精品解析：湖南省长沙市麓山外国语实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

2024年下学期初三暑假作业检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本7，7，6，5，4的众数是2 B. 样本2，2，3，4，5，6的中位数是4 C. 样本39，41，45，45不存在众数 D. 5，4，5，7，5的众数和中位数相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数定义和中位数定义对各选项进行一一分析判定即可． 【详解】A. 样本7，7，6，5，4的重复次数最多的数是7，所以众数是7，故选项A不正确； B. 样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，所以中位数是，故选项B不正确； C. 样本39，41，45，45重复次数最多的数字是45，故选项C不正确； D. 5，4，5，7，5，将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的众数是5和中位数为5，所以众数和中位数相等，故选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查众数与中位数，掌握众数与中位数定义，一组数据中重复次数最多的数据是众数，将一组数据从小到大排序后，处于中间位置，或中间位置上两个数据的平均数是中位数是解题关键． 2. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ） A. 21 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法求的值． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ， 故选：A． 3. 某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为万元，利用该企业今年5月份产值该企业今年3月份产值这两个月的平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：该企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了， 该企业今年4月份产值为万元，5月份产值为万元． 根据题意得：． 故选：D 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程化为一般式为：有实数，然后根据一元二次方程的定义和的意义可得且，即，再解两个不等式，它们的公共部分即为的取值范围． 【详解】解：方程化为一般式为：有实数， 关于的一元二次方程有实数根， 且，即，解得， 的取值范围是且． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 6. 解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是　（　　　） A. 直接开平方法． B. 配方法 C. 公式法 D. 分解因式法 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0， 即（10x-5）（5x-1）=0， 根据分析可知分解因式法最为合适． 故选D． 7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：C 8. 如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意； B．∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，ab＜0， 当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限； 此时，A选项符合， 当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限； 此时，没有选项符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系． 10. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论． 【详解】解：抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”， 方程有且只有一个解， 即，， ， ， ， ． 整数c的取值有1、2共2个， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一组数据含有三个不同的数：3，8，7，它们的频数分别是3，5，2，则这组数据的平均数是______． 【答案】6.3 【解析】 【分析】本题是求加权平均数，根据加权平均数的公式即可求解． 【详解】根据题意可得，这组数据的平均数=（3×3+8×5+7×2）÷（3+5+2）=6.3． 故答案为6.3． 【点睛】正确理解加权平均数的计算方法是解决本题的关键． 12. 如果一次函数中，随的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性即可得． 【详解】由题意得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质（增减性），熟记一次函数的性质是解题关键． 13. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查配方法．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 14. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，进行求解即可． 【详解】解：当时， 解得（舍去）， 故此运动员将铅球推出的距离是． 15. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的不动点概念得出，是方程的两个实数根，由知且时，据此得，解之可得．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式． 【详解】解：由题意知，是方程的两个不相等实数根，且， 整理，得：， 由有两个不相等的实数根，且由知， 令，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得， 故答案为： 16. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，若是“勾系一元二次方程”的一个根，若四边形的周长是，则面积为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此类考查了勾股定理的证明，利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】把代入得， ∴， ∵四边形的周长是， ∴ ∴， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法求解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，一次函数：的图象与x轴交于点D，一次函数：的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． （1）求一次函数：的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图象写出的函数值大于1且直线在直线上方时对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 ∵点在直线：上， ∴， 解得； ∵点、在直线上， ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图象可得，不等式组的解集为． 19. 设，是关于x的方程的两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．根据根与系数的关系及根的判别式计算即可 【小问1详解】 解：根据题意得， 即， 解得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ，， ， 解得，（舍），， 综上所述，k的值为1． 20. 为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中的值为_________； （II）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买37号运动鞋多少双？ 【答案】（Ⅰ）40人，15；（II）众数为35，中位数为36；（III）40双． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得的值； （II）根据众数和中位数的定义即可得； （III）利用200乘以37号鞋的学生所占百分比即可得． 【详解】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：40人，15； （II）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36， ∴这组样本数据的中位数为； （III）（双）， 答：建议购买37号运动鞋40双． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、众数和中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为．对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【小问1详解】 将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 因为，且抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． （2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台． 23. 网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）． 销售单价x（元） 22 27 日销量y（千克） 200 150 （1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设日销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得：，解得， 则日销售量与销售单价的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，， ∴由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1210， 答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元． 24. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 【答案】（1）△POD为一中美三角， 理由如下：过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图： ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC， ∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形， ∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC， ∴OF＝FC， ∴OF＝ED， ∵OP⊥OD， ∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1， 在△DEO和△OFP中，  ， ∴△ DEO≌△OFP（ASA）， ∴OD＝OP， 又∠DOP＝90°， ∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）P（﹣2，2） （3）m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案； （3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD= BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，- m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设P（m，﹣2m﹣2）， ∵点A（﹣2，0），点B（0，2）， ∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8， BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16， AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8， △ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图： ①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2， ∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8， 解得m＝﹣2， ∴P（﹣2，2）； ②若AP、AB为腰，同理可得： 5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16， 满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； ③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8， 没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； 综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）； 【小问3详解】 连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图： ∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC，BC＝3，D（，）， ∴∠BCO＝45°， ∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°， ∴∠OPB＝∠BCO， ∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上， ∵∠BOC＝90°， ∴D为△BOC的外接圆圆心， ∴PD＝BC＝， 设直线AC为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AC为y＝3x+3， 设P（t，3t+3）， ∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2， 解得t＝﹣或t＝0（舍去）， ∴P（﹣，）， 设直线BP为y＝sx+r， 则， 解得 ， ∴直线BP为y＝﹣x+1， ∵Q点横坐标为m， ∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1）， ∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2， ∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝时，S△PBQ有最大值为， 此时Q（，）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积等知识，综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且顶点P的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，．求面积的最大值及此时点的横坐标； （3）如图2，设点是抛物线对称轴上的一点，且在点的下方，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，直线交抛物线于点（点与点不重合），判断此时能否求出点的坐标，如能，求出点的坐标，不能，说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，点的横坐标为； （3）能， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）证明，得到，，则点，求出直线的表达式，进而求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 当时，， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，点， 则面积， ，故函数由最大值， 当时，面积的最大值为； 【小问3详解】 能求出点的坐标，理由： 设点，如图2， 当点在点的下方时， 过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ，， ， ，， 点， 设直线的表达式为：， 则，解得， 故直线的表达式为：， 联立得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：包括二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；用三角形全等的知识解决线段相等的问题；解一元二次方程；理解坐标与图形性质等，综合运用这些知识解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期初三暑假作业检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本7，7，6，5，4的众数是2 B. 样本2，2，3，4，5，6的中位数是4 C. 样本39，41，45，45不存在众数 D. 5，4，5，7，5的众数和中位数相等 2. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ） A. 21 B. C. D. 9 3. 某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是　（　　　） A. 直接开平方法． B. 配方法 C. 公式法 D. 分解因式法 7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 9. 当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一组数据含有三个不同的数：3，8，7，它们的频数分别是3，5，2，则这组数据的平均数是______． 12. 如果一次函数中，随的增大而减小，那么的取值范围是___________． 13. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为_______． 14. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 15. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是_______． 16. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，若是“勾系一元二次方程”的一个根，若四边形的周长是，则面积为_______． 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法求解下列方程： （1） （2） 18. 如图，一次函数：的图象与x轴交于点D，一次函数：的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． （1）求一次函数：的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 19. 设，是关于x的方程的两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中的值为_________； （II）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买37号运动鞋多少双？ 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）当时，求y的取值范围． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 23. 网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）． 销售单价x（元） 22 27 日销量y（千克） 200 150 （1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？ 24. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且顶点P的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，．求面积的最大值及此时点的横坐标； （3）如图2，设点是抛物线对称轴上的一点，且在点的下方，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，直线交抛物线于点（点与点不重合），判断此时能否求出点的坐标，如能，求出点的坐标，不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $