精品解析：广东省深圳外国语学校高中园2025届高三第二次调研考试数学试卷

深圳外国语学校高中园2025届高三年级第二次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定笔将自己的姓名和考号填写在答题卡指定位置.同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效. 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 5. 函数在定义域上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是增函数； C. 命题“”的否定是“”； D. 函数的值域为． 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是________． 13. 已知，则__________． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，三棱柱中，，，平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 17. 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. （1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； （2）将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 18. 已知椭圆：（）过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 19. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）当时，有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校高中园2025届高三年级第二次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定笔将自己的姓名和考号填写在答题卡指定位置.同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效. 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据交集的概念求出答案即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为指数函数在上单调递减，所以，则， 又指数函数恒成立，故， 因为对数函数在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：B. 3. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，根据p是q的充分不必要条件得到，求出a的取值范围. 【详解】令，， 因为p是q的充分不必要条件， 所以，所以. 故选：D. 4. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 5. 函数在定义域上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，通过判断函数的奇偶性，函数值的变化情况求解 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B， ， 当时，，，所以， 所以，所以，即，所以排除A， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以排除D， 故选：C 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，与抛物线方程联立，利用求出的值，再验证可得答案. 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象关于点对称和找到图象的对称轴和周期，再由确定单调性，分别求出，画出大致图象，最后数形结合求出取值范围. 【详解】由的图象关于点对称可得． 由，可得， 故函数的图象关于直线对称， 且，得的周期为2． 当时，， 单调递增，且，则，， 画出在一个周期内的大致图象如图所示： 当时，结合图象可得，即． 故实数m的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数的图象关于点对称，确定函数的周期和对称轴. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是增函数； C. 命题“”的否定是“”； D. 函数的值域为． 【答案】AD 【解析】 【分析】A由抽象函数定义域求法判断；B确定的定义域，判断其单调性；C由全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可判断；D由指数复合函数的值域求法求值域. 【详解】A：由题设，则，即的定义域为，对； B：由定义域为，且在和都递增，但在定义域上不单调，错； C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，错； D：令，故，即的值域为，对. 故选：AD 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可判断A；由函数有3个零点，得当时有2个零点，当时有1个零点，列出不等式组，求解即可判断B；根据B的结论，结合韦达定理，函数单调性即可求得的范围，即可判断 C；分类讨论的值，求得当时，函数的最小值与时的最小值比较，即可判断D． 【详解】对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误； 对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点， 所以，解得， 当时，有1个零点，则， 所以，故B正确； 对于C，设函数的3个零点分别是，，（）， 由B知，，， 令，解得，即， 设，，得在上单调递减， 所以，故C正确； 对于D，当时，单调递增，， 当时，，对称轴为直线， ①当，即时，，无最小值； ②当，即时，， 若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值； 综上任意实数a，函数在内无最小值，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数恒过定点，即可求得这个对数型函数的恒过定点. 【详解】因为的图象恒过定点, 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的导函数，当得，得，进而可得. 【详解】由可得， 故，得， 故，， 故答案为： 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设定义有，进而得到恒成立，求参数值，即可得答案. 【详解】由题意为奇函数， 所以，则， 所以， 所以恒成立， 故或，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据定义得到恒成立为关键. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案； （2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解． 【小问1详解】 解：设等差数列公差为d，首项为a1， 由题意，有，解得， 所以； 【小问2详解】 解：，所以． 16. 如图，三棱柱中，，，平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） ∵平面，平面 ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形. ∴， ∵，平面，平面 ∴平面， ∵平面 ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由菱形得到对角线垂直，进而证明线面垂直，线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与平面所成角为，平面， ∴， 若，则是正三角形. 令，则，，， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，令，解得， 设平面的一个法向量为， ，即，令，解得， 设二面角的大小为，由图知非钝角， ∴. ∴二面角的余弦值为. 17. 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. （1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； （2）将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案； （2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为. 【小问2详解】 根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率. 由题意可知，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 18. 已知椭圆：（）过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1） （2）由题意得，， 直线的方程，设， 联立，整理得， ∴，． 由求根公式可知，不妨设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得 代入，得， 解得，即直线与的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合，即可得解； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【小问1详解】 由椭圆过点，且离心率为，所以，解得 故所求的椭圆方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）当时，有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当时，函数无最大值；当时，函数的最大值为． （2） 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间； （2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，可得，要证即证，再构造函数从而可求解. 【小问1详解】 由，得， 当时，在上恒成立，得在上为增函数，无最大值． 当时，由得，由得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取最大值为． 综上，当时，函数无最大值；当时，函数的最大值为． 【小问2详解】 有两个不同零点，， 则， 构造函数， ，所以为增函数，且， 即有两个不等实根，， 则，令，，则，， 所以，则，，故， 而两边取对数，可转化为，即，． 由，可得，，即， 设，则， 因为，根据对勾函数在上单调递减知，，所以， ①当，即时，，故当时，，符合题意； ②当，即时，显然存在，使得， 即当时，，当时，， 故，不符合题意， 综上，m的取值范围为． 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $