第24章 解直角三角形（12类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第24章 解直角三角形（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 测量 1.合理的选择测量方法。 测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先弄清实际问题的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。 2.掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤 在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以直接用刻度尺直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长。 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用相似比计算出实际长度。 方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形 全等的三角形来测量后可直接得出。 3.测量时应注意的问题 。 ⑴在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单。 ⑵要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素。 ⑶注意单位要统一。 （4）在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。 知识点02 直角三角形的性质 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 . 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 知识点03 锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 知识点04 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 知识点05 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 知识点06 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cosA随∠A的增大而减小 tanA随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点07 用计算器进行有关三角函数值的计算. 一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果． 知识点08 解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，，，，. ④，为斜边上的高. 知识点09 解直角三角形的类型和方法 知识点10 实际应用中的概念 ⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图． ⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图． ( 03 题型归纳 ) 题型一　测量 例题：（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，直立在点B处的标杆AB＝2.5m，站立在点F处的观测者从点E看到标杆顶A，树顶C在同一直线上(点F，B，D也在同一直线上)．已知BD＝10m,FB＝3m,人的高度EF＝1.7 m,则树高DC是______．(精确到0.1 m) 巩固训练 1．（22-23年级·吉林长春·期中）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　 　）    A．32m B．36m C．48m D．56m 2．（2023·北京·二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为______米．（注：反射角等于入射角） 3．（19-20九年级上·山东济南·期中）如图，2m长的竹竿竖直放置，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为______米． 题型二　含30度角的直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为________． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为________． 3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F．    (1)求，的度数． (2)若平行四边形的周长为36，的长为8．求的长． 题型三　直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为_______． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，对角线，过点作于点，点是的中点，连接，则_______． 2．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知，如图，在△ABC中，是△ABC的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）有两个全等的三角形纸片△ABC和△DEF，其中，，将△ABC和△DEF，按如图所示方式摆放，斜边和的中点重合（标记为点），交于点．当DF∥AB时，试判断四边形AGDO的形状，并说明理由． 题型四　锐角三角函数 例题：（2024九年级下·广东东莞·学业考试）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型五　锐角三角函数的关系 例题：（2015·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 巩固训练 1．（19-20九年级上·北京昌平·期末）在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为______． 题型六　特殊角的三角函数值 例题：（2024·天津·三模）的值为（   ） A．1 B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）计算： (1)； (2)． 题型七　锐角三角函数的性质 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八　用计算器进行有关三角函数的计算 例题：（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   巩固训练 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   2．（2023·山东威海·一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九　解直角三角形的相关计算 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，． （1）若，，则______，______，______； （2）若，，则AC的长为______； （3）若，，则BC的长为______． 2．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）△ABC中，和均为锐角，，，且，则的值为______． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 题型十　仰角俯角问题 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 巩固训练 1．（2023九年级·浙江温州·专题练习）如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为____．若，则所在圆的半径为______． 2．（2024·湖北襄阳·一模）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    3．（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 题型十一　方位角问题 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了_______海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 2．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 3．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 题型十二　坡度坡比问题 例题：（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 巩固训练 1．（2024九年级下·河南周口·专题练习）彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 2．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 3．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 测量 1.合理的选择测量方法。 测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先弄清实际问题的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。 2.掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤 在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以直接用刻度尺直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长。 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用相似比计算出实际长度。 方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形 全等的三角形来测量后可直接得出。 3.测量时应注意的问题 。 ⑴在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单。 ⑵要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素。 ⑶注意单位要统一。 （4）在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。 知识点02 直角三角形的性质 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 . 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 知识点03 锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 知识点04 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 知识点05 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 知识点06 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cosA随∠A的增大而减小 tanA随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点07 用计算器进行有关三角函数值的计算. 一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果． 知识点08 解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，，，，. ④，为斜边上的高. 知识点09 解直角三角形的类型和方法 知识点10 实际应用中的概念 ⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图． ⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图． ( 03 题型归纳 ) 题型一　测量 例题：（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，直立在点B处的标杆AB＝2.5m，站立在点F处的观测者从点E看到标杆顶A，树顶C在同一直线上(点F，B，D也在同一直线上)．已知BD＝10m,FB＝3m,人的高度EF＝1.7 m,则树高DC是______．(精确到0.1 m) 【答案】5.2m 【详解】解：过点E作EM⊥CD,交AB与点N.∴ , 故答案为5.2m． 【点评】本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形． 巩固训练 1．（22-23年级·吉林长春·期中）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　 　）    A．32m B．36m C．48m D．56m 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质解答即可； 【详解】∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=48m，故选C． 【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．（2023·北京·二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为______米．（注：反射角等于入射角） 【答案】6.4 【分析】先证△CDE∽△ABE，可得，把已知值代入可得AB. 【详解】解：由已知可得∠AEB=∠CED,∠CDE=∠ABE=90°，所以△CDE∽△ABE， 所以，即， 解得AB=6.4(米) 故答案为6.4 【点评】本题考核知识点：相似三角形.解题关键点：证三角形相似，得出比例式. 3．（19-20九年级上·山东济南·期中）如图，2m长的竹竿竖直放置，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为______米． 【答案】6 【分析】设树的高度为xm，根据相似三角形的性质即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设树的高度为xm， 根据题意得：，解得：x=6.故答案为6. 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 题型二　含30度角的直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线，然后可得四边形是平行四边形，则有，，进而可得，所以可知当当时，有最小值，最后问题可求解 【详解】解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， 是等边三角形， ∴∠PMC=∠ACB=60°， ∴∠CAP=∠MPAB=30°． ∵四边形是平行四边形， ， ∴当时，有最小值，此时， 最小值是． 故答案为 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出是解决问题的关键．由菱形的性质得出，，，在中，由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，得出，由菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 在中， ， ， ， ， 菱形的面积． 故选：D 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解此题的关键．延长交的延长线于点，根据题意可推出，进而求出，，再根据勾股定理求出、，最后根据，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点， ，，，， ， ，， ，， ． 故答案为： 3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F．    (1)求，的度数． (2)若平行四边形的周长为36，的长为8．求的长． 【答案】(1)，；(2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质． （1）首先根据平行四边形的性质，，，可求得和的度数为，再求得，； （2）根据的周长及的长，可求出的长，由可求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴在和中，， ∴； 故答案为：，． （2）∵的周长为36，的长为8， ∴的长为， ∵在中，， ∴， ∴． 题型三　直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等．过点作交于点，先证四边形是平行四边形，求出，再证，推导出，，再用勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ，， 是的中点， ， ， 在△ADE和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，对角线，过点作于点，点是的中点，连接，则_______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，连接，由菱形可得经过点，且，，由勾股定理求出，再由斜边中线得到． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形，点是的中点， ∴经过点，，， ， ，点为中点， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知，如图，在△ABC中，是△ABC的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）有两个全等的三角形纸片△ABC和△DEF，其中，，将△ABC和△DEF，按如图所示方式摆放，斜边和的中点重合（标记为点），交于点．当DF∥AB时，试判断四边形AGDO的形状，并说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【分析】根据菱形的判定定理，全等三角形的性质，结合直角三角形的性质证明即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角形全等的性质，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又点是斜边和的中点， ， 平行四边形是菱形． 题型四　锐角三角函数 例题：（2024九年级下·广东东莞·学业考试）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求角的三角函数值，勾股定理，先利用勾股定理求出，然后根据正弦的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点评】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 题型五　锐角三角函数的关系 例题：（2015·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点评】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 巩固训练 1．（19-20九年级上·北京昌平·期末）在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意； B、，∴，故B成立，符合题意； C、，∴，故C不成立，不符合题意； D、，∴，故D不成立，不符合题意； 故选：B．    【点评】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 3．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型六　特殊角的三角函数值 例题：（2024·天津·三模）的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数值及二次根式的加减运算，将，代入，再进行加减运算即可．熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案； （2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1） ； （2）解： ． 题型七　锐角三角函数的性质 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 题型八　用计算器进行有关三角函数的计算 例题：（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 巩固训练 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【答案】B 【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【详解】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为   故选：B． 【点评】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键． 2．（2023·山东威海·一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：    故选：A． 【点评】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣． 3．（22-23九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 题型九　解直角三角形的相关计算 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由直角三角形锐角互余求出，由“正切”求出，最后再运用勾股定理求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，． （1）若，，则______，______，______； （2）若，，则AC的长为______； （3）若，，则BC的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数的定义、解直角三角形等知识，掌握三角函数的定义成为解题的关键 （1）先根据勾股定理求得的长，然后根据三角函数的定义即可解答； （2）先运用正弦的定义求得，然后再运用勾股定理即可解答； （3）直接运用正弦的定义解答即可． 【详解】解：（1）在△ABC中，，，， ∴, ∴，，． 故答案为：、、． （2）∵，， ∴,即，解得：， ∴． 故答案为． （3）∵，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 2．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）△ABC中，和均为锐角，，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数定义求值及勾股定理．过点作于点．在中，已知和的值，根据三角函数可求的长；在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点． 在中，，， ． 在中，， ． ．故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 题型十　仰角俯角问题 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 【答案】(1)2.9厘米；(2)能；理由见解析 【分析】此题主要考查了解解直角三角形的应用仰角俯角问题，视点、视角和盲区． （1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到结论； （2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：过C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小帅最少需要下蹲厘米才能被识别； （2）解：如图3，过B作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小美踮起脚尖后头顶的高度为， ∴小美头顶超出点N的高度为：， ∴踮起脚尖小美能被识别． 巩固训练 1．（2023九年级·浙江温州·专题练习）如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为____．若，则所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握仰俯角的定义，灵活运用锐角三角函数是解题关键．连接，，则四边形为矩形，则，由是等腰直角三角形，得到，再利用特殊角的三角函数值，求出，即可求出点C距离地面的高度；延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，利用特殊角的三角函数值，求出，进而求出，设劣弧所在的圆的圆心为，，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，则四边形为矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 测角仪沿着向灯杆方向水平前进达到， ， ， ， ， ， 即点C距离地面的高度为； 如图，延长交于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 设劣弧所在的圆的圆心为，，则， ， ，解得：， ，即所在圆的半径为， 故答案为：；． 2．（2024·湖北襄阳·一模）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    【答案】m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题，作，可得，进一步得，根据即可求解. 【详解】解：如图所示：作，    设， ∵, ∴ ∴ ∵， ∴ 解得： 即：气球离地面的高度为m 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)索道的长约为．(2)水平距离的长约为 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． （2）延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为 题型十一　方位角问题 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为；(2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可． （1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果； （2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M， 由题意可知：中，，， ， ， 在中，，， ， ， 答：B点与糖所在位置C点之间的距离为； （2）如图，过点C作与点N， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为． 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了_______海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 【答案】58 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求的长． 【详解】解：由题意得：（海里）， 在中，海里， ∴（海里） （海里）， 在中，， ∴（海里）， （海里）， 即乙船向正东方向航行了58海里， 故答案为：58 2．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米；(2)走点A经过点B到点C的路线较近 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴小王从点A经过点B到点C较近． 3．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 【答案】N、A之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．过点M作于C，过N作于E，过M作于D，求出，，由，得到，设，则，求出，，根据勾股定理得，即可解答． 【详解】解：过点M作于C，过N作于E，过M作于D，如图， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵，， 设，则， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∴N、A之间的距离为． 题型十二　坡度坡比问题 例题：（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 巩固训练 1．（2024九年级下·河南周口·专题练习）彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】约为． 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 过点作，垂足为，延长交于点，证明四边形是矩形后可得，再根据解直角三角形的计算求得、，最后根据 即可得解，注意结果要精确到． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ． ， 由题意得，， ． 答：此彩虹滑道最高点到地面的距离约为． 2．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为；(2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 3．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米；(2)边靖楼AB的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． ( 41 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$