第十三章轴对称——专题 角平分线及垂直平分线综合 复习课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第13章：专题 角平分线及垂直平分线综合 学习目标 会用尺规作一个角的平分线，线段的垂直平分线． 能用角的平分线的性质和判定解决问题． 学习重点 掌握角平分线和线段垂直平分线的性质和判定． 学习难点 灵活运用角平分线和线段垂直平分线的性质和判定解决问题． 能用线段的垂直平分线的性质和判定解决问题． （1）求作角平分线 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． （一）角平分线 一、知识回顾 （2）几何语言复习定义： ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB (∠AOB=2∠AOC=2∠BOC) A C B O 注意：这是角平分线的定义而不是性质 （3）性质 点P到OA的距离 角平分线上的点 点P到OB的距离 角的内部到角平分线的点到角两边的距离相等 几何语言 ∵OC平分∠AOB PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE A B C O D E P （4）判定 点在角平分线上 点P到OB的距离 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 几何语言 ∵PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE ∴OP平分∠AOB A B C O D E P 点P到OA的距离 （二）垂直平分线 （1）已知：线段AB．求作：AB 的垂直平分线MN． A B （2）几何语言复习定义： ∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴OA=OB MN ⊥ AB P A B O N M （3）性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言 ∵ l 垂直平分AB ∴PA=PB,QA=QB （4）判定 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 几何语言 ∵QA=QB ∴点Q在AB垂直平分上 ∵PA=PB ∴点P在AB垂直平分上 ∴PQ垂直平分AB 1.如图在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：EB=FC。 二.例题讲解 证明：∵AD是∠BAC的角平分线 DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90° ∵在Rt△ABC和Rt△ABC中 BD=CD DE=DF ∴Rt△ABC Rt△ABC(HL) ∴EB=FC 2.已知: 如图, AE=CE, AB=CB, 求证:CD=AD. 证明: ∵ AE=CE ∴ E在AC的垂直平分线上 ∵ AB=BC ∴ B在AC的垂直平分线上 ∴ BE是线段AC的垂直平分线 又∵ D在BE上 ∴ CD=AD 3.如图，已知△ABC，∠ BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于D点，过点D的直线DE⊥AB于E，DF⊥AC，交AC的延长线于F. (1)求证：AE=AF(2)求证：BE=CF (3)猜想AB,AC和BE的关系？ 证明：（1） ∵AD是∠BAC的角平分线 DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90° ∵在Rt△ADE和Rt△ADF中 DE=DF AD=AD ∴Rt△ADE Rt△ADF(HL) ∴AE=AF 3.如图，已知△ABC，∠A的平分线与BC的垂直平分线DG交于D点，过点D的直线DE⊥AB于E，DF⊥AC，交AC的延长线于F.(2)求证：BE=CF 证明： （2）DB，DC链接 ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中 DB=DCDE=DF ∴Rt△ADE Rt△ADF(HL) ∴AE=AF ∵DG垂直平分BC ∴DB=DC ∵AD平分∠BAC， DE⊥AC，DF⊥AC ∴DE=DF 3.如图，已知△ABC，∠A的平分线与BC的垂直平分线DG交于D点，过点D的直线DE⊥AB于E，DF⊥AC，交AC的延长线于F.（3）猜想AB,AC和BE的关系？ (3)AB=AC+2BE 理由为：由（1），（2） 得AE=AF,BE=CF =AC+CF+BE =AC+BE+BE =AC+2BE 即AB=AC+2BE ∴AB=AE+BE =AF+BE 变式探究： 已知△ABC中，AB＜AC，∠A外角角平分线AD与BC的垂直平分线DE交于D点，过点D的直线DG⊥AB于E，DF⊥AC，连接CD。猜想AB,AC与AG的关系。 思路：1.AD角平分性质得到DG=DF 2.通过HL或者AAS证明△ADG和△ADF全等， 得到AG=AF 3.连接BD，通过DE的垂直平分线，得到DB=DC 4.再通过HL证明△BDG和△ADF全等，得到BG=CF 5.最后通过等量代换得到AB=BG-AG=CF-AG=AC-AF-AG=AC-AG-AG=AC-2AG 三、巩固提成 一、选择题 1．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（　　） A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm 2. 如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（　　） A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定 3．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则 ＝（　　） A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2 4．如图，已知AD BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为　 　． 5．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离（PE的长）为5，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为　 　． 6．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 7．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点 E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 8.已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD与BC的垂直平分ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，求证：AB-AC=2CF $$