精品解析：河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期开学检测数学试题

2024-2025学年高二上学期开学检测数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则边所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 2. ，，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知直线与直线交于，则原点到直线距离最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ） A. B. C. D. 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 为直角三角形 C. 的面积为6 D. 的面积为12 11. 已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 圆P的圆心坐标为 C. 圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D. 的最小值为 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 求过两条直线和交点，且与平行的直线方程___________. 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为______. 四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆C过三点． （1）求圆C方程； （2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 16. 已知直线交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）若的中点为为坐标原点，求的最大值. 17. 已知顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 18. 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 19. 已知点，曲线上任意一点均满足. （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期开学检测数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则边所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解. 【详解】, 故直线方程为，即， 故选:A 2. ，，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可. 【详解】由题意，则当且仅当，即，解得. 故选：C. 3. 设椭圆：（）左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在上求得椭圆方程；再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由于点在上，所以，得，， 所以椭圆：，则，. 由椭圆的定义，，而， 所以的周长为. 故选：B. 4. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线距离小于等于半径,然后利用点到直线的距离公式即可. 【详解】圆的圆心为,半径为，直线：， 直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径, 即，即， 故，即,解得. 设直线倾斜角为,则,所以. 因为，所以, 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选:C. 5. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 6. 已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 7. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可知，进而可得，相交于圆心，列式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为1， 因为，则， 由题意可知：，相交于圆心， 则，整理得所以． 故选：B. 8. 已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，再结合两圆的位置关系，即可列式求解. 【详解】设，，，若， 则， 即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 由条件可知，圆与圆有交点， 则，解得：， 所以的最大值为. 故选：B 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 为直角三角形 C. 的面积为6 D. 的面积为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 圆P的圆心坐标为 C. 圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,可先将椭圆化为标准式，再由参数关系可直接求离心率；对于B，可先将圆化为标准式，可直接得到圆心；对于C，取圆上的一些特殊点判断其与特殊点的位置关系，再联立椭圆与圆的方程判断有无交点，两者结合即可判定椭圆与圆的位置关系；对于D，可先求的最值，再通过圆上的点的常用几何结论，来求的最小值. 【详解】对于A，椭圆C的方程可化为，则半焦距， 所以离心率，故A错误； 对于B，圆P的方程可化为，则圆心为，故B正确； 对于C，圆P上的点显然在椭圆C内， 联立可得， 而， 所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确； 对于D，设， 则 则， 所以时，取得最小值， 又B是圆：上一点，即可得, 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线交点坐标，设出直线方程，代入点求出，得到答案. 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 设直线方程为， 将代入得，解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解. 详解】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为： 四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆C过三点． （1）求圆C的方程； （2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【小问1详解】 解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 16. 已知直线交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）若的中点为为坐标原点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合点到直线距离公式，根据垂径定理列式求解，即可求解； （2）设，利用结合数量积的坐标运算求得点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求解最值即可. 【小问1详解】 由题意知，圆心到直线的距离为， 故，故， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设，因为是的中点，所以，所以， 又直线过定点，所以， 所以， 整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最大值为. 17. 已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用垂直可得答案； （2）根据，及方程可得C的坐标，结合点斜式方程可得答案. 【小问1详解】 由条件设，因为所在的直线和垂直， ∴，∴. ∴，. 【小问2详解】 设，，因为，∴， ∴. ∴，，因为在，∴. ∴，∴， ∴的方程为，即. 18. 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 【答案】（1）直角坐标系见解析，， （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，依题意可得半圆的方程，求椭圆的确定半椭圆方程. （2）当的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点的横坐标为，，由得,即可求得结果. 【小问1详解】 以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由已知，圆的半径为，则半圆的方程为． 椭圆的短半轴长，又， 所以， 所以半椭圆的方程为． 【小问2详解】 设第一象限内的点的横坐标为，则，． 由得， 解得，此时． 故达到最佳美观的效果时长为． 19. 已知点，曲线上任意一点均满足. （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的坐标，由题知，即，化简方程即可； （2）法一：考虑直线斜率不存在与存在两种情况.当斜率存在时，设直线方程，代入圆的方程消元后，利用直线的斜率之和，即可证明； 法二：考虑直线斜率为零和不为零两种情况.当直线斜率不为零时，设直线方程，代入圆的方程，消元后，利用直线的斜率之和，即可证明； 法三：根据题意得，在中由正弦定理知 ①②两式相比，可得，即可证明. 【小问1详解】 设的坐标，由， 得， 化简，得，即. 故的轨迹方程为. 【小问2详解】 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 当与轴不垂直时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为 由得. 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上， 方法二：当与轴重合时，. 当与轴不重合时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为. 由得 . 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上，. 方法三：由题意，，所以， 在中由正弦定理知 ①② 因为，所以， ①②得， 又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$