江西省赣州市石城县2023--2024学年九年级下学期3月研学选拔考试数学试题

九年级数学研学选拔试卷2024.03.19 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．估计的值应在（ ）． A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 2．将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）． A．20% B． C． D． 3．如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）． A．4 B．5 C． D． ( 第 6 题图 ) ( 第7题图 ) ( 第 3 题图 ) 4．若整数a使关于x的不等式组至少有6个整数解，且使关于x的方程有非负整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ）． A．0 B．2 C．-2 D．-4 5．请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种方法称为利用函数图象判断方程根的情况．请用图象法判断方程的根的情况（ ）． A．一个正实数根 B．两个正实数根 C．三个正实数根 D．一个正实数根，两个负实数根 6．三角形的四心是指三角形的重心，外心，内心，垂心．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H是△ABC的垂心，AH，BH，CH分别交BC，AC，AB于D，E，F，则H是△DEF的（ ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE⊥AB于点E，F为线段AE上一点，若AC=6，BD=8，9AF=4AE，则线段CF=（ ）． A． B． C． D． 8．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(m，y1)，N(m+1，y2)为图形G上两点，若y1>y2，则m的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 二、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB=                    ． ( 第 10 题图 )10．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1米的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（图中阴影部分）．则图中AB=                    米． ( 第 11 题图 ) ( 第 9 题图 ) 11．如图，正方形ABCD的边长为6，四条弧分别以相应顶点为圆心、正方形ABCD边长为半径，则图中阴影部分的面积为                    ．（结果保留） 12．若多项式含有因式和，则                    ． 13．若，则                    ． 14．方程的所有正整数解(x，y)有________________． 三、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） ( 第 15 题图 )15．（本题满分10分）如图，△ABC的外心为O，垂心为H，D为BC的中点．求证：AH=2OD． 16．（本题满分12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=8，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当α=0°时，AE：BD=________；②当α=180°时，AE：BD=________； （2）拓展研究：试判断，当0°≤α≤360°时，AE：BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当CE=BC，△EDC旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长． 17．（本题满分14分）阅读理解：若a，b，c为互不相等的实数，且a+b+c=0，abc≠0， 求证：． 证明：∵    又∵a+b+c=0，则，∴             ∴  ． 根据上面的证明完成下列各题： （1）若x，y，z是互不相等的实数，则__________________________； （2）若，则__________________________； （3）化简：____________________； ______________________； （4），求S的整数部分的值． 18．（本题满分14分）如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点A(-2，0)，点B(6，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线y0的表达式及点C的坐标； （2）若点D0是抛物线y0上一动点，连接CD0，点D0在抛物线y0上运动时； ①取CD0的中点D1，求点D1运动轨迹的函数y1的解析式； ②在线段CD1上取中点D2，点D2运动轨迹的函数的解析式为y2，在线段CD2上取中点D3，点D3的运动轨迹的函数的解析式为y3，，在线段CDn-1上取中点Dn，点Dn的运动轨迹的函数的解析式为yn（n为正整数）；则函数yn的解析式为                              （用含n的式子表示）． ③若直线y=x+m与系列函数y0，y1，y2，，yn的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． ( 第 18 题图 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学研学选拔试卷答案及评分标准 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．A； 2．D； 3．B；  4．B； 5．A； 6．A；  7．D；  8．D；  二、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9．； 10．； 11．36-9π； 12．-15； 13．； 14．(56，7)或(24，6)或(8，4)  三、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 15．证明：如图，过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH ∵H为△ABC的垂心， ∴AH⊥BC， ∵BE为圆O的直径， ∴CE⊥BC， ∴AH∥CE， 同理AE∥CH， ∴四边形AHCE是平行四边形， ∴AH=2CE． 又∵D为BC的中点，O为BE的中点， ∴CE=2OD． ∴AH=2OD． …………………………10分 16．【答案】解：（1）①2；②2；…………………………4分 （2）当时，的大小无变化；…………………………8分 （3）10或6． …………………………12分 【解析】解：当时，，故答案为2； 当时，如下图所示：、、共线，、、共线， ，，，故答案为2； 如图所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ∽，，故：当时，的大小无变化；； 当旋转到如下图位置，，三点共线时右侧， 由题意得：，由，得：， 由勾股定理得：，； 当旋转到如下图位置，，三点共线时左侧， 此时，，由，得，， 综上所述，线段AD的长为10或6． 17．【答案】（1） ； …………………………3分 （2）；…………………………6分 （3），；…………………………10分 （4）2017…………………………14分 【解析】：（1）因为、、两两不等，所以，又 ∴原式； （2）因为且；； ∴原式； （3）因为，，∴原式=，， （4）由上述材料得， ． ∴S的整数部分的值是2023． 18．【解析】解：把点，点代入抛物线， ，解得． 抛物线…………………………2分 令，则，；…………………………4分 点在抛物线上，设点的横坐标为，， 的中点的坐标为，设，则， ；…………………………7分 同理可得，的坐标为，； 的坐标为，； 的坐标为，；…………………………10分 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得；．…………………………14分 学科网（北京）股份有限公司 $$