6.3.2数据的表示—频数分布直方图 学案 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第6章《数据收集与整理》---6.3.2数据的表示—频数分布直方图 学习目标 1) 能够理解频数分布直方图的概念，知道它是如何表示数据的分布情况的；能够掌握绘制频数分布直方图的基本步骤，包括数据的分组、计算各组频数、确定组距和边界值等；能够通过观察频数分布直方图，获取数据的中心趋势、分散程度等信息，并能够用这些信息来解释实际问题。 2) 能够经历从实际问题中抽象出数据，再到利用频数分布直方图表示数据的过程，培养数据处理和分析的能力；能够在小组合作中，通过讨论、交流、动手操作等方式，共同完成频数分布直方图的绘制和分析任务，提升团队协作和沟通能力； 3) 能够体会到数据在现实生活中的应用价值，激发对数学学习的兴趣和热情；能够培养严谨的科学态度，学会用数据说话，尊重客观事实，避免主观臆断。 重点： 需要明确频数分布直方图是用来表示数据分布情况的直观工具，掌握其绘制的基本步骤和注意事项；需要学会观察频数分布直方图，从中提取出数据的中心趋势、分散程度等信息，并能够用这些信息来解释实际问题。 难点： 数据的合理分组：学生需要根据数据的实际情况和分析需求，合理选择分组方式和确定组距，以保证频数分布直方图能够准确反映数据的分布情况。这一过程中，学生需要具备一定的数学素养和判断能力。 频数分布直方图与条形统计图的区别：虽然频数分布直方图和条形统计图在形式上有一定相似性，但它们的用途和表示的数据特征有所不同。学生需要明确这两者的区别，避免混淆使用。 课堂探究 基础知识导读1：频数分布直方图 表 6-2是本章第1节七(1)班学生的部分数据信息。查找课本寻找数据。 （1） 你能用恰当的统计图表表示该班学生的美术成绩吗?从你的图表中能看出大部分学生处于哪个等级吗?成绩的整体分布情况怎样?(2)你能用恰当的统计图表表示该班学生的课间操成绩吗?从你的图表中能看出大部分学生处于哪个分数段吗?分数的整体分布情况怎样? 像图 6-11 这样的统计图称为频数直方图。当遇到大量的数据或数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后绘制频数直方图直观地反映数据的整体分布状况。 水资源问题是全球关注的热点。为避免水资源浪费，某市政府计划例对居民家庭生活用水情况进行调查。为此，相关部门在该市通过随机抽样，获得了60户居民的月均生活用水量(单位:m)数据: 将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图反映该市居民月均生活用水的整体状况。 解:(1)确定所给数据中的最大值和最小值: (2)将数据适当分组:最大值和最小值相差26.8-2.2-24.6， (3)统计每组中数据出现的次数； （4）绘制频数直方图 【例1】 菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每4年评选一次，主要授予年轻的数学家。美籍华人丘成桐1982年获得菲尔兹奖。 下面数据是截至2014年菲尔兹奖得主获奖时的年龄： 29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37 为了更多的了解菲尔兹奖得主的年龄的分布情况，我们将这些数据适当地分组来进行整理。 1.计算最大值与最小值的差 在上面的数据中，最小值是28，最大值是40，最大值与最小值的差是12，说明年龄的变化范围是12.我们把所有数据中国最大值和最小值的差称为极差。 2. 决定组距和组数 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。本问题中我们做等距分组，即令各组的组距相同。如果从最小值起每隔2作为一组，那么由于 所以我们将数据等距分组如下:, ,,,.，如果组距为3，你还能对上述问题进行分组么？ .由于这种分组方式年龄为40的获 得者不能包含在内，因此需要再加一组，即 ，一共分7组. 这里的组数和组距分别为7和2. 组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定。将一批数据分组，一般数据越多分的组数也也多。当数据100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组。 思考：如果，组数应该为多少？为什么？ 注意：我们这一小节学习的分组方式都是等距分组，但是分组方式并不是只有等距分组一种，也有非等距分组。如：下图的例子就不是等距分组： 3. 列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数）（frequency）。整理可得下面的频数分布表。 表1-3-1 频数分布表 分组类别（年龄） 划记“正”字 频数（f） 4 4 8 8 12 14 6 4.画频数分布直方图 为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据上面的频数分布表画出频数分布直方图（Histogram）. 图1-3-1 在上图中，横轴表示年龄，纵轴表示频数与组距的比值，很容易看出： . 可见，频数分布直方图中小长方形的高是频数与组距的比值，而小长方形的面积恰好反映了数据落在各个小组内的频数的大小。等距分组时，各小长方形的面积就是频数，小长方形面积与高的比值就是常数——组距。 在等距分组的情况下，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）。因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数. 例如，上图中的等距分组问题通常用下图的形式来表示： 一眼 直接观察纵轴就可以得到信息。 图1-3-2 思考：如果分组方式不是等距分组，那么上述的两种形式的统计图会有什么区别? 【例2】 一个大米批发商统计了前60个星期的销售量（单位：t），销售量如下表： 18.9 25.4 23.4 21.2 22.8 20.9 21.7 26.7 19.4 23.6 24.3 22.2 21.7 25.3 26.8 19.2 19.9 20.5 21.3 22.9 21.9 22.3 21.4 19.2 23.5 20.5 22.1 22.7 23.2 21.7 24.4 20.4 19.7 23.5 21.6 19.8 22.3 20.2 22.4 20.3 21.2 23.2 23.9 23.3 21.0 18.5 24.1 22.6 23.7 25.6 25.9 26.3 25.4 24.2 21.8 19.6 20.4 22.5 25.1 19.1 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图： 解：（1）计算最大值与最小值的差. （2）决定组距和组数. （3） 列频数分布表. （4） 画频数分布直方图. 总结与归纳：频数分布直方图 一、基本概念： 1. 频数：数字出现的次数有的多有的少，或者说它们出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数.注：在统计频数多少的时候，为了方便我们一般通过数“正”字笔画的方法累计．也可使用其他方法. 2. 组数：把全体样本分成的组的个数称为组数. 3. 组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点的距离. 4. 极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差. 组距=极差除以组数. 5. 频数分布直方图：有若干个宽等于组距、面积或高直接表示每一组频数的长方形组成的统计图.功能：①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别． 二、画频数分布直方图的步骤： 1．找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差（极差）； 2．决定组距和组数； 3．确定分点； 4．将数据以表格的形式列出来；（列出频数分布表） 5．画频数分布直方图（横坐标为组距、纵坐标是频数与组距的比或频数）. 三、区别条形统计图与频数分布直方图 1．条形图是用条形的高度表示频数的大小，而直方图实际上是用长方形的面积表示频数，当长方形的宽相等的时候，把组距看成单位“1”，用矩形的的高表示频数； 2．条形图中，横轴上的数据是孤立的，是一个具体的数据，而直方图中，横轴上的数据是连续的，是一个范围； 3．条形图中，各长方形之间有空隙，而直方图中，各长方形是靠在一起的，中间无空隙. 课堂练习 一、单选题 1. 为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1min仰卧起坐次数，并绘制如图所示的频数直方图，请根据图中的信息，计算仰卧起坐次数在次的百分比是（    ） A． B． C． D． 2. 为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了调查．根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于所占的百分比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3. 某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．已知检测综合得分大于或等于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品合格的有 件． 4. 昭通市某校为了提高学生的综合素质，培养学生的核心素养，举办了2024届“汉字听写”大赛，成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（85分及以上）的学生有 人． 三、解答题 5. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值但不含最大值）和频数分布直方图： 40名学生知识竞答测试成绩频数分布表 分组 划记 人数（频数） 60~70 70~80 正 8 80~90 正正正 18 90~100 40名学生知识竞答测试成绩频数分布直方图 根据上述数据，解答下列问题： (1)将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图． (2)若绘制扇形统计图，则“70~80分”这组对应扇形的圆心角的度数是________． (3)该校将知识竞答测试成绩为“80~90分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数． 6. 某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额x(单位：元)，将数据分组如下：A．；B．；C．；D．；E．，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)A组的频数是_____，本次调查的样本容量是_____； (2)补全频数分布直方图(需标明各组频数)； (3)所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？ 7. 某区八年级有名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分进行统计． 成绩（分） 频数 频率 请你根据不完整的表格，回答下列问题： (1)请直接写出，，，的值 (2)若将得分转化为等级，规定评为“”，评为“”，评为“”， 评为“”，这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”？ 28~30 28 30 32 34 36 38 40 42 2 30~32 28 30 32 34 36 38 40 42 2 32~34 28 30 32 34 36 38 40 42 4 34~36 28 30 32 34 36 38 40 42 4 36~38 28 30 32 34 36 38 40 42 6 38~40 28 30 32 34 36 38 40 42 7 40~42 28 30 32 34 36 38 40 42 3 年龄/岁 频数/组距 28~30 28 30 32 34 36 38 40 42 4 30~32 28 30 32 34 36 38 40 42 4 32~34 28 30 32 34 36 38 40 42 8 34~36 28 30 32 34 36 38 40 42 8 36~38 28 30 32 34 36 38 40 42 12 38~40 28 30 32 34 36 38 40 42 14 40~42 28 30 32 34 36 38 40 42 6 年龄/岁 频数 2 学科网（北京）股份有限公司 $$