精品解析：陕西省西安市航天城第二中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

2023-2024学年陕西省西安市航天城二中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、红两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中红球可能有（ ） A. 30个 B. 12个 C. 75个 D. 20个 2. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得新抛物线顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ） A. y=﹣x2﹣2x﹣3 B. y=x2﹣2x﹣3 C. y=x2﹣2x+3 D. y=﹣x2+2x﹣3 4. 某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（　　） A. 3元 B. 4元 C. 5元 D. 8元 5. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ 　 ） A. 6m B. m C. m D. m 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 8. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=，则△ADC的周长等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B，若，过点A作轴，垂足为M，连接，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是_____． 12. 在中，，，，则的度数为________． 13. 二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有______．（填序号） 14. 已知是抛物线与轴的一个交点·，则的值等于_____． 15. 已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 _____． 16. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 三、解答题 17. （1）； （2）． 18. 如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，转盘被等分成4个扇形，转盘上1，2，3，4四个数字分别代表鸡、猴、鼠、羊四种生肖邮票（每种邮票各两枚，鸡年邮票面值“80分”，其他邮票面值都是“1.20元”），转动转盘后，指针每落在某个数字所在扇形--次就表示获得该种邮票一枚（指针落在分界线时重转）. （1）任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率是___ ； （2）任意转动转盘两次，求获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件的概率. 20. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） （1）求点C到点D的水平距离的长； （2）求楼的高度． 21. 如图，利用长度为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度），墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为，试求宽的长度； （2）按题目的设计要求，能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 22. 如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段上一个动点，但不与点B，C重合，反比例函数的图象过点F，与线段交于点E，连接． （1）当点E是线段的中点时，求点F的坐标； （2）若的面积为6，求反比例函数的表达式． 23. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 24. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网． 25. 如图，已知在⊙O中，AB,CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段. (1)求圆心O到CD的距离； （2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长. 26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年陕西省西安市航天城二中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、红两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中红球可能有（ ） A. 30个 B. 12个 C. 75个 D. 20个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求红球即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则， 即布袋中红球可能有个， 故选：A． 2. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得新抛物线顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度的二次函数的解析式为，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：． 3. 抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ） A. y=﹣x2﹣2x﹣3 B. y=x2﹣2x﹣3 C. y=x2﹣2x+3 D. y=﹣x2+2x﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：把(3，0)与(2，−3)代入抛物线解析式得： ， 由直线x=1为对称轴，得到=1，即b=−2a， 代入方程组得：， 解得：a=1，b=−2，c=−3， 则抛物线解析式为y=x2−2x−3， 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式． 4. 某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（　　） A. 3元 B. 4元 C. 5元 D. 8元 【答案】B 【解析】 【分析】设每件降价元，每天获得的利润为元，根据销售问题的数量关系表示出与之间的关系式，转化为顶点式即可． 【详解】解：设每件降价元，每天获得的利润为元， 则 ． ， 时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 5. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 6. 如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ 　 ） A. 6m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】根据Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，AB=6，得到，根据，BD=2AB=12，得到，推出． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°， ∴， ∵AB=6， ∴， ∵, ∴BD=2AB=12， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及计算方法． 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=，则△ADC的周长等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，然后求出∠B+∠C=90°，根据翻折的性质可得∠C=∠ADC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，证得△ADC是等边三角形，再求解即可． 【详解】解：∵AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， ∴∠B+∠C=90°， 由翻折的性质得，∠C=∠ADC， 由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠B+2∠B=90°， 解得∠B=30°，则∠C=∠ADC=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴AC= AB tan30°=1， ∴△ADC的周长等于3， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，特殊角的三角函数值等，熟记各性质是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，连接AC，交于点E，根据菱形的性质，矩形的性质，勾股定理计算，设矩形的面积为S，构造二次函数，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】设， 因为四边形是菱形，，， 所以， 连接AC，交于点E， 因为四边形是菱形，四边形是矩形，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 设矩形的面积为S， 所以， 所以当x=3时，S的面积最大，最大值为， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B，若，过点A作轴，垂足为M，连接，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则，，代入解析式求得，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可得到，进一步得出． 【详解】解：∵直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B， ∴点A与点B关于原点中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，垂足为M， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是_____． 【答案】﹣3≤x≤0． 【解析】 【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0． 故答案为：﹣3≤x≤0 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 12. 在中，，，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据，由特殊角三角函数值即可得出角度，从而求解． 【详解】解：，，， ∴ ∴ 故答案为：． 13. 二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】根据图象与轴有两个交点可判定①；根据对称轴为可判定②；根据开口方向、对称轴和与轴的交点可判定③；根据当时以及对称轴为可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤． 【详解】解：由函数图像可知，该函数与坐标轴有两个交点， ，故①正确； 由函数图像可知，，， 抛物线的对称轴为， ，，故②正确； ，故③错误； 根据图可知，当时的值与当时的值相同， 当时，，故④错误； 二次函数的顶点坐标为， 二次函数与直线只有一个交点， 有两个相等的实数根，故⑤正确， 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系，与坐标轴的交点问题，二次函数图像判断式子的符号，二次函数与一元二次方程，根据所给函数图像找出所需信息是解题的关键． 14. 已知是抛物线与轴的一个交点·，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，将代入函数解析式可得的值即可求解，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：将代入得， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 _____． 【答案】17或7 【解析】 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点O的两侧，作于M，延长交于N，连接， 因为， 则， ， ，， ， ∴此时弦与之间的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， ， ， ， ， ∴此时弦与之间的距离为7， ∴弦与之间的距离为17或7． 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 16. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17. （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点C即为所求． ． 【解析】 【分析】连接，过点O作垂直交于点C，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 19. 如图，转盘被等分成4个扇形，转盘上1，2，3，4四个数字分别代表鸡、猴、鼠、羊四种生肖邮票（每种邮票各两枚，鸡年邮票面值“80分”，其他邮票面值都是“1.20元”），转动转盘后，指针每落在某个数字所在扇形--次就表示获得该种邮票一枚（指针落在分界线时重转）. （1）任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率是___ ； （2）任意转动转盘两次，求获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意，可得出任意转动转盘一次，共有4种可能情况，则获得猴年邮票的概率即可求得； （2）首先根据题意列举出所有可能的情况，找出符合要求的，即可求出概率. 【详解】（1） 根据题意，任意转动转盘一次，共有4种可能情况，获得猴年邮票的概率是； （2）根据题意，列表如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 由表格可知，共有16种等可能的结果，满足“转动转盘两次，获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件”（记为事件）的结果有9种，所以，即任意转动转盘两次，获得的两枚邮票可以邮寄一封 需2.4元邮资的信件的概率是. 【点睛】此题主要考查概率的求解，根据题意采用相应的方法，即可解题. 20. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） （1）求点C到点D的水平距离的长； （2）求楼的高度． 【答案】（1）40米 （2）楼的高度约为80米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长； （2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 21. 如图，利用长度为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度），墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为，试求宽的长度； （2）按题目的设计要求，能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）长为12米 （2）能，围成长为15米，宽为11米的矩形花圃时，其最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用， （1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可； （2）求出花圃面积与长度的函数关系式，根据二次函数的性质和长度取值范围求出面积的最大值． 【小问1详解】 设花圃的宽米，则为米 ， 解得， ， ， （当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意．） 答：长为12米； 【小问2详解】 能围成面积比更大的矩形花圃． 设花圃的面积为y，则． （开口向下），对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ． ∴当时，有最大值，且最大值为165， 此时，，即围成长为15米，宽为11米的矩形花圃时，其最大面积为． 22. 如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段上一个动点，但不与点B，C重合，反比例函数的图象过点F，与线段交于点E，连接． （1）当点E是线段的中点时，求点F的坐标； （2）若的面积为6，求反比例函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到，，再根据点E是线段的中点，得到，由此求出反比例函数解析式，再求出当时，反比例函数的函数值即可得到答案； （2）先求出，得到，则，，由，建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，轴，轴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点E， ∴，即， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，轴，轴， ∴，，， ∵点E、F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点F不在线段上，不符合题意； ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润． 此题主要考查了二次函数、一次函数等知识点的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型利用函数的增减性得出最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，将代入， 得， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，网店每天的销售利润为W元 ． 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 答：当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元． 24. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网． 【答案】（1） （2）能， 理由： 当时，， ， 此球能过网． 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【小问1详解】 解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 25. 如图，已知在⊙O中，AB,CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段. (1)求圆心O到CD的距离； （2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【详解】（1）根据垂径定理，得AF=7，因为AE=4，所以EF=OG=3 （2）连接OD,GD= ，所以CD= 26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）设二次函数的交点式为y=a，将C点代入交点式，求出a，即可得出解析式； （2）设出N点坐标（n，-n2-n+2），利用未知数表示出△NAC的面积的表示方法，再利用二次函数求最值的方法，求出面积的最大值； （3）利用等腰三角形的特点，分类进行分析，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，包括求解析式，面积问题，等腰三角形求值问题，掌握相关知识点并进行熟练运用是解综合题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $