1.2 直角三角形的性质和判定(II)(第1课时 勾股定理) 教学设计 2023—2024学年湘教版八年级数学下册

1.2　直角三角形的性质和判定（II）（第1课时 勾股定理） 八年级数学下册 北海市华侨中学 徐 莉 教学目标： 1.了解有关勾股定理的文化历史背景，感受数学文化. 2.会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合及由特殊到一般的数学思想. 3.能用勾股定理进行简单的计算. 教学重点： 勾股定理的证明. 教学难点： 利用面积法探索勾股定理 教学过程： 一、引新 1. 我们欣赏音乐、舞蹈与绘画美的同时，数学几何图形的变换也给我们带来美的享受。同学们请看屏幕的动态图像什么？好像一棵树，这其实就是利用今天我们将学习的知识为原型制作的，它叫勾股树。在这棵勾股树中我们看到了什么图形？（引出课题） 2.同学们想也绘制出这样一棵美丽的勾股树吗？要绘制这样的一棵树需要我们掌握哪些知识？（出示学习目标） 【设计意图】用八桂教学通中的数字资源展示美丽的勾股树激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。同时设置勾股之旅打卡点，串起整堂课。 二、发现 相传2500多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯就是有一次在朋友家作客时，通过观察地板上铺的地砖发现了直角三角形三边的数量关系。我们也追随前人的足迹，看看当年地板的图案到底蕴藏怎样的数学知识。 1. 图中三个正方形的面积之间有什么关系？ 2. 等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？ 【设计意图】以毕达哥拉斯的发现为例，了解勾股定理的历史背景，提高学生学习的兴趣,从最特殊的直角三角形入手。通过数字教材中的动态演示，观察正方形面积关系得到三边关系，得出等腰直角三角形三边之间的数量关系，并进行初步的一般化 3、 探究 （一）量一量，做一做 1.在方格纸上画一个顶点都在格点的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，使得∠C=90°. 2.在方格纸上，以Rt△ABC的三边为边长分别向外做正方形，得到三个大小不同的正方形. 3.（1）计算图中斜边的长度. （2）图中三个正方形的面积S1,S2,S3之间有何关系？ （3）图中三个正方形所围成的直角三角形三边之间有什么关系？ 【设计意图】由对等腰直角三角形的探究过渡到某个直角三角形的探究，让学生体会从特殊到一般的思想。引导学生先画图，再探究，体验知识的形成。 （二）想一想，猜一猜 1.任意的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？ 提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.用GGB软件进行动态演示任意直角三角形三边的平方关系，学生观察，验证猜想。 3.如果前提不是直角三角形，三角形的三边是否还满足这样的数量关系？学生观察直角三角形、钝角三角形、锐角三角形的注水实验演示，感受只在直角三角形中存在a2+b2=c2的数量关系。 【设计意图】用八桂教学通中GGB软件进行动态演示，改变直角三角形的三边大小，为学生提供直观数据支持，让猜想得到验证。再提出问题，前提不是直角三角形，三角形的三边是否还满足a2+b2=c2的数量关系？通过观察注水实验演示，直观感受，明确只在直角三角形中存在a2+b2=c2的数量关系 。 （三）拼一拼，证一证 上面的实验我们提供了大量的数据的验证，是否这个猜想确定无疑了呢？所以，还需要对猜想进行论证.对于勾股定理的证法至今已有400多种，我国古代数学家赵爽就曾经用四个全等的直角三角形证明了勾股定理，下面也请同学们来拼一拼，看看能不能也用四个全等的直角三角形去来证明勾股定理。 1. 准备4个全等的直角三角形（设两条直角边分别为a,b,斜边为c). 2. 你能用这四个直角三角形拼成一个大正方形吗？拼一拼试试看？ 3. 能否利用拼出的图形证明 a2+b2=c2 ？ 证明： 大正方形的面积可以表示为：________________________________________. 也可以表示为：__________________________________________. 【设计意图】动手操作为学生提供从事数学活动的机会，发展形象思维。学生利用正方形面积的表示，先直观感知，再逻辑证明，体验知识获得的喜悦，培养学生认真观察的能力，感受生活中人人都可以研究数学，增强学习数学的兴趣。 （四）归纳总结A B C a b c 1.直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方. 即：_____________. 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90° ∴____________________ . 2. 直角三角形三边的数量关系为什么叫勾股定理？介绍勾股定理由来和历史 【设计意图】归纳总结出勾股定理之后，尝试用几何语言进行表述，用数学的语言来表述勾股定理。由勾股定理的命名引出介绍勾股定理的历史，了解古代数学家对勾股定理所作出的贡献，增强民族自豪感。 四、应用 例1. 在Rt△ABC中,∠C=90° （1）已知a=3，b=3，则c =______. （2）已知b=8，c=10，则a =_______. 【变式】 在 Rt △ ABC 中， AB ＝4 ， AC ＝3 ，求 BC 的长. 例2：在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ 【拓展】我们已经知道，以直角三角形a,b,c为边，向外作正方形，那么S1+S2=S3.如图，如果以直角三角形三边向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边作等边三角形呢？ 四、提升 1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？在学习过程中用到了哪些数学思想方法？ 2. 出示申圆所做诗《勾股定理》： 忧戚之林隐月光，股勾方和等弦方。 欧几里得释疑惑，海逊飞奔逐太阳。 希腊毛徒根号二，无端屈死坠江亡。 质能量子方程合，赵爽商高笑曰狂。 【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化及数学美，感悟数形结合和从特殊到一般的数学思想，体会研究问题的方法：观察—猜想—验证—论证，引发学生更深层次的思考，促进学生数学核心素养的养成。 五、作业 必做题： 1.课本P16 习题1.2 A组 第1、3 题. 2.如图，图中所有三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积. 选做题：查阅资料，搜集有关勾股定理的历史资料、趣事或者证明方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$