第24章 解直角三角形（考点专练，18考点）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第24章 解直角三角形（考点专练） 考点一 用相似的知识进行间接测量（共4题） 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为_______． 3．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是_______米． 4．（2024九年级下·上海·专题练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为_______米． 考点二 含30度角的直角三角形（共4题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△ABC中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，则底边上的高_______． 4．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，点和原点重合．其中，∠B=90°，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 考点三 直角三角形斜边中线等于斜边一半（共4题） 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 2．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）△ABC，． （1）如图①，若，则_______°； （2）如图①，若，，则_________； （3）如图②，是边上的中线，若，则__________； （4）如图③，于点，若，，则的长为________． 4．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）直角三角形斜边上高线和中线分别是和，则它的面积是______． 考点四 锐角三角函数的概念（共4题） 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在△ABC中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在△ABC中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 考点五 求锐角三角函数的值（共4题） 1．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，对角线与相交于点，若，则_______． 4．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）已知△ABC为直角三角形，，，将△ABC绕点C逆时针旋转得，连接，则________． 考点六 已知锐角三角函数值求边长（共4题） 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）在△ABC中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，，，，则_______ 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在矩形中，E是上的一点，沿将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在边上．若，，求的长． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． (1)证明四边形是平行四边形． (2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 考点七 特殊角的三角函数值（共4题） 1．（2024·天津河北·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）计算：_______． 3．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）计算： (1)． (2)． 4．（24-25九年级上·山东聊城·开学考试）计算： (1)； (2)； 考点八 根据特殊角三角函数值求角的度数（共4题） 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）在△ABC中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为_______． 3．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是_______． 4．（2023九年级·四川宜宾·专题练习）在△ABC中，若，则的度数为______． 考点九 根据特殊角三角函数值判断三角形的形状（共4题） 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果△ABC中，，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC是等边三角形 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，，都是锐角，且，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在△ABC中，、都是锐角，且，则△ABC的形状是_______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 4．（2020·四川自贡·一模）在△ABC中，若满足，则△ABC是_______三角形． 考点十 已知角度比较三角函数值的大小（共4题） 1．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·安徽·专题练习）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”） 若，则___________；若，则__________；若，则__________； （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 考点十一 根据三角函数值判断锐角的范围（共4题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，△ABC中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A．∠FBD﹥∠FCD B．∠FBD﹤FCD C．∠FCE﹥∠FCD D．∠FCE﹤∠FCD 3．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为___________； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为___________． 4．（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足________． 考点十二 同角三角函数的关系（共4题） 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 3．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则______． 4．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 考点十三 互余两角的三角函数的关系（共4题） 1．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为______． 4．（21-22九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则锐角_____°． 考点十四 计算器计算三角函数（共4题） 1．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为a； 按键的结果为b；则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 3．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在△ABC中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东东营·模拟预测）某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 考点十五 解直角三角形的相关计算（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为________．（结果保留根号） 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，，．点D在上，，连接，则______． 3．（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求△ABC的面积（结果保留根号）． 考点十六 仰角俯角问题（共4题） 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为______．（已知，结果保留一位小数．） 2．（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得与人行道的夹角为，测得龙头头顶A的仰角为；沿着人行道直行到达点D处，此时测得与人行道的夹角恰好也是．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即，，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 3．（2023·海南海口·模拟预测）小明与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树顶端A的仰角为，沿着方向向大树行进到点D，测得A的仰角为，此时，D到大树的底部B的距离为10米 ，又测得树倾斜角． (1)求的长； (2)求树长． 4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空：度，度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 考点十七 解直角三角形的相关计算（共4题） 1．（2023九年级·山东泰安·学业考试）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是_________海里．（参考数据：，，） 3．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西方向上． (1)求超市D到直线的距离； (2)已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①；②．请计算说明哪条路线短？（参考数据：，，） 4．（22-23八年级下·重庆璧山·期中）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 考点十八 坡度坡比问题（共4题） 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 3．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 )科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形（考点专练） 考点一 用相似的知识进行间接测量（共4题） 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．根据题意得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 即桶内油的高度为：．故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为_______． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的运用．熟练掌握相似三角形的对应边成比例，是解答此题的关键． 设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设这棵树的高度是x米， 根据题意得：，解得：； 即这棵树的高度为11米．故答案为：11． 3．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是_______米． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，， ， ， 小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米， ，，， ，解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米．故答案为：． 4．（2024九年级下·上海·专题练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为_______米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 考点二 含30度角的直角三角形（共4题） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△ABC中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在△ABC中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 3．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，则底边上的高_______． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特征，由等腰三角形的性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，即可得到边上的高． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， 故答案为： 4．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，点和原点重合．其中，∠B=90°，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)能，；(3)当或时，△DEF为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据所对的直角边是斜边的一半，得到，即可得到； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形为菱形，列式计算即可； （3）分分别为直角，进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：能，理由如下； ∵，点B为原点， ∴， ∵，， ∴， ∴点移动的时间为：，点移动的时间为：， ∴运动的总时间为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：当或4时，为直角三角形．理由如下： ①当时，如图： 由（2）知：四边形为平行四边形，，则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； ②当时，如图： 同①可得：， 即：，解得：； ③，此情况不存在； 综上，当或时，为直角三角形． 【点评】本题考查含的直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等等．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．注意，分类讨论． 考点三 直角三角形斜边中线等于斜边一半（共4题） 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半和勾股定理是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由菱形的性质得到 点O为的中点，则可得到，再根据直角三角形的性质得到，则可得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴ 点O为的中点， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）△ABC，． （1）如图①，若，则_______°； （2）如图①，若，，则_________； （3）如图②，是边上的中线，若，则__________； （4）如图③，于点，若，，则的长为________． 【答案】 70 12 10 9.6 【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答． （2）运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答． （4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴∠A=90°-20°=70° 故答案为：70； （2）∵ ∴， 故答案为：12 （3）∵，是边上的中线， ∴ ∴ 故答案为：10； （4）∵，， ∴ ∵于点 ∴ 则 ∴ 则的长为 故答案为： 4．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）直角三角形斜边上高线和中线分别是和，则它的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质和三角形的面积，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，再根据三角形的面积公式求出即可．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，在中，，，是边上的中线，，， ∴， ∴， ∴它的面积是． 故答案为：． 考点四 锐角三角函数的概念（共4题） 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D    在中，, ∴， ∴点到的距离为，故B正确． 故选：B． 2．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在△ABC中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在△ABC中，，， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在△ABC中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在△ABC中, 故选：． 考点五 求锐角三角函数的值（共4题） 1．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， ∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 2．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正弦的定义等知识点，根据网格和勾股定理以及等面积法求得成为解题的关键． 如图，取的中点D，则，垂足为E，由网格可得、，再根据等面积法求得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取的中点D，则，垂足为E， 由网格可得，，， 则边上的高， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，对角线与相交于点，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，平行四边形的性质，矩形的性质与判定；过点作于点，过点作，交的延长线于点，设，则，得出，进而得出是等腰直角三角形，求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如解图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴△BDE是等腰直角三角形，则， ∴， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ． 故答案为：． 4．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）已知△ABC为直角三角形，，，将△ABC绕点C逆时针旋转得，连接，则________． 【答案】 【分析】此题考查了求角的正切值，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定解题的关键是掌握以上知识点．， 过E作，设，则，表示出，然后利用正切的概念求解即可． 【详解】过E作， 设，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ． 故答案为：． 考点六 已知锐角三角函数值求边长（共4题） 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）在△ABC中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是关键． 根据正弦的定义及条件求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：在中，， ∴， 故选：C． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，，，，则_______ 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键． 根据题意得出，确定，然后再利用余弦求解即可． 【详解】解： ，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在矩形中，E是上的一点，沿将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在边上．若，，求的长． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得出，，由折叠的性质得出，证明 ，由相似三角形的性质可得出，由正切的定义得出， 设，则可得出，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ，， ∵沿将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在边上， ， ， ； ∴， 由折叠的性质可得出：， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 在中，， ， 解得，（舍去） 的长是． 【点评】本题主要考查了折叠的性质， 相似三角形的判定以及性质，正切的定义，以及矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． (1)证明四边形是平行四边形． (2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 【答案】(1)见解析；(2)2 【分析】本题主要考查对特殊四边形的性质，全等三角形的性质和判定，正切． （1）证即可； （2）设：，则，，即可求解． 【详解】（1）是矩形，，， ，，， ， ， 同理， 四边形为平行四边形； （2）设：，则， ， ， 在中，， 解得：， 即：的长为2． 考点七 特殊角的三角函数值（共4题） 1．（2024·天津河北·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值问题，根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． （1）先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（24-25九年级上·山东聊城·开学考试）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)2；(2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． （2）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： （2） 考点八 根据特殊角三角函数值求角的度数（共4题） 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）在△ABC中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识，先由非负数和为零的条件得到，再由特殊角的三角函数值求出，最后由三角形内角和定理即可得到答案，熟记非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在△ABC中，若， ，， ， 解得， ， 在△ABC中，由三角形内角和定理可得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为_______． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 3．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是_______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴∠D=90° ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2023九年级·四川宜宾·专题练习）在△ABC中，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性． 根据题意得出，进而得出，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ， 故答案为：． 考点九 根据特殊角三角函数值判断三角形的形状（共4题） 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果△ABC中，，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC是等边三角形 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ∴∠A=∠B=45°， 是等腰直角三角形． 故选C． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，，都是锐角，且，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即△ABC为直角三角形， 故选：D． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在△ABC中，、都是锐角，且，则△ABC的形状是_______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在△ABC中，， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 4．（2020·四川自贡·一模）在△ABC中，若满足，则△ABC是_______三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 考点十 已知角度比较三角函数值的大小（共4题） 1．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 2．（2023九年级下·安徽·专题练习）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了不等式的传递性． 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”） 若，则___________；若，则__________；若，则__________； （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4） 【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到； （2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案； （3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案； （4）由，，利用（1）的结论解答即可． 【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点， 显然有：，． ∵，，， 而． ∴． 在图（2）中，中，， ，，， ∵， ∴． 即． （2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小， ∴； ． （3）∵，， ∴若，则； ∵，， ∴若，则； ∵，， ∴若，则． 故答案为：=，<，>； （4）∵，，且， ∴． 【点评】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 考点十一 根据三角函数值判断锐角的范围（共4题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，△ABC中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A．∠FBD﹥∠FCD B．∠FBD﹤FCD C．∠FCE﹥∠FCD D．∠FCE﹤∠FCD 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由tan∠FBD =，tan∠FCD =，得到tan∠FBD﹥tan∠FCD，∴∠FBD﹥∠FCD，由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到∠FCE=∠FCD ，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵tan∠FBD =，tan∠FCD =， ∴tan∠FBD﹥tan∠FCD， ∴∠FBD﹥∠FCD， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴∠FCE=∠FCD， 故选：A． 3．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为___________； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为___________． 【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α 【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可； （2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可． 【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678， ∴sinα＜sinγ＜sinβ， ∴ α＜γ＜β； （2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024， ∴cosα＜cosγ＜cosβ， ∴ β＜γ＜α． 故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 4．（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足________． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 考点十二 同角三角函数的关系（共4题） 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 2．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∵ ∴原式 故答案为：． 4．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 【答案】 【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案． 【详解】解：为锐角，，得 ， ． ． 【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键． 考点十三 互余两角的三角函数的关系（共4题） 1．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：C． 【点评】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦． 2．（21-22九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 4．（21-22九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则锐角_____°． 【答案】40 【分析】根据可得，，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了三角函数的计算，解题的关键在于能够熟练掌握：． 考点十四 计算器计算三角函数（共4题） 1．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为a； 按键的结果为b；则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，根据按键顺序，列出算式，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】 解：A、按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； B、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； C、  按键的结果为，原计算结果错误，故此选项符合题意； D、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在△ABC中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正切函数值求边长，涉及计算器的使用，根据题意，得到，借助科学计算器求解即可得到答案，熟记正切函数值求边长的方法及科学计算器的使用是解决问题的关键． 【详解】解：在△ABC中，，，，则， 边的长为， 若用科学计算器求边的长，则按键顺序正确， 故选：D． 4．（2024·山东东营·模拟预测）某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案． 【详解】解：使用计算器计算得：， ∴显示的结果在之间， 故选：B． 考点十五 解直角三角形的相关计算（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形面积公式，过点作，交的延长线于点，则，解直角三角形得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，，．点D在上，，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点评】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求△ABC的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 考点十六 仰角俯角问题（共4题） 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为______．（已知，结果保留一位小数．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等角对等边，过作于点，则四边形是矩形，得，，设，则，再根据解直角三角形和解方程即可求解，根据题意条件并结合适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：为原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：． 2．（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得与人行道的夹角为，测得龙头头顶A的仰角为；沿着人行道直行到达点D处，此时测得与人行道的夹角恰好也是．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即，，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先证明是等腰直角三角形，求得的长，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 答：龙头头顶A距离地面的高度约为． 3．（2023·海南海口·模拟预测）小明与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树顶端A的仰角为，沿着方向向大树行进到点D，测得A的仰角为，此时，D到大树的底部B的距离为10米 ，又测得树倾斜角． (1)求的长； (2)求树长． 【答案】(1)的长为米；(2)树长为米 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过B作于E，得出， ，先求出米，则（米）最后根据即可解答， （2）根据含30度角直角三角形的特征，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵，，， ∴， ， ∵米， ∴米， ∴（米） ∴米， 答：的长为米． （2）解：∵，， ∴（米）， 答：树长为米． 4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空：度，度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】(1)45，40；(2)电子显示屏的底端C距地面；(3)电子显示屏高的值约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得，，即可求解； （2）延长交地面与点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （3）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 则，； 故答案为：45，40； （2）延长交地面与点E，过点A作， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏的底端C距地面； （3）在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏高的值约为． 考点十七 解直角三角形的相关计算（共4题） 1．（2023九年级·山东泰安·学业考试）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是_________海里．（参考数据：，，） 【答案】140 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 3．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西方向上． (1)求超市D到直线的距离； (2)已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①；②．请计算说明哪条路线短？（参考数据：，，） 【答案】(1)超市D到直线的距离约为400米；(2)路线①短，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，，米，从而利用垂直定义可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，然后设米，则米，米，从而可得，进而可得米，米，米，最后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E， 在中，米，， ∴（米）， ∴超市D到直线的距离约为400米； （2）路线①短， 理由：延长交于点F， 由题意得：，，，米， ∴， ∵， ∴， 设米，则米， ∵米， ∴米， ∴， 解得：， ∴米，米，米， ∴（米）， 在中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴路线①的总路程（米）， 路线②的总路程（米）， ∵700米米， ∴路线①短． 4．（22-23八年级下·重庆璧山·期中）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】(1)海里；(2)救助船先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、实数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，由题意得：海里，，，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可得出答案； （2）分别求出救助船、所花时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作于，则， ， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中，（海里）， ∴收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离海里； （2）解：∵救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所花时间为（小时），救助船所花时间为， ∵， ∴救助船先到达． 考点十八 坡度坡比问题（共4题） 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ， 故选：B． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，利用解直角三角形的相关知识计算即可． 本题考查了坡角，仰角的应用，熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 答：居民楼的高度为． 3．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为；(2)纪念碑的实际高度为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 【答案】 【分析】根据矩形的判定和性质，坡比的意义，解直角三角形的知识解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，坡比的计算，解直角三角形，熟练掌握坡比的计算，解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴． ∵斜坡的坡度为， ∴， 则， 答：坝底的长为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$