7.3 三角函数的图象和性质14题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.3 三角函数的图象和性质14题型分类 知识点1 周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点2 正弦函数图像与性质 1、正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 注：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 2、正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 注：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点3 正弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 注：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点4 余弦函数图像与性质 1、余弦曲线 （1）定义：余弦函数的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象 注:（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 2、余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 注：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点5 余弦型函数的性质 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 注：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 知识点6 正切函数的图象与性质 1、正切函数的图像 正切函数，且，图象： 2、正切函数的性质 （1）定义域： （2）值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． （3）周期性：周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：奇函数，即． （5）单调性：在开区间，内，函数单调递增 注：（1）观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 （2）正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 知识点7 正切型函数的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”； （2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围． 4、周期： 知识点8 五点作图法 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点9 伸缩变换 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 注：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的： （1）先把的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位； （2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）； （3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）． （一） 1.用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 2.分类讨论解决绝对值问题 3.利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 题型1：五点法作三角函数的图象 1-1．（2024高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 1-2．（2024高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 1-3．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的解析式； (2)用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像． 1-4．（2024高一下·安徽宿州·期中）已知函数． (1)用“五点（画图）法”作出在的简图； (2)求函数的单调递减区间． 1-5．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)求，的单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围. 题型2：含绝对值的三角函数 2-1．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象 2-2．（2024高一·全国·课后作业）利用正弦或余弦函数图象作出的图象． 2-3．（2024高一下·上海·课后作业）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. 2-4．（2024高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 题型3：识图问题 3-1．（广西防城港市高级中学2023届高三下学期2月月考数学（理）试题）如图所示，函数（且）的图像是（    ）. A．   B．   C．   D．   3-2．（2024高一上·全国·课后作业）函数的简图是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024·浙江绍兴·三模）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高三上·四川成都·阶段练习）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   （二） 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 题型4：解三角不等式问题 4-1．（2024高一·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 4-2．（2024高一·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围： (1)； (2)； (3)． 4-3．（2024高一·全国·随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合： (1)； (2)． （三） （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． （4）一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期． 题型5：三角函数的周期问题 5-1．（2024高一·山东临沂·期末）函数最小正周期是（    ） A．3 B． C． D． 5-2．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5-4．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 5-5．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． （四） 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 题型6：三角函数的奇偶问题 6-1．（2024高三上·河南开封·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6-2．（2024高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 6-3．（2024高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 6-4．（2024高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 6-5．（2024高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． （五） （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． （4）正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 题型7：三角函数的对称问题 7-1．（2024高一下·重庆·阶段练习）函数图象的对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 7-3．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数图象的对称中心可能是(    ) A． B． C． D． 7-4．（2024高一下·广西南宁·期中）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 7-5．（2024高一下·广西南宁·阶段练习）函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． （六） 1.（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． （3）求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 2.已知三角函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 3.比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 题型8：三角函数的单调问题 8-1．（2024高一下·陕西汉中·期中）函数的单调递增区间为 ． 8-2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 8-3．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 题型9：根据三角函数单调性求参数的范围问题 9-1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：三角函数比较大小问题 10-1．（2024高一下·江西南昌·期中）若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10-2．（2024高一下·江西南昌·阶段练习），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10-3．（2024高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数.令，，，则（    ） A． B． C． D． 10-4．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． （七） 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 题型11：三角函数的最值与值域问题 11-1．（2024高一上·甘肃天水·期末）函数，的值域为 ． 11-2．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，函数的值域为 . 11-3．（2024高一上·北京·期末）函数，的值域为 . 11-4．（2024高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 11-5．（2024高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 . （八） 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 题型12：根据函数图象求解析式 12-1．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 12-2．（2024高一下·四川自贡·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 12-3．（北京市十一学校2023-2024学年高一上学期国际部AP项目Pre-Cal-Honors期末考试数学试题）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ） A．2， B．2， C．2， D．4， （九） 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 题型13：函数图象的变换 13-1．（2024高三上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 13-2．（2024高一下·重庆·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（     ） A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 13-3．（2024高一上·山东济宁·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 13-4．（2024高一下·山东威海·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，再把所得到的曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则 . 13-5．（2024高一上·安徽滁州·期末）已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则 ． 13-6．（2024高一上·北京·期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位； B．向右平移个单位； C．向左平移个单位； D．向右平移个单位 （十） 研究函数性质的基本策略 （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 题型14：三角函数图象与性质的综合应用 14-1．【多选】（2024高一下·广东佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 14-2．【多选】（2024高一下·四川广元·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（ ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为 C． D． 14-3．【多选】（2024高一·全国·课后作业）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C． 的一个零点为 D．在单调递减 14-4．【多选】（2024高一下·江苏连云港·期中）函数在一个周期内的的图象如图示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．对，都有 D．对，都有 一、单选题 1．（2024高一下·四川眉山·期中）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．2 D．4 4．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·四川广元·阶段练习）已知函数，则其部分大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 7．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·安徽合肥·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·全国·课堂例题）把函数（，）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（2024高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 13．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·辽宁丹东·期末）要得到的图像，只要将的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 16．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二上·广西贵港·开学考试）要得到函数的图象，需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 18．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，则（     ） A．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图先 B．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 D．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 19．（2024高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 20．（2024高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（        ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 21．（2024高一下·湖北恩施·期末）函数的部分图象如图所示， 则（    ）    A． B． C． D． 22．（2024高一下·北京昌平·期末）设函数的部分图象如图所示，那么（    ）    A． B． C． D． 23．（2024高一下·全国·课后作业）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）函数在区间内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   25．（2024高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 26．（2024·宁夏银川·模拟预测）若，（），则（    ） A． B． C．0 D． 27．（2024高一上·全国·课后作业）函数（其中）的图象如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 28．（2024高二上·山西·阶段练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 29．（2024高一下·广西钦州·期中）要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 30．（2024高一·江苏·专题练习）下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（    ） A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移； C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的. 三、填空题 31．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    32．（2024高一下·辽宁·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 33．（2024高一·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 34．（2024高一上·陕西西安·期末）已知函数，则 ． 四、解答题 35．（2024高一上·全国·课后作业）利用“五点法”作出函数的简图. 36．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在单调递增区间； (2)当时，的最大值为，最小值为，求实数，的值． 37．（2024高一·全国·随堂练习）分别求出使下列各组条件成立的x的集合： (1)； (2)． 38．（2024高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 39．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为． (1)给出函数的解析式，并说明理由； (2)求函数在上的单调递增区间． 40．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)若方程在上的解为，求. 41．（2024高一·全国·随堂练习）已知，分别求适合下列各条件的x的集合： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.3 三角函数的图象和性质14题型分类 知识点1 周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点2 正弦函数图像与性质 1、正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 注：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 2、正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 注：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点3 正弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 注：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点4 余弦函数图像与性质 1、余弦曲线 （1）定义：余弦函数的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象 注:（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 2、余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 注：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点5 余弦型函数的性质 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 注：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 知识点6 正切函数的图象与性质 1、正切函数的图像 正切函数，且，图象： 2、正切函数的性质 （1）定义域： （2）值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． （3）周期性：周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：奇函数，即． （5）单调性：在开区间，内，函数单调递增 注：（1）观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 （2）正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 知识点7 正切型函数的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”； （2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围． 4、周期： 知识点8 五点作图法 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点9 伸缩变换 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 注：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的： （1）先把的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位； （2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）； （3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）． （一） 1.用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 2.分类讨论解决绝对值问题 3.利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 题型1：五点法作三角函数的图象 1-1．（2024高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【答案】见解析 【分析】先根据的范围，求出的范围，再根据找到端点，最大最小值和对称中心，对应的的值,列表作图. 【详解】 根据五点法作图列表得： 画图像得： 1-2．（2024高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系进行判断即可． 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 1-3．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的解析式； (2)用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像． 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）根据题意，结合图像可知，然后由的范围即可得到，将代入即可求得； （2）根据题意，由“五点作图法”做出图像即可. 【详解】（1）根据的图像可知：，故可得，即， 又，故； 又，故可得， 则或， 解得或， 数形结合可知：，即，结合，解得， 显然，不满足题意，故，当且仅当时，满足题意； 故． （2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，如表所示． 0 0 2 0 -2 0 1-4．（2024高一下·安徽宿州·期中）已知函数． (1)用“五点（画图）法”作出在的简图； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1)作图见解析 (2)， 【分析】（1）令为0、、、、、可得相应的的值，然后列表、描点、连线可得答案； （2）令，，求出可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 2 0 对应的图象如图： （2）令，， 得，． 所以函数的单调递减区间为，． 1-5．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)求，的单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)递增区间为 (3)． 【分析】（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象； （2）解不等式可得函数的单调递增区间； （3）利用（1）中的图象结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，当时，， 列表如下： 0 1 1 2 0 0 1 作图如下： （2）因为，令，解得， 令，解得， 所以的递增区间为 （3），， 又，由（1）的图象可知，，的取值范围是． 题型2：含绝对值的三角函数 2-1．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象 【答案】见解析 【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象. 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图    2-2．（2024高一·全国·课后作业）利用正弦或余弦函数图象作出的图象． 【答案】见解析 【分析】先对函数化简得，然后画出的图象，将其图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成所求函数的图象 【详解】解：由， 所以的图象由的图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成，如图实线部分所表示的是的图象    【点睛】此题考查了余弦函数的图象，考查了诱导公式，考查了函数图象变换，属于基础题. 2-3．（2024高一下·上海·课后作业）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. 【答案】答案见解析 【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出； （2）作出图象，根据图象观察即可解出； （3）作出图象，根据图象观察即可解出． 【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象. （2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 2-4．（2024高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【答案】图见解析 【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可. 【详解】函数， 其图如下所示：    题型3：识图问题 3-1．（广西防城港市高级中学2023届高三下学期2月月考数学（理）试题）如图所示，函数（且）的图像是（    ）. A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解. 【详解】， 根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，    故选：C. 3-2．（2024高一上·全国·课后作业）函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦函数的图象平移可得． 【详解】把的图象向上平移1个单位即可. 故选：D 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题． 3-3．（2024·浙江绍兴·三模）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案. 【详解】定义域为R. ∵， ∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B； 对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示， 取，有， ∵，∴. 排除C； 故选：D 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 3-4．（2024高三上·四川成都·阶段练习）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB. 【详解】函数的定义域为，， 即函数为奇函数，故CD错误； 由可知，C错误，A正确； 故选：A （二） 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 题型4：解三角不等式问题 4-1．（2024高一·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据正余弦函数的图象，结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）   即， 当时，或， 故由正弦函数的图象可得解得. （2）即， 当时，或， 故解得 （3）即，故 当时，或， 故，解得. （4）即，故 当时，或， 故，解得 4-2．（2024高一·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）（3）利用正切函数、余弦函数、正弦函数的图象即可求解. 【详解】（1）作出正切函数在上的图象，如图：    由图象可知，当时，. （2）作出余弦函数的图象，如图：    由图象可知，当时，. （3）作出正弦函数的图象，如图：        由图象可知，当时，或. 4-3．（2024高一·全国·随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，借助正切函数的图象性质解不等式得解. 【详解】（1）不等式，化为， 在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：    显然在上，满足， 由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是， 所以使不等式成立的x的集合为. （2）不等式，化为， 在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：    显然在上，满足， 由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是. 所以使不等式成立的x的集合为. （三） （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． （4）一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期． 题型5：三角函数的周期问题 5-1．（2024高一·山东临沂·期末）函数最小正周期是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的周期公式，可得答案. 【详解】解：由的最小正周期为得， 故选：B． 5-2．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可. 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. 故选：B. 5-3．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据周期的公式求解分析即可. 【详解】由题设，, 又，正整数k的最小值为13. 故选：D 5-4．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式求解判断. 【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确； 故选：D 5-5．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值. 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A （四） 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 题型6：三角函数的奇偶问题 6-1．（2024高三上·河南开封·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 6-2．（2024高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 6-3．（2024高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 6-4．（2024高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)函数为奇函数 (2)函数为非奇非偶函数 (3)函数既是奇函数又是偶函数 【分析】(1)把解析式化简成型或型，来判断其奇偶性； (2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； 【详解】（1）函数的定义域为R, 故， 故函数为奇函数 （2）函数定义域为,不关于原点中心对称， 故函数为非奇非偶函数 （3）由，得函数定义域为，关于原点中心对称， 此时， 则有，且 故函数既是奇函数又是偶函数 6-5．（2024高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： （五） （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． （4）正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 题型7：三角函数的对称问题 7-1．（2024高一下·重庆·阶段练习）函数图象的对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程. 【详解】令，解得：， 的对称轴方程为. 故选：C. 7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】函数的最小正周期和一个对称中心的坐标解出，得到解析式，利用整体代入法求对称中心. 【详解】函数的最小正周期为，则有，，则， 函数图像的一个对称中心的坐标为，则， 由，， 则，由，解得， 所以曲线的对称中心坐标为，. 故选：B 7-3．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数图象的对称中心可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解． 【详解】由，得， 当时，． 故选：C． 7-4．（2024高一下·广西南宁·期中）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解. 【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有， 于是得，显然对于是递增的， 而时，，，当时，，， 所以|φ|的最小值为. 故选：A 7-5．（2024高一下·广西南宁·阶段练习）函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数性质求出对称轴通式即可求出结果. 【详解】函数的对称轴满足， 解得，令，则， 故选：A. （六） 1.（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． （3）求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 2.已知三角函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 3.比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 题型8：三角函数的单调问题 8-1．（2024高一下·陕西汉中·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（） 【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由， 解得， 所以函数的单调递增区间为（） 故答案为：（） 8-2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 8-3．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，令即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否符合要求. 【详解】令，可得， 当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合. 故选：A. 题型9：根据三角函数单调性求参数的范围问题 9-1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果. 【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 依题意得，， 所以，， 所以，， 由得，由得， 所以且， 所以或， 当时，，又，所以， 当时，. 综上所述：. 故选：C. 9-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可. 【详解】已知， 令，解得 则函数对称轴方程为 函数在区间不单调， ，解得， 又由，且，得， 故仅当时，满足题意. 故选：C. 9-3．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，进而根据已知推得.根据式子的意义及的范围，推得，即可得出答案. 【详解】令，得. 由可得，. 因为，所以，所以； 又，所以，所以. 所以，，此时有. 故选：B. 题型10：三角函数比较大小问题 10-1．（2024高一下·江西南昌·期中）若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序. 【详解】当时，，， 则，则 故选：C 10-2．（2024高一下·江西南昌·阶段练习），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小. 【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以. 故选：B 10-3．（2024高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数.令，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式可知，由此可得，再根据偶函数的单调性可得结论． 【详解】由于，为偶函数，则， 由于在单调递增，所以， 又偶函数在,上单调递增， ． 故选：D 10-4．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系. 【详解】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即. 故选：D. （七） 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 题型11：三角函数的最值与值域问题 11-1．（2024高一上·甘肃天水·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，换元令，然后结合二次函数的值域，即可求得结果. 【详解】令，则， 当时，则函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 故函数的值域为. 故答案为： 11-2．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得，再由，结合求得函数的值域. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，可得， 又因为，所以，即， 当时，，所以. 11-3．（2024高一上·北京·期末）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 11-4．（2024高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果. 【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即函数的值域为， 所以. 故答案为： 11-5．（2024高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数值域的知识求得. 【详解】依题意，函数在区间上的值域为， 由于， 所以， 此时，当时取得最小值，符合题意， 所以. 故答案为： （八） 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 题型12：根据函数图象求解析式 12-1．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值. 【详解】由题意可得，得，所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 所以， 所以，或， 所以，或， 因为，所以， 故选：C 12-2．（2024高一下·四川自贡·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得到，从而求出，代入特殊点坐标，求出，得到答案. 【详解】由函数图象可知， 又，所以，解得， 将代入得到，， 因为，所以，故，解得， 所以. 故选：B 12-3．（北京市十一学校2023-2024学年高一上学期国际部AP项目Pre-Cal-Honors期末考试数学试题）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ） A．2， B．2， C．2， D．4， 【答案】C 【分析】先由图象确定周期，求解，再代入最值点，求解. 【详解】设函数的周期为， 则由图象知，， 解得，； 由图象点在函数的图象上，则 ，则， 则，解得， 又已知，则. 故选：C. （九） 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 题型13：函数图象的变换 13-1．（2024高三上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数，， 所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像， 故选：B 13-2．（2024高一下·重庆·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（     ） A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除D选项，C选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：再向左平移个单位长度，得到符合要求； D选项：再向右平移个单位长度，得到，不满足要求，故D选项错误. 故选：C 13-3．（2024高一上·山东济宁·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图像的变换可得答案. 【详解】因为， 所以的图象向右平行移动个单位长度可得到函数， 故选：D. 13-4．（2024高一下·山东威海·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，再把所得到的曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】用三角函数的图象变换法则即可求解. 【详解】将函数图象上的所有点向右平移个单位， 得到函数的图象， 再把图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象. 故答案为： 13-5．（2024高一上·安徽滁州·期末）已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】首先根据周期求，再根据函数的性质求，即可求函数的解析式. 【详解】函数的最小正周期为， ，． 其图象向左平移个单位后，可得的图象； 根据所得图象关于轴对称，可得，，即，， 又，则． 所以 故答案为： 13-6．（2024高一上·北京·期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位； B．向右平移个单位； C．向左平移个单位； D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数平移变换规则计算可求解. 【详解】由题意知：， 所以只需的图像向右平移个单位就可以得到的图像，故D项正确. 故选：D. （十） 研究函数性质的基本策略 （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 题型14：三角函数图象与性质的综合应用 14-1．【多选】（2024高一下·广东佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AC 【分析】根据三角函数的图象和性质以及奇偶函数的定义即可得答案. 【详解】对于A选项，因为， 所以， 的图象关于点对称，所以A选项正确. 对于B选项，由， 知的图象不关于直线对称，所以B选项错误. 对于C选项，由， 知为奇函数，所以C选项正确. 对于D选项，因为， ， ，所以不为偶函数，所以D选项错误. 故选:AC. 14-2．【多选】（2024高一下·四川广元·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（ ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，得到，求得，可判定A正确、B错误；结合，求得，可判定C正确，D错误. 【详解】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为， 可得，所以，所以A正确、B错误； 又由，可得， 因为，即， 解得，所以， 又因为，可得，所以，所以C正确，D错误. 故选：AC. 14-3．【多选】（2024高一·全国·课后作业）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C． 的一个零点为 D．在单调递减 【答案】ABC 【分析】 对于选项A，通过计算函数的周期； 对于选项B，将代入函数，若所得结果为或，则B选项正确； 对于选项C，计算，将代入函数，若结果为0，则选项C正确； 对于选项D，当，则，然后分析在上的单调性. 【详解】 因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确； 对于，令，可得， 故的一个零点为，故C正确； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误． 故选：ABC 14-4．【多选】（2024高一下·江苏连云港·期中）函数在一个周期内的的图象如图示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．对，都有 D．对，都有 【答案】BCD 【分析】先通过函数的图象求得函数的解析式，然后逐项判断. 【详解】由图象知：，，则，则， 又点在图像上，所以， 则，即，又因为， 所以，所以，故A错误； ，故B正确； ，所以图象关于对称，即，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 一、单选题 1．（2024高一下·四川眉山·期中）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换法则，即可得出函数的解析式． 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像， 再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】五点法作图，根据图象分析即可. 【详解】用五点法画出函数的部分图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标为.    故选：B 3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据正切函数的周期性求解． 【详解】的最小正周期为. 故选：C. 4．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除BD，再由当时，，可排除A. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 则函数为偶函数，故BD错误； 当时，，故A错误，C正确； 故选：C 5．（2024高一下·四川广元·阶段练习）已知函数，则其部分大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数是奇函数，排除AC，由时，排除D，可得B选项正确. 【详解】函数，定义域为R， ，函数为奇函数，AC选项排除； 当时，，D选项排除； 故选：B 6．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】借助诱导公式将转化为，再应用换元法得到二次函数形式计算最值即可得. 【详解】， 令，由，故，即， 当时，，故其最大值为. 故选：B. 7．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决. 【详解】解法一： 因为，所以 ∴或，∴或 故的值域为 解法二：由，得，易知， 所以，则，解得或 故的值域为． 故选：B． 8．（2024高一上·安徽合肥·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定. 【详解】设,因为，所以， 因为正切函数在上为单调递增函数，且, 所以． ∴函数的值域为， 故选：A． 9．（2024高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】解：由，可得， 则. 故选：A. 10．（2024高一·全国·课堂例题）把函数（，）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】从逆变换得到函数解析式，再对应系数得到的值. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 所得图象的函数解析式为， 再将此函数图象向右平移个单位长度可得的图象， 即的图象， 所以，. 故选：B 11．（2024高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数周期公式求出，利用图象平移规律得出答案. 【详解】由题意得，则， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：B. 12．（2024高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】D 【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可. 【详解】，， 函数的图象向左平移可以得到的图象. 故选：D 13．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 14．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数、三角函数的知识求得函数的定义域. 【详解】依题意，， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 15．（2024高一下·辽宁丹东·期末）要得到的图像，只要将的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据图象变换结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：将的图像向左平移个单位长度， 得到，故A错误； 对于选项B：将的图像向右平移个单位长度， 得到，故B错误； 对于选项C：将的图像向左平移个单位长度， 得到，故C错误； 对于选项D：将的图像向右平移个单位长度， 得到，故D正确； 故选：D. 16．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出取值范围，再由在上单调递增得，最后结合题意求出的取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 要使得在上单调递增，则，解得， 又由题意可知，所以， 故选：B 17．（2024高二上·广西贵港·开学考试）要得到函数的图象，需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象． 故选：B 18．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，则（     ） A．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图先 B．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 D．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用图象平移逐项分析判断作答. 【详解】函数，， 对于A，将的图像向右平移个单位长度得，A错误； 对于B，将的图像向右平移个单位长度得，B错误； 对于C，将的图像向右平移个单位长度得，C正确； 对于D，将的图像向右平移个单位长度得，D错误. 故选：C 19．（2024高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】由为偶函数，可得，代入利用诱导公式化简求解即可. 【详解】解：因为为偶函数，所以， 解得， 所以， ． 故选：D. 20．（2024高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（        ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【答案】B 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解. 【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到， 再向右平移个单位得到的图像； 或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像. 故选：B 21．（2024高一下·湖北恩施·期末）函数的部分图象如图所示， 则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，依次求得的值，从而确定正确选项. 【详解】由图象可知，， 所以，即， 所以. 由图象可知，当时，， 所以，， 即，， 由于，所以， 所以. 故选：D. 22．（2024高一下·北京昌平·期末）设函数的部分图象如图所示，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期可得，利用最值点即可得. 【详解】根据图象可知， 将代入得, 所以，由于，所以取，故， 故选：C 23．（2024高一下·全国·课后作业）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据平移，即可得出A项；根据特殊点的坐标，以及函数的最值，即可判断B、C、D项. 【详解】因为. 对于A项， 作出函数的图象 将该函数图象，向左平移即可得出的图象，故A正确； 对于B项，当时，，故B项错误； 对于C项，当时，，故C项错误； 对于D项，因为函数有最大值为2，故D项错误. 故选：A. 24．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）函数在区间内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质求解即可. 【详解】当时， 即， 所以在区间上的图象与的图象相同， 当时， 即， 所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形. 故选：B. 25．（2024高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】，利用伸缩变换与平移变换由的图象得到的图象. 【详解】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象. 故选：C 26．（2024·宁夏银川·模拟预测）若，（），则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值． 【详解】是周期为3的周期函数， ，，， ． 故选：B． 27．（2024高一上·全国·课后作业）函数（其中）的图象如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象可得函数的最值和最小正周期，进而可得与，再由可得，即可求得. 【详解】由函数图象可得函数的最大值为，且，所以， 因为函数的最小正周期满足，所以，故， 又点在函数的图象上，所以， 即，所以，所以， 又，所以. 故选：A. 二、多选题 28．（2024高二上·山西·阶段练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数诱导公式及图象平移规则易知右平移个单位长度可得的图象，再根据周期为即可得出正确选项. 【详解】由， 可知将函数的图象向右平移个单位长度， 可得，即可得函数的图象， 又由函数的最小正周期为，可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BC正确. 若向左平移个单位长度，可得，故A错误； 若向右平移个单位长度，可得，故D错误； 故选：BC. 29．（2024高一下·广西钦州·期中）要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】AC 【分析】根据三角函数图象平移变换的规律分别检验各选项即可. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度， 得，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度， 得，故B错误； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度， 得，故C正确； 对于D，将函数的图象向右平移个单位长度， 得，故D错误. 故选：AC． 30．（2024高一·江苏·专题练习）下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（    ） A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移； C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的. 【答案】AB 【分析】直接由三角函数的平移变换、伸缩变换法则对每个选项逐一验证即可. 【详解】将的图像向左平移，可得函数， 再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确； 或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，可得的图像，故B正确； 对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误； 对于D，向左平移可得， 再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 31．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 32．（2024高一下·辽宁·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出使函数在上具有单调性的的取值范围，再用集合的补集运算求出符合题意的的取值范围． 【详解】由题意得， 若函数在上单调递增， 则, 解得：， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ① 若函数在上单调递减， 则, 解得， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ② 又因为函数在上不单调，且， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 即或. 故答案为：或. 33．（2024高一·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】先求出函数的定义域，再求出的增区间，然后与定义域求交集即可. 【详解】由题意，得，所以，， 解得，． 令，，则，． 所以的单调递增区间为，， 所以函数的单调递增区间为，． 故答案为：， 34．（2024高一上·陕西西安·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得，的周期，然后求出，根据函数的周期性，即可得出答案. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期. 又，，，， 所以. 又，所以. 故答案为：. 四、解答题 35．（2024高一上·全国·课后作业）利用“五点法”作出函数的简图. 【答案】简图见解析 【分析】利用“五点法”，列表、描点、连线，作出函数图像. 【详解】取值列表： 0 0 1 0 －1 0 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示.    36．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在单调递增区间； (2)当时，的最大值为，最小值为，求实数，的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）化简函数，令，解出的范围，对赋值，结合，得出在单调递增区间； （2）利用换元法和一次函数的单调性，列出方程组解出，的值． 【详解】（1）由题意，， 令， 解得， 令，则； 令，则； 令，则； 故函数在单调递增区间为，，； （2）当时，， ，， 令，则， ，函数在上单调递增， ，解得． 37．（2024高一·全国·随堂练习）分别求出使下列各组条件成立的x的集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）对于，考虑在区间内的性质，得， 所以的解集为， 对于，考虑在区间内的性质，得， 所以的解集为， 所以满足的角的集合为上述两个解集的交集，即. （2）对于，考虑在区间内的性质，得， 所以则满足的角的集合是. 38．（2024高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 39．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为． (1)给出函数的解析式，并说明理由； (2)求函数在上的单调递增区间． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先利用题给条件否定②不能成立，进而由条件①③④求得函数的解析式； （2）利用整体代换法结合余弦曲线的单调性即可求得函数在上的单调递增区间． 【详解】（1）若满足②，则由，可得 这与矛盾，故②不能成立，则选①③④， 由③得，由④得，则， 则， 又由，可得，则， 所以，故 （2）由（1）知， 当时，． 又欲求函数，的单调递增区间 则，即 ∴函数在上的单调递增区间为． 40．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)若方程在上的解为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到，根据对称中心得到，得到解析式. （2）确定，根据对称性得到，代入解析式计算得到答案. 【详解】（1），，故， 一个对称中心为，故，即， ，故当时，满足条件，此时，故. （2），故，， 且，即， . 41．（2024高一·全国·随堂练习）已知，分别求适合下列各条件的x的集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合图象分析求解； （2）由题意可得，分和两种情况，结合正切函数图象求解. 【详解】（1）因为，即， 可知的图象在的图象的下方， 在同一坐标系中作出的图象，    由图象可得，所以不等式的解集为. （2）因为，显然或， 当时，，不合题意； 当时，，可得， 结合正切函数图象可得或；    综上所述：不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$