第二十三章 旋转（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 2．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 3．如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．将绕点旋转一定的角度后使点落在点处，点在落在点处，且、、在同一直线上，、交于点，、交于点，、交于点，连接、则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 7．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．下列说法中，正确的是（　　） A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必重合 C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同 D．旋转后能重合的两个图形成中心对称 9．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分几何图形的周长为（    ）    A．4 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为 ． 14．已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 15．如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高为3．将点A绕点B逆时针旋转90°得到点E，绕点C顺时针旋转90°得到点D．沿BC翻折得到点F，从而得到一个凸五边形BFCDE，则五边形BFCDE的面积为 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求：    (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度和的度数． 17．（8分）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长为________． 18．（9分）【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 19．（9分）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两个是勾股四边形的特殊四边形：____________，____________． (2)如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB． (3)如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接AD，DC，，那么线段DC，AC，BC的数量关系为_______________． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)直接写出点关于点对称的点的坐标：_______________ ； (2)平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)画出绕原点逆时针旋转后得到的． 21．（9分）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 22．（12分）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 23．（13分）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 2．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可判断． 【详解】的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以， 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标变为相反数， 与关于x轴对称， 故选∶A． 3．如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解． 【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为， 故选：C． 4．将绕点旋转一定的角度后使点落在点处，点在落在点处，且、、在同一直线上，、交于点，、交于点，、交于点，连接、则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先根据旋转的性质得到，，，则可对、选项进行判断；再利用三角形内角和定理证明，则可对选项进行判断；由于，，只有当时，与全等，即时，，从而可对选项进行判断． 【详解】解：绕点旋转一定的角度后得到， ，，，所以、选项不符合题意； ， ， ， ，所以选项不符合题意； 在和中， ，， 当时，与全等，此时，但是已知中无此条件，所以选项符合题意． 故选：． 5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 6．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由正方形的性质和已知条件可以得到△ADE≌△DCF、△ADE≌△ABG、△ABG≌△DCF，然后根据图形变换的知识可以对各选项的正误作出判断． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°， 又∵DE＝CF， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， 同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF， ∴将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG，故①正确； 将△ABG绕点A旋转可以得到△ADE，故②错误； 将△ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到△DCF，故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关键所在． 8．下列说法中，正确的是（　　） A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必重合 C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同 D．旋转后能重合的两个图形成中心对称 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解． 【详解】A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成中心对称，故错误； B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错误； C、正确； D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误． 故选C． 【点睛】考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 9．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分几何图形的周长为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点E．连接．根据易证，得出．由此可得阴影部分几何图形的周长等于正方形周长。 【详解】解：设与交于点E，连接．    在正方形中，，， 由旋转性质可得： 在与中， ， ∴（）， ∴． ∴阴影部分的周长． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度． 10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可找出每次点的坐标，然后发现规律，进而得出答案． 【详解】解：∵点C坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得： ， ∵将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形， ， …… 发现是8次一循环，则， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，其中找出点坐标的规律是解题的关键． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图所示，将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，先证明∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°，然后证明A、B、E三点共线，即可得到，由此进行求解即可； 【详解】解：∵CD=CB，∠DAB=∠BCD=90°， ∴将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB， 由旋转的性质可得 ∴,，，， ∵∠DAB=∠BCD=90°， ∴∠D+∠ABC=180°，∠DCA+∠ACB=90° ∴∠CBE+∠ABC=180°，∠ACE=∠BCE+∠ACB=90° ∴A、B、E三点共线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，四边形内角和，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解二元一次方程方程组，负整指数幂运算，先根据关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称，它们的横坐标、纵坐标各互为相反数，得到方程组，解之求出m、n的值，代入算式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高为3．将点A绕点B逆时针旋转90°得到点E，绕点C顺时针旋转90°得到点D．沿BC翻折得到点F，从而得到一个凸五边形BFCDE，则五边形BFCDE的面积为 ． 【答案】80 【分析】将点C绕点B逆时针旋转90得到点G，点B绕点C顺时针旋转90得到点H，连接EG、DH、GH，则△EBG≌△ABC≌△HDC，四边形BCHG是正方形，六边形BCDHGE是中心对称图形，根据轴对称和中心对称的性质得出==，=，然后由=+即可求得. 【详解】如图， 将点C绕点B逆时针旋转90得到点G，点B绕点C顺时针旋转90得到点H，连接EG、DH、GH，则△EBG≌△ABC≌△HDC，四边形BCHG是正方形，六边形BCDHGE是中心对称图形， ∴四边形BCDE≌四边形HGED， ∵====15=，=1010=100， ∴=++=215+100=130， ∴==65， ∴=+=65+15=80. 故答案为：80. 【点睛】本题考查图形的全等，熟练掌握轴对称和中心对称的性质是解题的关键. 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求：    (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度和的度数． 【答案】(1)旋转中心为点A；旋转角为 (2)； 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，数形结合． （1）由于旋转一定角度后得到，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，等于旋转角，于是得到旋转角为； （2）根据旋转的性质得到，，则，再求出的度数即可；根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵旋转一定角度后得到， ∴旋转中心为点A，等于旋转角， ∴旋转角为； （2）解：∵以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 17．（8分）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（）由旋转的性质得到，，由等边三角形的性质得到，，进而可得，即可由“ ”可证，可得 ； （）先证是等边三角形，可得，，进而得到，由勾股定理即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 18．（9分）【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正方形 (2) (3)存在，或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）过E作于G，由旋转的性质及勾股定理的长，从而求得的面积； （3）分两种情况：当点E在线段上；当点E在线段反向延长线上；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）解：如图，过E作于G， 由旋转得：，； 由四边形是矩形，得， ； ， ， ； 由勾股定理得， ； （3）解：存在 设，连接； 当点E在线段上时，如图； ， ， ， ； ， 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 当点E在线段反向延长线上时，如图； 同理，， ； 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 综上，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 19．（9分）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两个是勾股四边形的特殊四边形：____________，____________． (2)如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB． (3)如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接AD，DC，，那么线段DC，AC，BC的数量关系为_______________． 【答案】(1)矩形；正方形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】（1）解：学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形． 故答案为：矩形；正方形． （2）解：如图所示： （3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2． 连接CE，如图所示： 由旋转得：△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE，BC＝BE， 又∵∠CBE＝60°， ∴△CBE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°， ∴DC2＋EC2＝DE2， ∴DC2＋BC2＝AC2． 故答案为：DC2＋BC2＝AC2． 【点睛】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)直接写出点关于点对称的点的坐标：_______________ ； (2)平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可写出点关于点对称的点的坐标； （2）根据平移的性质即可平移，使平移后点的对应点的坐标为，进而画出平移后的； （3）根据旋转的性质即可画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【详解】（1）解：点关于点对称的点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：如图所示，即为所求． 21．（9分）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可 (2)①；②四边形是勾股四边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合所学四边形即可求解； （2）①先证明，得出，，连接，进一步得出为等边三角形即可求解； ②等边三角形的性质进一步得出是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：正方形、矩形、直角梯形均可， 故答案为：正方形、矩形、直角梯形均可； （2）解：①由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即四边形是勾股四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定、特殊四边形的性质，熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质与判定证得是解题的关键 22．（12分）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 23．（13分）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据面积公式求出的长； （2）在上取一点，使，连接，将转化为转化为，即可得证； （3）将绕点逆时针旋转至，证明，将转化为，即可得到最小值． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，对角线， ， ， ， ， ； （2）证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∵为直角三角形，为中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，属于综合题，正确做出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$