吉林省吉林市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质

吉林省吉林市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质 一．选择题（共10小题） 1．（2024•昌邑区二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•吉林二模）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝∠2＝∠3，下列说法错误的是（　　） A．∠1＝90° B．b⊥c C．a∥b D．a⊥b 3．（2024•吉林二模）下列命题： ①对顶角相等； ②同旁内角互补； ③同角的余角相等； ④垂线段最短．其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024•吉林二模）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC的度数可能是（　　） A．50° B．90° C．110° D．150° 5．（2024•昌邑区二模）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 6．（2024•昌邑区二模）如图，在△ABC中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（　　） A．∠BAE＝∠CAE B．BE＝CE C．BD＝CD D．BF＝CF 7．（2024•永吉县二模）含60°角的直角三角板与直线a、直线b的位置关系如图所示，若a∥b，∠ADC＝58°，则∠α的度数是（　　） A．122° B．62° C．38° D．28° 8．（2024•永吉县二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝25°，那么∠ACB的大小为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 9．（2024•船营区二模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　） A． B．7 C． D．8 10．（2024•船营区二模）如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB＝52°，若P为上一点，∠AOP＝64°，则∠POB的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 二．填空题（共10小题） 11．（2024•吉林二模）比较大小：20.24° 　 　20°24′（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．（2024•吉林二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于E，F两点；②作直线EF交AB于点G；③连接CG．若AC＝12，BC＝5，则CG＝　 　． 13．（2024•吉林二模）如图，在扇形OAB 中，OC平分∠AOB交于点C，点D为半径OA上一动点，连接BD，CD．若∠AOB＝40°，OB＝9，则阴影部分图形周长的最小值为 　 　（结果保留π）． 14．（2024•吉林二模）如图，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，点O为射线AF上一点，以点O为圆心，AO长为半径画圆．若∠BAC＝80°，AO＝3，则图中阴影部分的面积是 　 　（结果保留π）． 15．（2024•吉林二模）若边长为5cm的正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的周长为 　 　cm． 16．（2024•吉林二模）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　 　种． 17．（2024•吉林二模）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，交DC于点G，则∠AGC 　 　°． 18．（2024•永吉县二模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 　 　． 19．（2024•永吉县二模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2cm，以点A和点D为圆心画和，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．（结果保留π） 20．（2024•船营区二模）如图，在半径为的扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 　 　． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•吉林二模）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C． 22．（2024•吉林二模）图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，矩形ABCD的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺画图，不要求写画法． （1）在图1中，在CD上找一点M，连接BM，使得BM＝AB． （2）在图2中，在CD上找一点N，连接AN，BN，使得BN平分∠ANC． 23．（2024•吉林二模）如图，四边形ABCD是边长为5正方形，线段AB绕点A顺时针旋转到AM处，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BM，点N在射线BM上，连接CN，使CN＝BC，连接DM，DN． （1）①当α＝20°时，∠DCN＝　 　°． ②∠DCN＝　 　（用含有α的代数式表示）． （2）求证（可直接利用问题（1）中②的结论）． （3）连接CM，当CM⊥BN时，直接写出DM的长． 24．（2024•吉林二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝4cm．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为，点F以1cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，连接EF，BE．设运动时间为x（s），△BEF的面积为y（cm2）（y＞0）． （1）AE的长为 　 　cm（用含x的代数式表示）． （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）当△BEF为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 25．（2024•永吉县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向终点B运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接PQ，以PA，PQ为边向右作▱APQD．设运动时间为x（s），▱APQD与△RtABC重合部分的面积为y（cm2）． （1）当点D落在AB边上时，x＝　 　s． （2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当直线DQ把Rt△ABC的面积分成1：2两部分时，直接写出x的值． 吉林省吉林市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•昌邑区二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、绕轴旋转一周可得到圆柱，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到球体，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到一个中间空心的几何体，故此选项不合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024•吉林二模）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝∠2＝∠3，下列说法错误的是（　　） A．∠1＝90° B．b⊥c C．a∥b D．a⊥b 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝90°， 故A不符合题意； ∵∠3＝∠1＝90°， ∴b⊥c， 故B不符合题意； ∵∠1＝90°， ∴a⊥c， ∵b⊥c， ∴a∥b， 故C不符合题意； a和b平行，不垂直， 故D符合题意． 故选：D． 3．（2024•吉林二模）下列命题： ①对顶角相等； ②同旁内角互补； ③同角的余角相等； ④垂线段最短．其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①对顶角相等，正确； ②被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误； ③同角的余角相等，正确； ④垂线段最短，正确； 故选：C． 4．（2024•吉林二模）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC的度数可能是（　　） A．50° B．90° C．110° D．150° 【解答】解：如图，连接BC， ∵∠BAC＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣100°）＝40°， ∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合）， ∴0°＜∠OCP＜40°， ∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝100°+∠OCP， ∴100°＜∠BPC＜140°， ∴∠BPC的度数可能是110°． 故选：C． 5．（2024•昌邑区二模）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【解答】解：如图，连接BC， ∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，且∠BAD＝110°， ∴∠C＝70°， ∵OB＝OC， ∴∠BOC＝180°﹣2×70°＝40°， ∵AD∥OB， ∴∠D＝∠BOC＝40°． 故选：B． 6．（2024•昌邑区二模）如图，在△ABC中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（　　） A．∠BAE＝∠CAE B．BE＝CE C．BD＝CD D．BF＝CF 【解答】解：由作图知，AF是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，故A不符合题意； 由作图知MN垂直平分BC， ∴BD＝CD，BF＝CF，故C，D不符合题意； 无法证明BE＝CE，故B符合题意， 故选：B． 7．（2024•永吉县二模）含60°角的直角三角板与直线a、直线b的位置关系如图所示，若a∥b，∠ADC＝58°，则∠α的度数是（　　） A．122° B．62° C．38° D．28° 【解答】解：如图： ∵DC∥BE， ∴∠ADC＝∠ABE＝58°， ∴∠α＝∠ABE﹣∠ABC＝58°﹣30°＝28°， 故选：D． 8．（2024•永吉县二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝25°，那么∠ACB的大小为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∴∠ACB∠AOB＝65°， 故选：C． 9．（2024•船营区二模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　） A． B．7 C． D．8 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC6＝3， ∴△DEF∽△BMF， ∴2， ∴BM， CM＝BC+BM． 故选：C． 10．（2024•船营区二模）如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB＝52°，若P为上一点，∠AOP＝64°，则∠POB的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：∵∠ACB＝52°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝104°， ∵∠AOP＝64°， ∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝40°． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2024•吉林二模）比较大小：20.24° 　＜　20°24′（填“＞”“＜”或“＝”）． 【解答】解：20°24′ ＝20°+（24÷60）° ＝20.4°＞20.24°， 故答案为：＜． 12．（2024•吉林二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于E，F两点；②作直线EF交AB于点G；③连接CG．若AC＝12，BC＝5，则CG＝　　． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， 由作法得EF垂直平分AB， 点G是斜边AB的中点， ∴GBAB． 故答案为：． 13．（2024•吉林二模）如图，在扇形OAB 中，OC平分∠AOB交于点C，点D为半径OA上一动点，连接BD，CD．若∠AOB＝40°，OB＝9，则阴影部分图形周长的最小值为 　9+π　（结果保留π）． 【解答】解：作C点关于直线OA的对称点E，连接BE，与OA的交点为D点，此时阴影部分周长最小， 在扇形AOB中，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB交于点C， ∴∠AOC＝∠BOC＝20°， 由轴对称的性质，∠EOA＝∠COA＝20°，OE＝OC， ∴∠BOE＝60°， ∴△BOE是等边三角形， ∵OB＝9， ∴BE＝9，的长2π， ∴阴影部分周长的最小值为9+π， 故答案为：9+π． 14．（2024•吉林二模）如图，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，点O为射线AF上一点，以点O为圆心，AO长为半径画圆．若∠BAC＝80°，AO＝3，则图中阴影部分的面积是 　　（结果保留π）． 【解答】解：如图，连接OM， 根据题意可得：∠BAC＝80°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝20°，AO＝MO， ∴∠MAO＝60°， ∴△AMO是等边三角形， 过O作OH⊥AM， ∵∠3＝∠4＝20°， ∴S扇形ANG＝S扇形AGP， ∴S阴影＝S半圆﹣S扇形AMO+S△AMO ． 故答案为：． 15．（2024•吉林二模）若边长为5cm的正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的周长为 　25　cm． 【解答】解：∵边长为5cm的正多边形的一个外角是72°， 则该正多边形的边数为：360°÷72°＝5， ∴其周长为5×5＝25（cm）． 故答案为：25． 16．（2024•吉林二模）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　2　种． 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm）， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即282+212＝AB2， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长，即最大时为35（cm）， ∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为：34，34.5，共2种， 故答案为：2． 17．（2024•吉林二模）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，交DC于点G，则∠AGC 　135　°． 【解答】解：根据作图依据可得AF是∠BAD的角平分线， ∵在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADG＝90°， ∴， ∴∠AGC＝∠ADG+∠DAG＝135°， 故答案为：135． 18．（2024•永吉县二模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 　5　． 【解答】∵DE⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， ∴DE∥CF， 又∵DC∥EF， ∴四边形EDCF为平行四边形， ∴EF＝DC， 又∵DC为直角三角形斜边中线， ∴， ∴EF＝DC＝5． 故答案为：5． 19．（2024•永吉县二模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2cm，以点A和点D为圆心画和，则图中阴影部分的面积为 　　cm2．（结果保留π） 【解答】解：由正多边形每个内角公式可得：120°； ∵∠BAF＝∠CDE＝120°， ∴S扇形ABF＝S扇形DCE； 则阴影部分面积为：S阴． 故答案为：． 20．（2024•船营区二模）如图，在半径为的扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 　4π　． 【解答】解：∵DE∥OA，∠AOB＝90°， ∵∠ODE＝90°， ∵OE＝OB，D为OB的中点， ∴OE＝2OD， ∴∠DEO＝30°， ∴∠AOE＝∠DEO＝30°， ∴阴影部分的面积为4π． 故答案为：4π． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•吉林二模）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C． 【解答】证明：在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴∠A＝∠C． 22．（2024•吉林二模）图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，矩形ABCD的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺画图，不要求写画法． （1）在图1中，在CD上找一点M，连接BM，使得BM＝AB． （2）在图2中，在CD上找一点N，连接AN，BN，使得BN平分∠ANC． 【解答】解：（1）如图1中，点M即为所求； （2）如图2中，点N即为所求． 23．（2024•吉林二模）如图，四边形ABCD是边长为5正方形，线段AB绕点A顺时针旋转到AM处，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BM，点N在射线BM上，连接CN，使CN＝BC，连接DM，DN． （1）①当α＝20°时，∠DCN＝　70　°． ②∠DCN＝　90°﹣α　（用含有α的代数式表示）． （2）求证（可直接利用问题（1）中②的结论）． （3）连接CM，当CM⊥BN时，直接写出DM的长． 【解答】（1）解：①∵线段AB绕点A顺时针旋转到AM处， ∴AM＝AB，∠BAM＝α， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABM＝10°， ∵CN＝BC， ∴∠CNB＝∠NBC＝10°， ∴∠BCN＝180°﹣∠CNB﹣∠NBC＝160°， ∴∠DCN＝∠BCN﹣∠BCD＝160°﹣90°＝70°； 故答案为：70； ②∵， ∴， ∴∠BCN＝180°﹣∠CNB﹣∠NBC＝180°﹣α， ∴∠DCN＝∠BCN﹣∠BCD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α； 故答案为：90°﹣α． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵线段AB绕点A顺时针旋转到AM处， ∴AM＝AB，∠BAM＝α， ∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝90°﹣α， 由②可知：∠DCN＝90°﹣α， ∴∠DCN＝∠DAM， ∵CN＝BC， ∴CN＝AM＝AD＝CD， ∴△DCN≌△DAM（SAS）， ∴DN＝DM，∠CDN＝∠ADM， ∵∠ADM+∠CDM＝∠ADC＝90°， ∴∠MDN＝∠CDN+∠CDM＝∠ADM+∠CDM＝∠ADC＝90°， ∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2， ∴； （3）解：过点A作AP⊥BM于P，如图， 证明：正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝90°， ∵AP⊥BM，CM⊥BN， ∴∠APB＝∠BMC＝90°， ∴∠ABP+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠CBP， ∴△APB≌△BMC（AAS）， ∴AP＝BM， 由旋转可得：AM＝AB， ∵AP⊥BM， ∴， ∴， 在Rt△APB中，AB2＝AP2+BP2， ∴， ∴， ∵CN＝BC，CM⊥BN， ∴BM＝MN， ∴， 由（2）知：， ∴． 24．（2024•吉林二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝4cm．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为，点F以1cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，连接EF，BE．设运动时间为x（s），△BEF的面积为y（cm2）（y＞0）． （1）AE的长为 　2x或　cm（用含x的代数式表示）． （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）当△BEF为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）当点E在AC上时，则AE＝2x（cm）， 当点E在BC上时，如图，过点E作EH⊥AC于点H， 则CE＝2（x﹣2）， 则CH＝HECE＝2x﹣4，则AH＝AC﹣CH＝8﹣2x， 则AE（cm）， 故答案为：2x或； （2）当点E在CA上时， 则yAE•BE2x•x＝x2； 当点E在BC上时， 则yBF•AHx•（8﹣2x）＝﹣x2+4x， 即y； （3）当点E在AC上运动时， 此时，△BEF为钝角三角形，即x≤2； 当点E在BC上运动时， 当∠EFB为直角时， 则EFBE＝BF，即（BC﹣CE）＝BF， 由（1）知，CE＝2（x﹣2）， 即[42（x﹣2）]＝x， 解得：x； 当∠FEB为直角时， 则BEFB，即[42（x﹣2）]x， 解得：x； 综上，x或x． 25．（2024•永吉县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向终点B运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接PQ，以PA，PQ为边向右作▱APQD．设运动时间为x（s），▱APQD与△RtABC重合部分的面积为y（cm2）． （1）当点D落在AB边上时，x＝　　s． （2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当直线DQ把Rt△ABC的面积分成1：2两部分时，直接写出x的值． 【解答】解：（1）∵四边形APQD为平行四边形， ∴DQ∥AC，且AP＝DQ， ∴AP＝x，QB＝8﹣2x， 当点D在AB上时，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）由（1）可知，①当时，y＝S▱APQD＝AP•QC， ∴； ②当时，2x≤8时， 设QD与AB交DG， ∴， ∴， ∴， 综上所述，y与x之间的函数关系式； （3）①当直线DQ把Rt△ABC的面积分成S△BQG：S四边形GQCA＝1：2时，如图，DQ交AB于点G， ∵DQ∥AC， ∴△GBQ∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当直线DQ把Rt△ABC的面积分成S四边形GQCA：S△BQG＝1：2时，如图，延长DQ交AB于点G， ∵DQ∥AC，AP＝DQ＝x， ∴△BQG∽△BCA， ∴AP＝DQ＝x，CQ＝2x， ∵S四边形GQCA：S△BQG＝1：2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/18 16:01:49；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$