精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024~2025学年上海市建平中学高一上学期期初学生数学素养检测 数学 试卷 9.13 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊.与考试无关的所有物品放置在考场外. 3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂.若因填涂模糊导致无法识别的后果自负. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系各象限中点的特点结合集合的描述法表示即可得出答案. 【详解】平面直角坐标系中第二象限的所有点的横坐标都,小于0，纵坐标都大于0， 平面直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合为且， 故答案为：且. 2. 若，则=______ 【答案】2 【解析】 【分析】化简得到，从而，代入求值即可. 【详解】因为，所以，即， 又，故，故， 则. 故答案为：2 3. 设，集合，则______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据可知，故. 【详解】由可知， 又，故. 故答案为：0 4. 已知，，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题可得，，再利用换底公式可求出. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故答案为：2. 5. 若不等式的解集为，则实数a的取值集合为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式去掉绝对值符号化为，分，，解不等式，由不等式的解集列方程可得a的值. 【详解】不等式的解集为，则，所以， 当时，不等式的解为，所以，解得 ， 不符合条件，舍去； 当时，不等式的解为，所以 ，解得， 符合题意， 当时，显然不符合题意. 所以实数a的取值集合为. 故答案为： 6. 已知集合，若，则______ 【答案】1或2 【解析】 【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解. 【详解】因为， ， 当时，，此时，，满足题意， 当时，，由可得，即. 综上，1或2. 故答案为：1或2. 7. 已知集合，，若，则a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】由集合的补集及并集运算即可求解. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 所以， 故答案为： 8. 已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 9. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 10. 已知方程的两根为，且满足，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理得出两根之和及两根之积的关系式，解方程即可得出结论. 【详解】由方程的两根为，得， 解得或； 由韦达定理可得， 所以， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为： 11. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【详解】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 12. 在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设中填入的正整数分别为、，则有，进而有它们的倒数和为，由基本不等式的性质分析可得当且仅当时取得最小值，此时有且，解可得、的值，即可得答案． 【详解】设中填入的正整数分别为、，则有，它们的倒数和为， 则有， 当且仅当时等号成立，此时且， 解可得，， 则两个数构成的数对应为； 故答案为： 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 14. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 15. 关于的不等式的解集为，对于系数、、，有如下结论：①；②；③；④；⑤则结论正确的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式解集中“大于取两边，小于取中间”的性质可得①错误；由韦达定理可得②错误，③正确；代入可得④错误；由二次函数的性质可得⑤正确； 【详解】对于①，因为不等式大于零的解集为，所以，故①错误； 对于②，因为方程的两个根分别为， 由韦达定理可得，故②错误； 对于③，由韦达定理可得，故③正确； 对于④，当时，可得，故④错误； 对于⑤，当时，由二次函数的性质开口向下，且在上，所以可得，故⑤正确； 故选：B. 16. 关于集合，下列说法正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 集合真子集的个数是，其中n是集合中元素的数量 C. 无限集不可能真包含无限集 D. 对于有序数对属于集合A，必有或 【答案】D 【解析】 【分析】根据空集定义及其性质可判断A错误，由子集定义可判断B错误，以自然数集和整数集的关系可判断C错误，由集合中元素的互异性可知D正确. 【详解】对于A，根据规定可知空集是任何集合的“子集”，而非“真子集”，即A错误； 对于B，集合真子集的个数是，其中n是集合中元素的个数，需满足，即B错误； 对于C，对于整数集和自然数集都是无限集，它们存在包含关系，所以C错误； 对于D，根据集合中元素的互异性可知，需满足不能同时成立，即必有或，所以D正确. 故选：D 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）当时，求集合M； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入得，解出即可. （2）分当则分母为0和分母不为0时讨论，若分母不为0，则将代入不不等式左边，不等号与原符号相反，得到关于的分式不等式，解出范围，最后综合即可. 【小问1详解】 当时，，则，解得， 故集合. 【小问2详解】 当， 若分母，， 若分母不为0，则将代入不等式左边得， 即，解得， 综上，实数的取值范围是. 18. （1）解关于的不等式 （2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围. 【答案】（1）时，不等式解集为，时，不等式解集为， 时，不等式解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）对参数分类讨论，利用不等式性质解不等式即可； （2）对二次项前面系数分类讨论求解即可. 【详解】（1）由原不等式可得， 当时，可得恒成立，所以； 当时，由原不等式可得； 当时，由原不等式可得. 综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为， 时，不等式解集为. （2）当时，由原不等式可得，对恒成立； 当时，由二次不等式对一切都成立， 需满足，即， 解得. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. （1）求证：； （2）若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2.01，此时，，， 【解析】 【分析】（1）由，根据即可得证； （2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 由（1） ， 此时只需等号成立. 20. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|<x<4}． （2）能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3} 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少， 此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 21. 对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” （1）请你直接写出一个‘平分集’ （2）若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 【答案】（1） （2）①为奇数，证明见解析 ②最小值为7 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）①根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明；②由①知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 ①设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同, 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“平分集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“平分集”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②由①知若集合A是平分集，并且集合A中元素个数为奇数， 当时，显然任意集合不是“平分集”. 当时，不妨设，若集合A为平分集， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“平分集”； 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平分集， 所以，集合A中元素个数, 中元素个数最小值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市建平中学高一上学期期初学生数学素养检测 数学 试卷 9.13 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊.与考试无关的所有物品放置在考场外. 3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂.若因填涂模糊导致无法识别的后果自负. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合__________. 2. 若，则=______ 3. 设，集合，则______ 4. 已知，，则___________. 5. 若不等式的解集为，则实数a的取值集合为______ 6. 已知集合，若，则______ 7. 已知集合，，若，则a的取值范围为______ 8. 已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 9. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 10. 已知方程的两根为，且满足，则实数______ 11. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 12. 在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为______ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 15. 关于的不等式的解集为，对于系数、、，有如下结论：①；②；③；④；⑤则结论正确的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 关于集合，下列说法正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 集合真子集的个数是，其中n是集合中元素的数量 C. 无限集不可能真包含无限集 D. 对于有序数对属于集合A，必有或 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）当时，求集合M； （2）若，求实数a的取值范围. 18. （1）解关于的不等式 （2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围. 19. 已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. （1）求证：； （2）若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 20. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 21. 对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” （1）请你直接写出一个‘平分集’ （2）若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $