第二十三章 旋转（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，如果点B的位置用数对表示为，那么下面描述不正确的是（　　）． A．线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北方向上 C．点A的位置用数对表示为 D．点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置 3．若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 6．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 7．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 8．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 9．如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 10．如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    12．在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 13．如图，在纸片中，，将纸片绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若的度数为，则的度数为 . 14．如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，则菱形的边长是 ． 15．如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 三、解答题：共8题，共75分。. 16．（8分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 17．（8分）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 18．（9分）如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接，点F，P，G分别为的中点. (1)如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值. 19．（9分）完成下列各题： （1）如图，已知，，． ①请说明：； ②可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； ③求的度数． （2）如图，在中，和的平分线分别交边和于点E，F． ①若，求的度数； ②求证：． 20．（9分）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 21．（8分）如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的，并直接写出线段的长度； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 22．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D为第一象限的抛物线上一点， ①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围； ②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标． 23．（12分）阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系． （1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明； 延伸拓展： （2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系； 知识运用： （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中， 边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy=12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的定义， 正确理解中心对称图形的定义是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可得答案． 【详解】A、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意． B、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．如图，如果点B的位置用数对表示为，那么下面描述不正确的是（　　）． A．线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北方向上 C．点A的位置用数对表示为 D．点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，用方位角和有序数对表示位置，根据所给图形结合点B的有序数对逐一判断即可． 【详解】解：A、由题意得线段绕O点顺时针旋转，A、B两点重合，原说法正确，不符合题意； B、点B在点A西偏南方向上，原说法错误，符合题意； C、点A的位置用数对表示为，原说法正确，不符合题意； D、点A向正南方向移动，再向正西方向移动，点A 到达点B 的位置，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】∵两个图形成中心对称，∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合错误，必须旋转180°才能够重合． 综上所述：正确的由①②③共3个． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键． 4．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 5．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 6．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】B 【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE． 【详解】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG ∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°， ∴△ABF≌△CBG， ∴∠5=∠G，∠1=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴∠2+∠4=∠3+∠4， 即∠FBC=∠EBG， ∵AD∥BC， ∴∠5=∠FBC=∠EBG， ∴∠EBG=∠G， ∴BE=CG+CE=AF+CE． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键． 7．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解． 【详解】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴， ∴， ∴﹣1＜a＜0， ∴④正确，符合题意， ∵a+c＝0， ∴c＝﹣a，0＜c＜1， 当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a， ∵﹣1＜a＜0， ∴﹣a＞0， ∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 8．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP•OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OB，∠BOC＝90°， ∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置， 则△OCP≌△OBQ， ∵∠BPC＝90°， ∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠OCP＝∠OBQ， ∴∠OBQ+∠OBP＝180°， ∴Q、B、P在同一条直线上， ∵PO＝4，△OCP≌△OBQ， ∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ， ∴∠QOP＝∠BOC＝90°， ∴△POQ是直角三角形， ∵S△POQOP•OQ4×4＝8， ∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8， 故选：B． 【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键． 9．如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质． 10．如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转得到，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由，，，， 可得，，， 由旋转可知， 所以，， 所以， 所以． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    【答案】60 【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出，再根据等边对等角得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解： ， 旋转到， ， ， ， 即旋转角n是， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确求出的度数是解题的关键． 12．在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的旋转，首先根据旋转的性质将旋转后的图形画出来，再根据坐标系写出的坐标即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由绕原点顺时针旋转后得到， 根据坐标系特点可得， 故答案为：． 13．如图，在纸片中，，将纸片绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若的度数为，则的度数为 . 【答案】/度 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后利用三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：纸片绕点按逆时针方向旋转，得到， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14．如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，则菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到、、、，根据，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可．本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，且绕着点旋转得到，， ，，， ，， ， ， ， ， 即菱形的边长是， 故答案为：． 15．如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 三、解答题：共8题，共75分。. 16．（8分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 17．（8分）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义画图即可，再证出是等边三角形，然后证出四边形是矩形，由此即可得出结论； （2）以为边作等边三角形，连接，根据等边三角形及全等三角形的判定和性质得出，，再由旋转的性质得出点H、P、Q三点共线，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：画图如下：   和的数量及位置关系为，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）， ∴，． （2），理由如下： 以为边作等边三角形，连接，如图所示： ∵和都是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∵将线段逆时针旋转得线段， ∴， ∵， ∴点H、P、Q三点共线， ∵， ∴， ∴． 18．（9分）如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接，点F，P，G分别为的中点. (1)如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值. 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3). 【分析】（1）根据中位线定理可得，结合平行线的性质可得，据此即可求解； （2）证得；根据中位线定理可得，结合平行线的性质可得，据此即可求解； （3）由得当最大时，面积最大，此时，点 在的延长线上，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ∵点F，P，G分别为的中点. ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 由（1）得： ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 （3）解：由（2）可知是等腰直角三角形， ， ∴当最大时，面积最大，如图所示： 此时，点 在的延长线上， ， ∴， 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握旋转模型的相关结论是解题关键． 19．（9分）完成下列各题： （1）如图，已知，，． ①请说明：； ②可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； ③求的度数． （2）如图，在中，和的平分线分别交边和于点E，F． ①若，求的度数； ②求证：． 【答案】（1）①见解析；②可以绕点A逆时针旋转得到；③；（2）①；②证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质，旋转变换，三角形外角的性质： （1）①根据全等三角形的性质得到，据此可证明；②根据题意可得可以绕点A逆时针旋转得到；③先得到，再由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得； （2）①由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义可得；②先由平行四边形的性质得到，同理可得，进而证明四边形是平行四边形，则． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴可以绕点A逆时针旋转得到； ③由（1）①得， ∵ ∴， ∴； （2）①∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； ②∵四边形是平行四边形， ∴， 同理可， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20．（9分）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到； （2）通过证明得到； （3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：， 理由如下： 以点为中心，把逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知： ， 由（2）可知：， 又， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（8分）如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的，并直接写出线段的长度； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可，即可写出的坐标； （2）利用点P与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可，利用勾股定理即可求出的长度； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 则； （2）解：∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 如图所示： ； （3）解：根据图象可知，连接、后，它们交于点，且点的坐标为， 所以和的对称中心的坐标为． 22．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D为第一象限的抛物线上一点， ①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围； ②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标． 【答案】(1)； (2)①0＜DE≤；② 【分析】（1）直接用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可； （2）①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，可知直线LM与抛物线有唯一交点，此时△=0，可求出M点的坐标，进而根据，列式求出AN的长，即可求解；②分当AFGD是矩形和菱形时满足要求，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N， 设直线AB的解析式为y=kx+4，则直线LM的解析式为y=kx+n， ∵直线AB过A、B点， ∴0=2k+4，解得k=-2 ∴直线LM的解析式为y=-2x+n， ∵直线LM与抛物线相切，只有一个交点， ∴， 即 ∴△= ∴n=6， ∴M（0，6）， 则AM=6-4=2 ∵LM∥AB ∴， ∴ ∴，即 ∴AN= ∴DE=AN= ∵D在第一象限， ∴0<DE≤． ②当AFGD是矩形时，满足四边形AFGD既是轴对称图形，又是中心对称图形， 此时对称轴x= ∴D（1，4） 当四边形AFGD是菱形时，满足四边形AFGD既是轴对称图形，又是中心对称图形，如图， 设直线FD的解析式为y=，D点坐标为（x，），G（x，-2x+4） ∴ 解得x= ∴D（ ） 故D点坐标为(1，4)或() 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与直线的交点，三角函数、中心对称和轴对称等知识，明确二次函数与直线有唯一交点时，△=0是解题的关键． 23．（12分）阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系． （1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明； 延伸拓展： （2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系； 知识运用： （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中， 边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy=12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度． 【答案】（1）EF＝AF＋CE，证明见解析（2）EF＝CE-AF；（3）或． 【分析】（1）把△BCE绕点B逆时针旋转90°到△BAG，再证明△BFG≌△BFE即可； （2）把△BCE绕点B逆时针旋转90°到△BAG，证明△BFG≌△BFE即可求得EF＝CE-AF． （3）先求出C点坐标，再分别作图，根据全等三角形的判定与性质求出A，B的坐标，再求出直线BC、AB的解析式，得到D，E的坐标，故可根据勾股定理求解． 【详解】（1）EF＝AF＋CE，证明如下： 把△BCE绕点B逆时针旋转90°到△BAG， 由旋转可得AG＝CE，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，且G、A、D三点共线， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBE＋∠ABF＝45°， ∴∠ABG＋∠ABF＝45°＝∠EBF， 在△BFG和△BFE中 ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴GF＝EF， ∵GF＝AG＋AF＝CE＋AF， ∴EF＝AF＋CE； （2）解：EF＝CE-AF， 证明如下： 如图，把△BCE绕点B逆时针旋转90°到△BAG， 由旋转可得AG＝CE，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE， 同（1）理可证得△BFG≌△BFE， ∴GF＝EF， ∵GF＝AG-AF＝CE-AF， ∴EF＝CE-AF． （3）设C点（x，y），∵正方形OABC的边长为5 ∴①，又整数x、y满足xy=12②， 联立①②得到或 故C（-3，4）或（-4，3） 如图，当C（-3，4）时， 过A点作AM⊥x轴，过C点作CH⊥x轴，BG⊥CH延长线于G点 ∴∠AMO=∠OHC=∠CGB ∵∠AOM+∠OAM=∠AOM+∠COH=∠OCH+∠COH=∠OCH+∠BCG ∴∠OAM=∠COH=∠BCG 又AO=OC=CB ∴△OAM≌△COH≌△BCG（AAS） ∴OM=CH=BG=4，AM=OH=CG=3 ∴A（4，3），B（1，7） 设直线BC的解析式为y=ax+b，把B（1，7）、C（-3，4）代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y=x+ 令x=0，得到y= ∴E（0，）， 设直线AB的解析式为y=mx+n，把B（1，7）、A（4，3）代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+ 联立y=-x+与y=x，解得 ∴D（，） ∴D（，）、E（0，）， ∴DE= 当C（-4，3）时，同理可求出A（3，4），B（-1，7） 设直线BC的解析式为y=ax+b，把B（-1，7）、C（-4，3）代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y=x+ 令x=0，得到y= ∴E（0，）， 设直线AB的解析式为y=mx+n，把B（-1，7）、A（3，4）代入得 解得 ∴直线BA的解析式为y=-x+ 联立y=-x+与y=x，解得 ∴D（，） ∴D（，）、E（0，）， ∴DE=． 综上，DE的长度为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的图像与性质及勾股定理与旋转的知识，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$