7.2 三角函数概念16题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.2 三角函数概念16题型分类 知识点1 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 注：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 知识点2 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 注：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 知识点3 单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段． 注：三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 知识点4 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 注：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点5 诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 注：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． （一） 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型1：三角函数的定义 1-1．（2024高一下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知角终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）若角终点上一点，且，则（    ） A． B． C．4 D． 1-4．（2024高一·全国·随堂练习）若角的终边经过点，则的值是 ． 1-5．（2024高一上·全国·课后作业）已知角的终边落在射线上，求的值． （二） 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 题型2：判断三角函数值的符号 2-1．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一上·四川德阳·阶段练习）已知角满足，且，则（    ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 2-3．（2024高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （三） 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型3：确定角所在象限 3-1．（2024高一·全国·课后作业）已知且，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3-2．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3-3．（2024高一下·广西河池·阶段练习）已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （四） 三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用． 题型4：三角函数线的应用 4-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 4-3．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． （五） 利用三角函数的定义求解 题型5：圆上的动点与旋转点 5-1．（2024高一·全国·课后作业）点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（    ） A． B．（） C．（，） D．（－，） （六） 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 题型6：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 6-1．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知，且是第二象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高一·全国·课堂例题）已知，且角在第三象限，求，． 6-3．（2024高一上·吉林·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． （七） ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 题型7：正余弦齐次式的应用 7-1．（2024高一·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 7-2．（2024高一上·广西·阶段练习）若角终边经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 7-3．（2024高一下·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2). （八） 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型8：正余弦和、差与积关系的应用 8-1．（2024高一下·江苏南通·期中）已知与是方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8-2．（2024高一下·北京·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一下·河南南阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． （九） 1.化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 2.证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 题型9：利用同角关系化简三角函数式 9-1．（2024高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 9-2．（2024高一·全国·课后作业）化简． (1); (2) 9-3．（2024高一·全国·专题练习）化简：. 题型10：利用同角关系证明三角恒等式 10-1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 10-2．（2024高一·江苏·课后作业）求证： （1）； （2）. 10-3．（2024高一·湖南·课后作业）证明： (1)； (2)． （十） 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 2.解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 注：巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 3.三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 4.三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 5.解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 题型11：利用诱导公式求解给角求值问题 11-1．（2024高一下·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 11-2．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）的值是(   ) A． B． C． D． 11-3．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 题型12：利用诱导公式求解给值求值问题 12-1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 12-2．（2024高一·全国·随堂练习）已知，求和的值． 12-3．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若，则 . 题型13：利用互余互补关系求值 13-1．（2024·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 13-2．（2024高一下·四川达州·阶段练习）已知 则=（    ） A． B． C． D． 13-3．（2024·贵州遵义·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 题型14：诱导公式在三角函数式化简中的应用 14-1．（2024高二上·四川成都·开学考试）已知. (1)化简； (2)若，求. 14-2．（2024高一上·北京·期末）已知，且，化简并求的值. 14-3．（2024高一上·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 题型15：诱导公式在三角函数证明中的应用 15-1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 15-2．（2024高一·全国·课后作业）求证：. 15-3．（2024高一·全国·课后作业）求证：=. 题型16：诱导公式的综合应用 16-1．（2024高一下·江西景德镇·期中）在①；②；③的终边关于轴对称，并且这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题. 已知第四象限角满足__________，求下列各式的值. (1) (2) 16-2．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 16-3．（2024高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 一、单选题 1．（2024高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·北京·期中）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2024高一上·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·山东滨州·竞赛）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角终边过点，且，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·江苏淮安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2024·河北·一模）已知，那么下列命题中成立的是（    ） A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第二象限角，则 D．若、是第四象限角，则 13．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三·全国·专题练习）若，则可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2024高一下·江西九江·期末）若为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（2024高一下·四川自贡·期中）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 18．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一·全国·课后作业）已知，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 20．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则 ． 21．（2024高一下·广西梧州·期中）化简： ． 22．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）若，则 . 23．（24-25高一上·全国·随堂练习）化简： . 24．（2024高一上·全国·课后作业）已知 ，则的值为 ． 25．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）若，，则 ． 四、解答题 26．（2024高一·全国·课后作业）证明下列恒等式：． 27．（2024高一下·上海浦东新·开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值． 28．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，且，求a的值； (2)若，求的值． 29．（2024高一·全国·课后作业）证明：，． 30．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，（，），求证：； （2）已知，求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.2 三角函数概念16题型分类 知识点1 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 注：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 知识点2 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 注：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 知识点3 单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段． 注：三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 知识点4 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 注：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点5 诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 注：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． （一） 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型1：三角函数的定义 1-1．（2024高一下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解. 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 1-2．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知角终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点，所以，所以， 解得. 故选：C 1-3．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）若角终点上一点，且，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由角的终边经过点，且，从而可求解. 【详解】由题意得：点在角的终边上，且， 所以：，解得：，（舍），故C项正确. 故选：C. 1-4．（2024高一·全国·随堂练习）若角的终边经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，. 综上所述，. 故答案为：. 1-5．（2024高一上·全国·课后作业）已知角的终边落在射线上，求的值． 【答案】 【分析】根据角的终边所在位置，在终边上取一点利用三角函数定义即可求得角的三角函数值. 【详解】射线经过第二象限，在射线上的取点， 即角的终边经过点，则， 利用三角函数定义可得，，； 所以. （二） 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 题型2：判断三角函数值的符号 2-1．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断选项所给的角是第几象限角，根据三角函数值在各个象限的符合即可得结果. 【详解】，所以为第一象限角，故，故不符合题意； ，所以为第四象限角，故，故不符合题意； ，所以为第二象限角，故，故符合题意； ，所以为第二象限角，故，故不符合题意； 故选：. 2-2．（2024高一上·四川德阳·阶段练习）已知角满足，且，则（    ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 【答案】B 【分析】由三角函数在各象限内的正负直接判断即可. 【详解】由知：可能在第二或第四象限； 当在第二象限时，，，满足； 当在第四象限时，，，则，不合题意； 综上所述：可能在第二象限. 故选：B. 2-3．（2024高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解. 【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角， 所以， 所以点P所在象限为第四象限. 故选：D. （三） 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型3：确定角所在象限 3-1．（2024高一·全国·课后作业）已知且，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由三角函数的符号得到答案. 【详解】∵已知，∴的终边在第一或第三象限． 若的终边在第一象限，则，故，满足题意， 若的终边在第三象限，则，故，不满足题意， ∴的终边在第一象限. 故选：A． 3-2．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数符号判断即可. 【详解】充分性：由可知， 由可知或， 综上，，即为第三象限角. 必要性：若为第三象限角，则且. 所以“且”是“为第三象限角”的充要条件. 故选：A 3-3．（2024高一下·广西河池·阶段练习）已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由三角函数在各个象限的符号即可求解. 【详解】∵点是第三象限的点，∴，， 由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴； 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，的终边位于第三象限． 故选:C （四） 三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用． 题型4：三角函数线的应用 4-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 4-2．（2024高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案； （2）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案. 【详解】（1）      如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 又当的终边落在射线或上时，有， 所以，满足条件的的集合为. （2）    如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 根据图2可知，当，且时，有. 所以，当时，由可得，. 4-3．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： （五） 利用三角函数的定义求解 题型5：圆上的动点与旋转点 5-1．（2024高一·全国·课后作业）点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由1秒到3秒，点A旋转的角度为，又，即可得出点A的坐标为. 【详解】由1秒到3秒，点A旋转的角度为，又，所以点A的坐标为. 故选：A. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 5-2．（2024高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，并利用三角形函数定义即可求得点的坐标. 【详解】根据题意可知，作出图示如下： 根据题意可得，，作轴且垂足为； 利用三角函数定义可得，； 又点在第四象限，所以点的坐标为. 故选：C 5-3．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（    ） A． B．（） C．（，） D．（－，） 【答案】A 【分析】求得点P逆时针方向运动弧长到达Q点时对应的与轴正半轴的夹角，再由三角函数值即可求得点Q的坐标. 【详解】设与轴正半轴的夹角为，则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为，此时，则 ，， 故此时点Q的坐标为. 故选：A （六） 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 题型6：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 6-1．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知，且是第二象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断正负，再根据同角的三角函数关系直接计算. 【详解】因为是第二象限角，所以， 因为，所以. 故选：D 6-2．（2024高一·全国·课堂例题）已知，且角在第三象限，求，． 【答案】，． 【分析】由可得，然后结合和角的范围可求得结果. 【详解】由角在第三象限知：，． 由，得． 将上式代入， 得，即． 因此，． 6-3．（2024高一上·吉林·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数基本关系计算. 【详解】由，，可知， 则. 故选：B. （七） ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 题型7：正余弦齐次式的应用 7-1．（2024高一·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用齐次式求出，再把待求式子进行弦化切，代入求解. 【详解】∵，∴， 则. 故选：A 7-2．（2024高一上·广西·阶段练习）若角终边经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 所以 ， 故选：C. 7-3．（2024高一下·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式化简式子，然后“1”的代换变成分式，再同除即可求解； （2）先把分母变为，然后对分式同除即可求解. 【详解】（1） ； （2） =. （八） 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型8：正余弦和、差与积关系的应用 8-1．（2024高一下·江苏南通·期中）已知与是方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解． 【详解】与是方程的两个根， ，两边平方得：， ，得． 即． 故选：D． 8-2．（2024高一下·北京·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平方即可求解    . 【详解】由于，所以 ，又，所以 ,故， 故选：A 8-3．（2024高一下·河南南阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，平方可得， 可得， 因为，所以，所以， 又由，所以. 故选：B. （九） 1.化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 2.证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 题型9：利用同角关系化简三角函数式 9-1．（2024高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案. （2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案. 【详解】（1）原式 ． （2）因为，所以． 原式． 9-2．（2024高一·全国·课后作业）化简． (1); (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果； （2）根据题意，由同角的商关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由同角的平方关系可得，. （2）原式 9-3．（2024高一·全国·专题练习）化简：. 【答案】1 【分析】利用平方关系化简即可. 【详解】因为， 所以，原式 题型10：利用同角关系证明三角恒等式 10-1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 10-2．（2024高一·江苏·课后作业）求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）展开左式，将1化为，应用完全平方差公式即可证结论. （2）对左式提取公因式，由同角三角函数的平方关系化简即可证结论. 【详解】（1），得证. （2），得证. 10-3．（2024高一·湖南·课后作业）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用同角三角函数的基本关系证明可得； 【详解】（1）证明：左边右边； 即 （2）证明：右边 左边， 即 （十） 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 2.解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 注：巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 3.三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 4.三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 5.解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 题型11：利用诱导公式求解给角求值问题 11-1．（2024高一下·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合特殊角的余弦值即可求解. 【详解】. 故选：C 11-2．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由诱导公式计算即可. 【详解】由题意. 故选：D. 11-3．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】. 故选：B 题型12：利用诱导公式求解给值求值问题 12-1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【详解】. 故选：B 12-2．（2024高一·全国·随堂练习）已知，求和的值． 【答案】， 【分析】化简已知可得出，进而根据诱导公式先化简，再代入即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 因为， 所以，. 因为， 所以，. 12-3．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答. 【详解】由，得，解得，而，则， 所以. 故答案为： 题型13：利用互余互补关系求值 13-1．（2024·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切. 【详解】因为为锐角，所以且，所以得， 由诱导公式得，. 所以. 故选:D 13-2．（2024高一下·四川达州·阶段练习）已知 则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 故选：C. 13-3．（2024·贵州遵义·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 题型14：诱导公式在三角函数式化简中的应用 14-1．（2024高二上·四川成都·开学考试）已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和化弦为切化简函数； （2）利用同角三角函数的平方关系列式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 则，所以，解得， 所以. 14-2．（2024高一上·北京·期末）已知，且，化简并求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】解：因为，且，则， 所以，， 故. 14-3．（2024高一上·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用诱导公式，化简求值. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 题型15：诱导公式在三角函数证明中的应用 15-1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 15-2．（2024高一·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【解析】直接利用诱导公式化简即可. 【详解】证明：左边==右边 所以原等式成立 15-3．（2024高一·全国·课后作业）求证：=. 【答案】证明见解析 【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证． 【详解】左边===， 右边===， 所以等式成立. 题型16：诱导公式的综合应用 16-1．（2024高一下·江西景德镇·期中）在①；②；③的终边关于轴对称，并且这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题. 已知第四象限角满足__________，求下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选条件①时，根据诱导公式，将原式化简，得到；选条件②，根据同角三角函数基本关系，求出；选条件③时，根据角的终边对称，得到，，求出，再利用同角三角函数基本关系，将弦化切，即可得出结果； （2）先将所求式子化为，再将弦化切，即可得出结果. 【详解】（1）选①，， 得，则． 则； 选②，是第四象限角，所以，， 又，则， 可得，，则． 则； 选③，是第四象限角，则，， 又因为，的终边关于轴对称， 则，． 又因为， 所以，即． 则； （2）由上可知选择①、②、③都可得， ． 16-2．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）运用诱导公式和化简即可； （2），再运用化弦为切的思想即可求解. （3）令，则，则有，用诱导公式可得，再用同角关系式联立即可求解. 【详解】（1） （2）由（1）得， 所以. （3）由（1）得，令，则， 则， ，又， 得，代入，计算得：， 当为第二象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即. 16-3．（2024高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选条件①，则由任意角三角函数的定义求出，然后化简代值计算即可；若选条件②，利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可；若选条件③，先解方程求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可； （2）由（1）知选条件①，②，③时，，代入计算即可. 【详解】（1）若选条件①，则， 所以 ； 若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得 ，， 所以 ； 若选条件③，则由，得， 化简得，得， 因为，所以， 所以，， 所以 ； （2）若选条件①，由（1）知， 所以 ； 若选条件②，由（1）知， 所以 ； 若选条件③，由（1）知， 所以 . 一、单选题 1．（2024高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角的正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较三角函数线的大小即可. 【详解】由三角函数线定义作出如图： 是角的终边，圆是单位圆， 则，，， ， ，即. 故选：D 2．（2024高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数线，即可得出相应的区间. 【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足．    故选：A 3．（2024高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点，则. 故选：D 4．（2024高一下·北京·期中）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可. 【详解】由题图，，，，而， 所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，，. 故选：D 5．（2024高一上·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求解出，然后结合圆的垂径定理，借助三角函数即可完成求解. 【详解】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 6．（2024高一上·山东滨州·竞赛）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解. 【详解】因为， 且，， 所以. 故选：B. 7．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求解. 【详解】， 故选：A 8．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角终边过点，且，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以，解得. 故选：C 9．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可. 【详解】由三角函数的定义知: ， 所以. 故选：A. 10．（2024高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案. 【详解】. 故选：B 11．（2024高三上·江苏淮安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案. 【详解】 故选：A 二、多选题 12．（2024·河北·一模）已知，那么下列命题中成立的是（    ） A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第二象限角，则 D．若、是第四象限角，则 【答案】CD 【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小. 【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，， 此时，故A错； 如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，， ∴，故B错； 如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ，， ∴，故C正确； 如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ， ∴，故D正确. 故选：CD. 13．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中由，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C正确； 对于D中， ，所以D错误． 故选：ABC. 14．（2024高三·全国·专题练习）若，则可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【分析】对角的终边的位置进行分类讨论，求出的值，即可得出结论. 【详解】当是第一象限角时，，故一定不是第一象限角； 当是第二象限角时，，即可以是第二象限角； 当是第三象限角时，，即可以是第三象限角； 当是第四象限角时，，即可以是第四象限角． 故选：BCD. 15．（2024高一下·江西九江·期末）若为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据为第四象限角，可得，的范围，进而根据三角函数在各个象限的正负即可判断. 【详解】由于为第四象限角，所以, 所以，， 所以终边落在第三、四象限以及轴负半轴上，终边落在第二或第四象限的角， 故BC正确，AD错误， 故选：BC 16．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据同角三角函数平方关系和商数关系直接求解即可. 【详解】对于AB，当时，，，A错误，B正确； 对于CD，由得：，，C错误，D正确. 故选：BD. 17．（2024高一下·四川自贡·期中）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 【答案】ACD 【分析】先判断三角函数式中角的位置，进而根据各三角函数在不同象限的符号，得到答案． 【详解】A为负，，∴是第三象限角，∴； B为正，∵，∴是第一象限角，∴； C为负，∵，是第二象限角，∴； D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴； 故选：ACD. 18．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，结合分情况讨论即可求解. 【详解】由题意得，， 因为， 当时，因为，所以， 此时，故B项正确； 当时，因为，所以， 此时，故C项正确. 故选：BC. 19．（2024高一·全国·课后作业）已知，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案． 【详解】两边平方，得， 即，则，选项A正确； 因为，所以， 又因为，所以， 因为， 所以，选项B正确， 因为，故D正确， C错误， 故选：ABD． 三、填空题 20．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，根据诱导公式结合齐次化问题运算求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 故答案为：. 21．（2024高一下·广西梧州·期中）化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【详解】. 故答案为： 22．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）若，则 . 【答案】2 【分析】借助诱导公式化简求值即可得. 【详解】原式. 故答案为：. 23．（24-25高一上·全国·随堂练习）化简： . 【答案】 【分析】运用诱导公式直接化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 24．（2024高一上·全国·课后作业）已知 ，则的值为 ． 【答案】3 【分析】将中弦化切化简，再将代入即可. 【详解】 故答案为：. 25．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系化简，再应用一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以， 左右两边平方得， 所以,, 所以或. 故答案为：或 四、解答题 26．（2024高一·全国·课后作业）证明下列恒等式：． 【答案】证明详见解析 【分析】根据同角三角函数的基本关系式证得等式成立. 【详解】左边 右边， 所以原等式成立. 27．（2024高一下·上海浦东新·开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值． 【答案】答案见解析 【分析】利用三角函数的定义求三角函数即可. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，，， 则，即，解得或， 当时，，则，； 当时，，则，； 综上：，或，. 28．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，且，求a的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得； （2）依题意可得，然后利用诱导公式和平方关系可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 又，所以． （2）由（1）知， 因为，所以， 令，则，， 所以 29．（2024高一·全国·课后作业）证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【详解】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 30．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，（，），求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）变形给定等式，再利用平方关系推理作答. （2）由已知用表示出，再结合平方关系推理作答. 【详解】（1）由得：，而， 于是得，即，因此， 又，，即有，所以. （2）因为，则有 当时，，则，必有，显然等式成立， 当时，由得：，又， 因此，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$