图：作交的延长线于点； （2）将三角形向先右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； （3）三角形的面积是 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【解析】 【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形即可； （2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （3）利用网格的特点求三角形的面积即可． 【详解】（1）如图线段CD即为所求． （2）如图，△A′B′C′即为所求． （3）S△A′B′C′=×4×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，三角形的面积等知识，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 21. 已知、是的两条高，直线、相交于点H． （1）如图，①在图中找出与相等的角，并说明理由；②若，求的度数； （2）若中，，直接写出的度数是　 　． 【答案】（1）①，证明见解析；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形、多边形的内角和，解答本题的关键是熟练运用:三角形的内角和为，四边形的内角和为． （1）①根据同角的余角的相等即可说明；②根据四边形的内角和是，求得的度数； （2）分是锐角三角形，钝角三角形两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：是的两条高， ， ， 又， ； ②是的两条高， ， 在四边形中，， 又，， ； 【小问2详解】 解：①是锐角三角形时，； ②是钝角三角形时，； 故答案为或． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元； （3）能，方案见解析． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值即可； （2）设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台．根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的解集，再结合a的实际意义即可解答； （3）设采购A种型号电风扇m台，则采购种型号电风扇台，根据题意可列出关于m的一元一次不等式，求出m的解集，再结合（2）的条件和m的实际意义即可解答． 【小问1详解】 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； 【小问2详解】 设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 是整数， 最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元； 【小问3详解】 设采购A种型号电风扇m台，则采购种型号电风扇台， 根据题意得：， 解得：． ∵，且为整数， 在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标的相应方案有两种： 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台， 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 23. 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： 求小明原计划购买文具袋多少个？ 学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】（1）小明原计划购买文具袋17个；（2）小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 【解析】 【分析】(1)设未知数后可以根据等量关系“实际购买文具袋(比原计划多1个)的花费×0.85=原计划购买文具袋的花费-17”列方程求解； （2）设未知数后可以根据等量关系“钢笔和签字笔的总价×0.8（或80%）=272”列方程求解． 【详解】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小明原计划购买文具袋17个； （2）设小明购买了钢笔y支，则购买签字笔支， 由题意得：， 解得：， 则：． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系设未知数列方程求解是解题关键． 24. 如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转． （1）当时，则旋转角的大小为________； （2）当在OC与OB之间时，求的值； （3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）20°；（2）；（3）6°或70° 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，求出旋转角的度数，即可得到答案； （2）由旋转的性质可知，，由（1）知，根据角的和差关系，即可得到∠AOD∠COE的值； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①OD在OA与OC之间时；②OD在OC与OB之间时；设∠COE为x，根据角的和差关系列出等式，分别求出答案即可． 【详解】解：（1）由图1可知，∠AOD=， 如图2，当∠AOD=80°时，有： ∠COE=80°60°=20°， 故答案为：20°. （2）如图：由（1）知，， 由旋转的性质，可知， ∴； （3）根据题意，设∠COE为x，则 ①如图，当OD在OA与OC之间时， ∴∠AOE=90°+x，∠COD=30°， ∵∠AOE=4∠COD， ∴， 解得：； ②如图，当OD在OC与OB之间时， ∴∠AOE=90°+x，∠COD=， ∵∠AOE=4∠COD， ∴， 解得：； ∴旋转角∠COE的大小为：6°或70°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，以及角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，注意利用分类讨论的思想进行解题，题目比较好，难度不大． 25. 如图，已知射线CD∥OA，、是上的两动点，平分且满足，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）当时，求的度数； （3）在（2）的条件下，当左右平移时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）AD∥OB，见解析；（2）60°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BCD＝∠O，等量代换得到∠BCD＝∠CDA，于是得到结论； （2）根据邻补角的定义得到∠OCD＝120°，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAO，等量代换得到∠DCA＝FCA，由角平分线的定义得到∠OCE＝∠FCE，于是得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠OCA，推出∠AEC＝∠CAD，根据平角的定义得到∠AEC＋∠OEC＝180°，于是得到结论． 【详解】（1）∵CD∥OA， ∴∠BCD＝∠O， ∵∠O＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠CDA， ∴AD∥OB； （2）∵∠O＝∠ADC＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠OCD＝120°， ∵CD∥OA， ∴∠DCA＝∠CAO， ∵∠FCA＝∠FAC， ∴∠DCA＝FCA， ∵CE平分∠OCF， ∴∠OCE＝∠FCE， ∴∠ECF＋∠ACF＝∠OCD＝60°， ∴∠ACE＝60°； （3）∠CAD＋∠OEC＝180°， 理由：∵AD∥OC， ∴∠CAD＝∠OCA， ∵∠OCA＝∠OCE＋∠ACE＝60°＋∠OCE， ∵∠AEC＝∠O＋∠OCE＝60°＋∠OCE， ∴∠AEC＝∠CAD， ∵∠AEC＋∠OEC＝180°， ∴∠CAD＋∠OEC＝180°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 3. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，得点B，A，，在同一条直线上，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程组的解为，则方程组的解为（　　） A. B. C. D. 6. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 在边长均为的正多边形是：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中，能与边长为的正三角形进行平面镶嵌的正多边形有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组宜用____法；方程组宜用_____法． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点，，在同一直线上，若，旋转角度是，则____． 11. 已知是方程的解，求关于的方程的解是_____． 12. 当____时，代数式与的值相等． 13. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是_____． 14. 如图，边长为个单位长度的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形，则_____，_____． 15. 如图，在中，，分别是，上的点，点在的延长线上，，，，则_____度． 16. 若关于x的不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是_____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 四、解答题：本题共7小题，共56分． 19. 如图3×3网格图都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不轴对称图形； 20. 如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点恰好在小正方形的顶点上． （1）作图：作交的延长线于点； （2）将三角形向先右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； （3）三角形的面积是 ． 21. 已知、是两条高，直线、相交于点H． （1）如图，①在图中找出与相等的角，并说明理由；②若，求的度数； （2）若中，，直接写出度数是　 　． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： 求小明原计划购买文具袋多少个？ 学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 24. 如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转． （1）当时，则旋转角大小为________； （2）当在OC与OB之间时，求的值； （3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数． 25. 如图，已知射线CD∥OA，、是上的两动点，平分且满足，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）当时，求的度数； （3）在（2）的条件下，当左右平移时，请直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$