21.3 圆的对称性（垂径定理、圆心角、弧、弦的关系）（教学课件）数学北京版九年级上册

21.3圆的对称性 主讲： 京改版九年级上册 第21章 圆（上） 复习导入 如何能够确定一个圆？ 已知圆心和半径 确定圆的条件 经过不在同一条直线上的三点 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握圆的对称性； 目标 3 2.理解垂径定理； 3.掌握圆的相关性质。 自学指导 仔细阅读教材P116---P120。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.圆是什么对称图形？ 2.垂径定理是什么？ 3.圆还有哪些性质？ 实践 探究新知 圆是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴。 把一张圆形的纸片沿着它的任意一条直径对折，直径两侧的两个半圆能够互相重合. 知识要点 圆的对称性 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 实践 探究新知 圆是中心对称图形吗?如果是，指出它的对称中心。 知识要点 圆的对称性 如图，在 O 上任意取一点A,作直径AB，那么OA=OB.就是说，A，B两点关于点O对称，因此，圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 CD是以点0为圆心的圆形纸片的直径，过直径上任意一点E作弦AB⊥CD，将圆形纸片沿着直径CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现? 如右图，根据图形的轴对称性，可知AE=BE ， , .由此得出: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 知识要点 垂径定理 就是说，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，如果CD⊥AB于点E，那么AE=BE， , . ①直径 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 垂径定理： 已知①②得③④⑤ 证明： 连接OA、OB. ∵OA=OB， 点E是AB的中点， ∴CD⊥AB. ∠1=∠2. ∴ . 1 2 ∵CD是⊙O的直径， ∴ . ∴ . 典型例题 已知：CD是⊙O的直径，与弦AB相交于点E，且点E是AB 的中点，求证：CD⊥AB， ， . 你能在圆中画出一条被直径平分，但不与它垂直的弦吗？ 直径CD平分AB CD不与AB垂直 知识要点 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，且AB=6，OE=4，求⊙O的半径. 解： ∵CD为⊙O的直径， AB⊥CD， ∴AE= AB=3， ∠AEC=90°. ∴OA2=OE2+AE2=25. ∴OA=5. ∴⊙O的半径是5. 连接OA. 3 4 ∵在Rt△OAE中， ∠AEC=90°， 常用辅助线：连接半径 典型例题 1.在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，且D是OC的中点，AB=6，求⊙O的半径. ∵ OC⊥AB， ∴AD= AB=3， ∠ADO=90°. ∵在Rt△ADO中， ∠ADO=90°， ∴OA2=AD2+OD2. 解： 连接OA. ∵D是OC的中点， ∴OD=OC. ∵OA=OC， ∴OC2=9+OC2. ∴OC= 2 . ∴⊙O的半径是2. 3 练一练 解： ∵点D是AB的中点， ∴∠ADO=90°. ∵在Rt△AOD中， ∠ADO=90°， ∴AD2=OA2-OD2. ∴AD=4. ∴弦AB的长是8. 连接OA. ∴ OC⊥AB，AB=2AD. ∴OD=OC-CD=3. ∵OC=OA=5， ∴AD2=25-9=16. ∴AB=8. 2.在⊙O中，OC与弦AB相交于点D，点D是AB的中点，OC=5，CD=2，求弦AB的长. 1. 垂径定理及推论： 垂径定理： 直径（过圆心）+ 垂直于弦 平分弦、 平分弦所对的优弧、 平分弦所对的劣弧 推论： 直径（过圆心）+ 平分弦 垂直于弦、 平分弦所对的优弧、 平分弦所对的劣弧 （不是直径） 知识梳理 2.常用图形： 由半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半围成的直角三角形. 3. 常用辅助线： (1)连接半径； (2)过圆心作弦的垂线段； (3)作垂直于弦的半径或直径. 已知：如图，A，B，C，D为⊙O上的四个点，AB∥CD．判断与是否相等，并说明理由． 解：， 理由：如图，过点O作EF⊥AB于点H，交CD于点G，交⊙O于E，F两点， ∴， ∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴， ∴， 即． 典型例题 我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）． 解：如图所示：∵OD⊥AB，且AB＝37.4m， ∴AD＝CD18.7m，∠ODA＝90° 根据题意得，CD＝7.2m， ∴OD＝OC﹣CD＝（OC﹣7.2）m， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD2+OD2＝OA2，即18.72+（OC﹣7.2）2＝OC2， 解得：OC≈27.9m，即圆弧所在半径约为27.9m， 答：桥拱所在圆的半径为27.9m． 典型例题 问题 ：在⊙O上画出两个圆心角∠AOB、∠ ，使∠ AOB =∠ ,连接AB、 .弦AB与 有什么关系？ 与 有什么关系？为什么？ 实践 探究新知 在△AOB和 中， ∵在⊙O中，∠AOB=∠ ， ∴OA=OB=OA’=OB’. 证明： ∵点A、B、A’、B’在⊙O上， 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. ∵在⊙O中，∠AOB=∠ ， 符号语言： 知识要点 同理， 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 解：AOBC是菱形． 证明：连OC,∵C是的中点 ∴∠AOC＝∠BOC120°＝60° ∵CO＝BO（⊙O的半径）， ∴△OBC是等边三角形,∴OB＝BC 同理△OCA是等边三角形,∴OA＝AC 又∵OA＝OB,∴OA＝AC＝BC＝BO ∴AOBC是菱形． 典型例题 基础检测 1.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（　　） A． B． C．4 D．6 2.如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．若点O到AB的距离为3，则圆O的半径为 　　． C 5 一展身手 如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）； （2）AE＝CE． 证明：（1）∵AB＝CD，∴， ∴， ∴． （2）∵，∴AD＝BC， ∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝EC． 挑战自我 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 解：（1）连接OA，由题意得：ADAB＝30（米），OD＝（r﹣18）米， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34（米）； （2）连接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）． ∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施． 课堂小结 圆的对称性 1.圆的对称性，圆是轴对称图形，也是中心对称图形； 2.垂径定理及其推论； 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$