第二十一章 圆（上） 单元测试-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第二十一章 圆（上） 单元测试 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 2．（3分）已知⊙O的半径OA的长为2，若OB＝3，则得到的图形可能是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（　　） A．20° B．25° C．45° D．30° 4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到点E，则∠A与∠DCE的数量关系一定成立的是（　　） A．∠A＝∠DCE B．∠A+∠DCE＝180° C．∠A+∠DCE＝90° D．∠A＞∠DCE 6．（3分）如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 7．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 8．（3分）如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为 　 　. 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 　 　． 11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　 　度． 12．（3分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，如图1所示．图2为某竹简容器的截面图，已知截面的半径为10cm，开口AB的宽为12cm，这个容器所能装水的最大深度是 　 　cm． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E．若OE＝1.5，则CD＝　 　． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），以原点O为圆心，OA为半径作⊙O．若在⊙O内，设线段OP的长度为t，则t的取值范围是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分58分） 15．（7分）如图，两个圆的圆心为O，大圆半径OC，OD交小圆于点A，B，判断AB与CD的位置关系，并说明原因． 16．（7分）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积 　 　． 17．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径． 18．（8分）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度． 19．（10分）如图，在两个同心圆中，大圆的半径OA和OB分别交小圆于点C和D，连接AD、BC，交于点P． （1）证明：△OAD≌△OBC； （2）证明：△PAC≌△PBD； （3）问：点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？ 20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F． （1）若∠EAD＝75°，求的度数． （2）求证：DB＝DC． （3）若DA＝DF，当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）． 21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 圆（上） 单元测试 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 【分析】利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，然后计算∠D的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2， 而∠B+∠D＝180°， ∴∠D180°＝90°． 故选：C． 2．（3分）已知⊙O的半径OA的长为2，若OB＝3，则得到的图形可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点与圆的位置关系解决此题． 【解答】解：∵⊙O的半径OA的长为2，OB＝3， ∴B在⊙O的外面． 故选：A． 3．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（　　） A．20° B．25° C．45° D．30° 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解决问题即可． 【解答】解：∵， ∴∠ACB∠AOB， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝30°， 故选：D． 4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴AE＝EB＝4， ∴OA4． 故选：B． 5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到点E，则∠A与∠DCE的数量关系一定成立的是（　　） A．∠A＝∠DCE B．∠A+∠DCE＝180° C．∠A+∠DCE＝90° D．∠A＞∠DCE 【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”及邻补角定义求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB＝180°， ∵∠DCB+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， 故选：A． 6．（3分）如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【分析】连接OD、OC．求出∠DOB即可解决问题． 【解答】解：连接OD，OC， ∵∠ABC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝100°， ∴AC弧＝100°， ∵D是弧AC的中点， ∴AD弧＝50°， ∴BD弧＝130°， ∴∠DOB＝130°， ∴∠DAB∠DOB＝65° 故选：C． 7．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【解答】解：由图可知，， ∴FA＝FB＝FC， ∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， ∴点F是△ABC外心， 故选：C． 8．（3分）如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（　　） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知AEAB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出、的大小关系，即可得解． 【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF； 由垂径定理知：AE＝BE，； ∴AE＝CDAB； 在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD； ∴，即2； 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为 　2cm　. 【分析】根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△AOC中，设OA＝5cm，则OC＝2cm，由勾股定理得， AC（cm）， ∴AB＝2AC＝2cm， 故答案为：2cm． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 　14.5　． 【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出PM垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图， ∵P是⊙D的切点， ∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC， ∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， ∴OA＝5， ∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD， ∴△ADM∽△ACD， ∴， ∵AD＝8，CD＝6，AC＝10， ∴， ∴， ∴△AOP的最大面积， 故答案为：14.5． 11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　140　度． 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得∠B＝∠ADE＝70°，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°， ∴∠B＝∠ADE＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°． 故答案为：140． 12．（3分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，如图1所示．图2为某竹简容器的截面图，已知截面的半径为10cm，开口AB的宽为12cm，这个容器所能装水的最大深度是 　18　cm． 【分析】连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，利用勾股定理求出OC即可解答． 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC＝8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 故答案为：18． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E．若OE＝1.5，则CD＝　3　． 【分析】作OH⊥CD，连接OA、OC，如图，根据垂径定理得到DH＝CH，AE＝BE，再根据圆周角定理证明∠AOE+∠COH＝90°，则∠OAE＝∠COH，于是可判断△AOE≌△OCH，所以OE＝CH，从而得到OE＝CD． 【解答】解：作OH⊥CD，连接OA、OC，如图，则DH＝CH， ∵OE⊥AB， ∴AE＝BE， 则∠AOE＝∠ADB， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB+∠DAC＝90°， ∵∠DAC＝∠COH， ∴∠AOE+∠COH＝90°， 而∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠OAE＝∠COH， 在△AOE和△OCH中， ， ∴△AOE≌△OCH（AAS）， ∴OE＝CH， ∴CD＝2OE＝3． 故答案为：3． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），以原点O为圆心，OA为半径作⊙O．若在⊙O内，设线段OP的长度为t，则t的取值范围是 　0＜t＜1　． 【分析】根据点与圆的位置即可求解． 【解答】解：由题意得⊙O的半径为1， ∵点P在⊙O内， ∴0＜t＜1， 故答案为：0＜t＜1． 三．解答题（共7小题，满分58分） 15．（7分）如图，两个圆的圆心为O，大圆半径OC，OD交小圆于点A，B，判断AB与CD的位置关系，并说明原因． 【分析】利用半径相等得到OA＝OB，OC＝OD，则根据等腰三角形的性质得∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，于是根据三角形内角和可得∠OAB（180°﹣∠O），∠OCD（180°﹣∠O），则∠OAB＝∠OCD，然后根据平行线的判定方法可判断AB∥CD． 【解答】解：AB∥CD． ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC， ∴∠OAB（180°﹣∠O），∠OCD（180°﹣∠O）， ∴∠OAB＝∠OCD， ∴AB∥CD． 16．（7分）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积 　　． 【分析】（1）利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可； （2）连接BD，设圆O与AC、BC交于点E、F，连接OE，由AB是⊙O的直径， 则∠ADB＝90°，从而证明△ABD是等腰直角三角形，得∠ABD＝∠DAB＝∠ABC＝45°，由三角形内角和求出∠AOE＝60°，∠EOF＝30°，最后由S△BOF+S△AOE+S扇形EOF即可求解． 【解答】解：（1）如图， ①作AB的垂直平分线，交AB于点O， ②以O为圆心，作⊙O， ③作∠DAB＝∠ABC，交⊙O于点D，则有AD∥BC， ∴S△DBC＝S△ABC， ∴D即为所求； （2）如图，连接BD，设⊙O与AC、BC交于点E、F，连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝2，， ∴BD＝AD＝2， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴， ∵∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠AOE＝60°，∠EOF＝30°， ∴以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积为： S△BOF+S△AOE+S扇形EOF ， ． 17．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径． 【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC． 【解答】解：连接OC，如图， ∵M是⊙O弦CD的中点， 根据垂径定理：EM⊥CD， 又CD＝4则有：CMCD＝2， 设圆的半径是x， 在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2， 即：x2＝22+（6﹣x）2， 解得：x， 所以圆的半径长是． 18．（8分）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度． 【分析】（1）利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA＝DA＝1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+（r﹣0.8）2＝r2，然后解方程即可； （2）过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE＝1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度． 【解答】解：（1）∵AB垂直平分CD， ∴圆心O在BA的延长线上， 连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，∵OB⊥CD， ∴CA＝DACD3.2＝1.6（米）， 在Rt△OAC中，1.62+（r﹣0.8）2＝r2， 解得r＝2， 即该圆弧所在圆的半径为2米； （2）过G点作GE⊥AB于E点，如图， ∵DH＝0.4米， ∴AH＝AD﹣DH＝1.2米， ∵∠GEA＝∠EAH＝∠GHA＝90°， ∴四边形AHGE为矩形， ∴AE＝GH，GE＝AH＝1.2米， 在Rt△OEG中，OE1.6（米）， ∵OA＝OB﹣AB＝2﹣0.8＝1.2（米）， ∴AE＝OE﹣OA＝1.6﹣1.2＝0.4（米）， ∴GH＝0.4米． 即支撑杆HG的高度为0.4米． 19．（10分）如图，在两个同心圆中，大圆的半径OA和OB分别交小圆于点C和D，连接AD、BC，交于点P． （1）证明：△OAD≌△OBC； （2）证明：△PAC≌△PBD； （3）问：点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？ 【分析】（1）直接运用“SAS”即可证明； （2）由△OAD≌△OBC得到∠A＝∠B，由OA＝OB，OC＝OD得到AC＝BD，从而运用“AAS”即可证明； （3）连接OP，由△PAC≌△PBD得到AP＝BP，运用“SSS”证明△PAO≌△PBO，得到∠AOP＝∠BOP，即可得到点P在∠AOB的平分线上． 【解答】（1）证明：在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）； （2）证明：∵△OAD≌△OBC， ∴∠A＝∠B． ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴OA﹣OC＝OB﹣OD，即AC＝BD， 在△PAC和△PBD中， ， ∴△PAC≌△PBD（AAS）； （3）解：点P在∠AOB的平分线上．理由如下： 连接OP， ∵△PAC≌△PBD， ∴AP＝BP， 在△PAO和△PBO， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上． 20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F． （1）若∠EAD＝75°，求的度数． （2）求证：DB＝DC． （3）若DA＝DF，当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意可得∠EAC＝2∠DAE＝150°，从而得到∠BAC＝180°﹣∠EAC＝30°，即可求解； （2）由题意易得∠BCD+∠BAD＝180°，则有∠EAD＝∠BCD，进而可得∠EAD＝∠DAC，则∠BCD＝∠CBD，即可求证； （3）先证明△DAF∽△DBC，可得∠ADF＝∠BDC，进而可得，然后可得，即可求解． 【解答】（1）解：∵∠EAD＝75°，AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠DAE＝150°， ∴∠BAC＝180°﹣∠EAC＝30°， ∴的度数为30°×2＝60°； （2）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠DAB+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠CAD＝∠BCD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BCD＝∠CBD， ∴DB＝DC； （3）解：∵DA＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠DAF＝∠DFA＝∠CBD＝∠BCD， ∴△DAF∽△DBC， ∴∠ADF＝∠BDC， ∵∠ABC＝α，圆内接四边形对角互补， ∴∠ADC＝180°﹣α， ∴， ∴， ∴． 21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 【分析】（1）连接AE，由圆周角定理推出AE⊥BC，由等腰三角形的性质即可证明E是BC的中点； （2）由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝70°，求出∠BAC＝40°，由圆周角定理推出∠BAC∠BOD，即可求出∠BOD＝80°． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴E是BC的中点； （2）解：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C＝70° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， ∵∠BAC∠BOD， ∴∠BOD＝80°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$