精品解析：江苏省盐城市射阳中学2025届高三上学期阶段检测1（9月）数学试题

数学学科阶段检测1 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设是奇函数，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 10. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：______. 13. 若函数，则不等式的解集为____________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. （1）设，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值：． 16. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 17. 已知函数，， （1）求的最小正周期； （2）函数最大值； （3）求的单调增区间. 18. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科阶段检测1 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数性质及交集的概念直接运算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 3. 已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 4. 下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期， 若，则，且在内单调递减， 则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误； 对于选项C：若时，函数无意义，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故D错误； 故选：A. 5. 已知函数在上单调递增，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意在上恒成立，求的取值范围即可. 【详解】函数在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，的取值范围为. 故选：B. 6. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解. 【详解】若的值域为， 则对有，解得或， “”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 设是奇函数，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求出常数，再利用对数函数单调性解不等式. 【详解】由函数是奇函数，得该函数定义域内实数，恒有， 即恒成立， 因此，则，解得，， 不等式，即，整理得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则， 所以，故， 又，故， 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 10. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，根据判别式分类讨论可得；B项，有极值点转化为，结合A项可得；C项，取，验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程的两根且，解出系数，代入函数求解极值即可判断. 【详解】， 则，令， . A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点； 当时，方程有两个不等的实数根，设为，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点； 综上所述，不可能只1个极值点，故A错误； B项，当有极值点时,有解，则， 即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点； 故，故B正确； C项，当时，， ，所以， 则曲线关于对称， 即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确； D项，不等式的解集为， 由A项可知仅当时，满足题意. 则且，且在处取极大值. 即，则有， 故， ， 又， 解得， 故， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故在处有极大值，且极大值为； 在处有极小值，且极小值为； 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化，一是解集区间的端点是方程的根，二是在处取极值，从而. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】运用诱导公式直接化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 若函数，则不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数为减函数，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用单调性和奇偶性将不等式化为，即可求得不等式的解集. 【详解】设，, 则，所以函数在上为减函数， 又， 所以函数为奇函数， 由，可得， 即，即， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为_______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】先由图象求出，接着将点代入函数结合正弦函数性质和求得，再由和求出，进而求得函数解析式，对于①，计算即可判断；对于②，计算即可判断；对于③，先求出的单调递减区间即可判断；对于④，由得即可得，从而即可求出在区间上的值域. 【详解】由图得，，故有， 将点代入函数得，即， 所以或，又， 所以，故， 又，所以， 所以， 又由图像可知，又， 所以，所以，所以， 对于①，因为，所以不关于点对称，故①错； 对于②，因为，故②正确； 对于③，令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 故当时，函数在区间上单调递减， 因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确； 对于④，时，，所以， 所以，所以在区间上的值域为，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由图象求出函数的解析式，而求是本题难点，故求函数的解析式的关键在于求出，通过图像特征得出和即可求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. （1）设，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值：． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值，结合范围即可得到答案； （2）利用同角三角函数的基本关系、辅助角公式和二倍角公式，求得所给式子的值. 【详解】解：（1）∵为锐角，，且，∴； ∵为锐角，，且，∴， ∴， ∵，∴； （2） 16. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【小问1详解】 依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； 【小问2详解】 当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 17. 已知函数，， （1）求的最小正周期； （2）函数最大值； （3）求的单调增区间. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式化简，即可由周期公式得解. （2）由函数解析式以及正弦函数性质即可得最大值. （3）令，解该不等式即可得解. 【小问1详解】 由题 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，， 所以函数最大值为. 【小问3详解】 令得， 所以函数的单调增区间为. 18. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解； （2）求导，分和讨论导数符号即可得解； （3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，由题知， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，无最小值， 当时，在处取得最小值，所以， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 即的最大值为. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $