第24章 解直角三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第24章 解直角三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 2．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 3．在△ABC中，，，，则的值是（　 　） A． B． C． D． 4．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（    ） A． B． C． D． 5．已知0﹤﹤45°，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7．如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，，均为△ABC的高，连结交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 10．下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果锐角满足，则的大小是________． 12．中，，，，则的长为________． 13．在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC的形状是________． 14．击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时，若点A距地面的高度为，点D距地面的高度为，传球选手与接球选手之间的距离为，则的长为________m． 15．在中，，则________． 16．已知为的一个锐角，且，则的值为________． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知，中，，，求、、、． 18．计算： 19．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    20．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 22．春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） (1)求的长；（精确到个位） (2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 23．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在△ABC中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在△ABC中，，为边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 25．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，． 例：． (1)试仿照例题，求出的值； (2)若已知锐角满足条件，求的值． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 2．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后根据绝对值性质即可得到答案． 【详解】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ∴， 故选：B． 3．在△ABC中，，，，则的值是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，根据余弦的定义求解即可，正确理解在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴， 故选：． 4．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先作于H，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】解：如图，，作于H，如图所示： ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．已知0﹤﹤45°，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据0﹤﹤45°结合三角函数的增减性求解即可． 【详解】解：由0﹤﹤45°，得，故①正确； ∵，，∴，∴，故②错误； 当时，，故③错误； ，故④正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 6．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 7．如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，，，均为△ABC的高，连结交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：为△ABC的高，且， 垂直平分线段， ， 为△ABC的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 10．下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果锐角满足，则的大小是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案． 【详解】解：锐角满足， 锐角， 故答案为：． 12．中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． 故答案为：． 13．在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点评】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 14．击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时，若点A距地面的高度为，点D距地面的高度为，传球选手与接球选手之间的距离为，则的长为________m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据两角分别相等的两个三角形相似证得，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即， 故答案为：1.8． 15．在中，，则________． 【答案】 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故．故答案为：． 16．已知为的一个锐角，且，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，讨论：当时，先利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义求解；当时，直接利用正切的定义求解． 【详解】当时，， 所以； 当时，, 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点评】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 先将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式， ． 19．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 20．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ，这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点评】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身的高度约为． 22．春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） (1)求的长；（精确到个位） (2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 【答案】(1)长约1092米；(2)小华先到景点处，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形，灵活运算锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，由题意可知，米，，则是等腰直角三角形，求出米，再利用锐角三角函数值，求出米，即可得出BE的长； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，得出米，利用锐角三角函数值，求出米，米，米，再分别求出小明和小华的游览时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 米， 米， ， 米，米， （米）． 长约1092米． （2）解：小华先到达景点D处，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ，米，米，， 米， 景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向． （米），， 在中，，， （米），（米）， （米）， 小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟， 小明的游览时间为（分钟）， 在中，米，， （米）， 小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟， 小华的游览时间为（分钟）， 小华的游览时间更短，先到达景点D处． 23．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】“天梯”的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是可得到结论． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ， 解得， 在中，， 解得， ， 答：“天梯”的长度约为． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在△ABC中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在△ABC中，，为边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，，得到，，结合垂直平分，得到，根据，计算，根据三角形的面积公式，计算即可． （2）根据在△ABC中，，为边上的高，得，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E，计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，线段的垂直平分线，熟练掌握勾股定，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在△ABC中， ∵，为边上的高， ∴， 作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， ∴，， ∴， ∴ ． 25．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，． 例：． (1)试仿照例题，求出的值； (2)若已知锐角满足条件，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可； （2）把化为直接代入三角函数公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，，α为锐角， 解得， ∴ ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$