专题04 圆的方程（九大基础题型+优选提升，65题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题04 圆的方程（九大题型，65题） 由圆心（半径）求圆的方程 1．（22-23高二上·江苏常州·期中）圆心为，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 ． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为 ； 5．（22-23高二上·江苏南通·期中）写出一个关于直线对称的圆的标准方程 . 求过已知三点的圆的标准方程 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知的三个顶点为，则（    ） A．为直角三角形 B．的面积为3 C．边上的中线所在直线方程为 D．的外接圆方程为 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 8．（23-24高二上·江苏淮安·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 9．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)AB边中线所在的直线方程； (2)的外接圆的方程. 由标准方程确定圆心和半径 10．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（　 　） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏·期中）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（    ） A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线C围成图形的面积为 C．曲线C的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值为4 12．（22-23高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 13．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 求圆的一般方程 14．（22-23高二上·江苏连云港·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，. (1)求外接圆的方程； (2)求欧拉线的方程. 15．（22-23高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点A的坐标； (2)外接圆的一般方程. 16．（23-24高二上·江苏南京·期中）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 圆的一般方程与标准方程之间的互化 17．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·江苏·期中）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（    ） A． B．2 C． D．8 21．（22-23高二上·江苏盐城·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·江苏徐州·期中）圆的半径为 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 24．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（22-23高二上·江苏淮安·期中）（多选）使方程表示圆的实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C． D． 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知方程. (1)若此方程表示圆，求正整数m的值； (2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 定点到圆上点的最值（范围） 27．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆上的点到点的距离可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 30．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高二上·江苏无锡·期中）直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二上·江苏盐城·期中）大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 . 33．（23-24高二上·江苏无锡·期中）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 34．（23-24高二上·江苏徐州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 35．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ． 36．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知直线，点，圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上的动点，求的取值范围． 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 39．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 41．（22-23高二上·江苏苏州·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线C围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线C上任意一点，的最小值是 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 43．（22-23高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形面积的最小值为 . 由圆的一般方程确定圆心和半径 44．（23-24高二上·江苏苏州·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．0 B．1 C． D． 45．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 46．（22-23高二上·江苏泰州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 47．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 48．（22-23高二上·江苏苏州·期中）曲线所围成图形面积为 ． 49．（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆的半径为 ． 50．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知方程． (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，求圆F的一般方程． 一、单选题 51．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·江苏南通·期末）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C． D． 二、多选题 55．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．原点到直线的距离最大值为1 C．当时，直线的倾斜角为 D．直线与的交点的轨迹为圆的一部分 56．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为10 D．的轨迹方程为 三、填空题 57．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 58．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 . 59．（23-24高二上·江苏苏州·期中）若点在圆外，则实数的取值范围为 ；分别在直线与直线上，且．当圆的半径为3时，已知点，则的最小值为 ． 60．（23-24高二上·江苏南通·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 四、解答题 61．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 62．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求的轨迹方程； (2)若为的轨迹上的任意一点，求的最值. 63．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 64．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 65．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的方程（九大题型，65题） 由圆心（半径）求圆的方程 1．（22-23高二上·江苏常州·期中）圆心为，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程公式直接写出结果即可. 【详解】由圆的标准方程公式得圆的方程为：. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得. 【详解】解：表示以为圆心，以1为半径的圆． 设关于直线对称的点为，则有，解得：，， 所以：关于直线对称的圆的方程为． 故选：A． 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】设所求圆的标准方程为，由题意可得，分、两种情况讨论，根据圆心在直线上，求出的值，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 因为所求圆与两坐标轴都相切，则， 当时，则圆心在直线上，则，解得， 此时，所求圆的标准方程为； 当时，则圆心在直线上，则，解得， 此时，所求圆的标准方程为. 综上所述，所求圆的标准方程为或. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为 ； 【答案】 【详解】设圆心，由可得， 解得，故圆的半径为， 故圆的方程为：， 故答案为：. 5．（22-23高二上·江苏南通·期中）写出一个关于直线对称的圆的标准方程 . 【答案】（答案不唯一，形如） 【分析】设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案. 【详解】设圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为 因为圆关于对称， 所以在直线上， 则， 则圆的方程， 取，设圆的半径为1， 则圆的方程， 故答案为： (不唯一，形如) 求过已知三点的圆的标准方程 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知的三个顶点为，则（    ） A．为直角三角形 B．的面积为3 C．边上的中线所在直线方程为 D．的外接圆方程为 【答案】ABD 【分析】求出，，即可判断A，再求出，，求出即可判断B，求出、的中点的坐标，再求出，由点斜式求出直线方程，即可判断C，由圆心为、的中点，直径为，即可求出圆的方程，从而判断D. 【详解】解：因为，，， 所以，，所以，即， 所以，所以为直角三角形，故A正确； 又，， 所以，故B正确； 因为、的中点为，所以， 所以直线的方程为，整理得， 即边上的中线所在直线方程为，故C错误； 因为为直角三角形，所以外接圆的直径为， 圆心为、的中点，又， 所以外接圆的方程为，即，故D正确； 故选：ABD 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）设的外接圆的方程为，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的外接圆的方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 由题意得，所以边上高的斜率为2， 又因为的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即． （2）设的外接圆的方程为． 将A，B，C三点坐标代入上式得，解得， 所以圆M的方程为，即． 8．（23-24高二上·江苏淮安·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由题意可以先求出圆的半径，然后结合圆心即可直接写出圆的标准方程. （2）首先由待定系数法求出圆的一般方程，然后将其化为标准形式即可. 【详解】（1）因为圆与x轴相切，且圆心为， 所以圆的半径为， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为. （2）不妨设圆的方程为， 由题意将代入圆的方程得， 解方程组得， 所以过三点的圆的方程为， 将其化为标准形式得. 9．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)AB边中线所在的直线方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据中点坐标公式求出AB中点的坐标，利用直线方程的点斜式可得AB边中线所在的直线方程； （2）设出外接圆的一般方程：，利用待定系数法确定、、，再把圆的一般方程化为圆的标准方程即可. 【详解】（1）设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：. （2）设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得： ，解得， 所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：. 由标准方程确定圆心和半径 10．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程即得. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心坐标为. 故选：B. 11．（23-24高二上·江苏·期中）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（    ） A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线C围成图形的面积为 C．曲线C的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值为4 【答案】ABD 【分析】根据方程特点分类讨论分别画出图像，然后逐个判断即可. 【详解】当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 如图所示，   ， 对于A：易知曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B：因为曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称， 所以只需要计算第一象限内图像的面积即可， 因为，且圆的半径，所以弦心距， 所以所对的圆心角为， 所以该图形为圆心角为的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形， 所以，所以总面积为，B正确； 对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长，所以， 所以曲线C的周长为，C错误； 对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对分类讨论得到不同情况下的方程进而得到图像是解决该类题型的关键. 12．（22-23高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程，结合直线所过的定点逐一判断即可. 【详解】 ，直线过定点. A：由可知，圆的圆心为，半径为，所以本选项不正确； B：因为直线过定点恰好是圆的圆心， 所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，因此本选项正确； C：当时， 直线的方程为，直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所以本选项不正确； D：因为直线的倾斜角为， 所以，因此本选项正确， 故选：BD 13．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点，从而可得的坐标，进而可求出圆的方程. 【详解】由，得圆心，半径为2， 根据题意设圆心关于直线的对称点，则 ，解得，即， 所以圆的方程为， 故答案为： 求圆的一般方程 14．（22-23高二上·江苏连云港·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，. (1)求外接圆的方程； (2)求欧拉线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：设外接圆的一般方程，利用待定系数法求得外接圆的一般方程；方法二：求得外接圆的圆心和半径，由此求得外接圆的方程. （2）方法一：先求得三角形重心、外心坐标，从而求得欧拉线；方法二：先求得垂心、外心坐标，从而求得欧拉线. 【详解】（1）（方法1）设所求圆的方程为（）， 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得. 所以外接圆的方程为. （方法2）线段AB的中点为，直线AB的斜率， 所以线段AB中垂线的方程为. 同理可得，AC中垂线的方程为， 由，解得. 所以外接圆的圆心为. 外接圆的半径. 所以外接圆的方程为. （2）（方法1）因为，，， 所以由三角形重心的坐标公式，得的重心为， 由（1）可知，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. （方法2）在中， 由（1）可知，直线AB的斜率为，直线AC的斜率为1， 所以. 所以垂心为. 由（1）可知，外心为， 所以欧拉线的方程为，即.      15．（22-23高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点A的坐标； (2)外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标；（2）先求出点C的坐标，利用待定系数法求出外接圆的一般方程. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：，有，解得：，所以. 经过，，可设为：, 所以，解得：, 所以外接圆的方程为. 16．（23-24高二上·江苏南京·期中）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    圆的一般方程与标准方程之间的互化 17．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心坐标. 【详解】由题设，圆的标准方程为，故圆心坐标为. 故选：B 18．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 19．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一般方程化为标准方程即可求解 【详解】圆：化为标准方程得 ， 所以圆心坐标为， 故选：D 20．（23-24高二上·江苏·期中）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】 化圆的一般式为标准式得圆C的半径. 【详解】由圆C的半径得，所以圆C的半径为， 故选：C 21．（22-23高二上·江苏盐城·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 22．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为标准式即可计算求解. 【详解】解：方程可变形为， 因为方程表示圆，则，所以. 故选：D. 23．（22-23高二上·江苏徐州·期中）圆的半径为 【答案】 【分析】利用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程即可求解. 【详解】由，得， 所以圆的半径为. 故答案为： 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 24．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 25．（22-23高二上·江苏淮安·期中）（多选）使方程表示圆的实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BC 【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围. 【详解】，配方得： ， 要想表示圆，则， 解得：， 故选：BC 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知方程. (1)若此方程表示圆，求正整数m的值； (2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】(1)1 (2). 【分析】（1）根据圆的一般式满足的条件即可求解， （2）根据对称求解M关于直线的对称点，即可求解. 【详解】（1）若此方程表示圆，则，解得， 因为为正整数，故； （2）在（1）的条件下，方程表示圆： 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 定点到圆上点的最值（范围） 27．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点，根据垂径定理可得点的轨迹方程，进而可得的取值范围，又，即可得解. 【详解】设中点，则，， 所以， 即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以，， 所以， 又， 所以的最大值为， 故选：A. 28．（22-23高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可. 【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：    设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则即， 又，联立解得：，即，所以总路程， 要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离， 即为. 故选：B. 29．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆上的点到点的距离可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心到点的距离，则距离在之间，选项一一比较即可. 【详解】设圆心为，半径为，坐标为，则，所以距离范围为，即，而5在此范围内， 故选：B. 30．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，根据阿氏圆，三角形相似得到，故，结合图形得到最小值为，得到答案. 【详解】因为，取，则，， 所以，又， 所以∽，故，， 则， 连接，与圆相交于点，与圆相交于点， 此时取得最小值， 最小值为. 故选：D 31．（22-23高二上·江苏无锡·期中）直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过定点，直线过定点，且，从而得点在以为直径的圆上，又点是圆上的动点，从而可得的最大值为与两圆半径之和，再计算即可得解． 【详解】解：由题意可得直线过定点，直线过定点，当时，， 当时，的斜率，的斜率，因为，得， 点A在以为直径的圆上（不包含O），且圆心，半径， 又点是圆上的动点，且圆心，半径， 的最大值为． 故选：C. 32．（22-23高二上·江苏盐城·期中）大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 . 【答案】5 【分析】点在以原点为圆心，4为半径的圆上，点在圆内，当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大. 【详解】已知是坐标原点，，则点在以原点为圆心，4为半径的圆上， ，点在圆内， 当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大， 此时. 故答案为：5. 33．（23-24高二上·江苏无锡·期中）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当三点共线时，，即为所求最小值. 【详解】由题意知：，即， 则（当且仅当三点按顺序共线时取等号）， 又因为，所以的最小值为. 故答案为：.    34．（23-24高二上·江苏徐州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取点，得到，，计算得到答案. 【详解】如图所示：圆心为，取，则，，    故，， ， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立， 故答案为：. 35．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】 将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得. 【详解】设，由点， 即点满足，即， 设点，即恒成立 则，圆上所有点到定点最小值大于， 又圆，半径为， 圆上所有点到定点最小值即为：. . 即，化简得， 解得或. 故答案为：或.    36．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知直线，点，圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心，根据半径相等列出方程，求出，得到圆心和半径，得到标准方程； （2）设，表达出，求出最值，得到取值范围. 【详解】（1）设圆心， 因为圆经过两点，所以， 解得，故圆心为， 故半径为， 所以圆的标准方程为； （2）设， 则 ， 当时，取得最大值，最大值为10， 当时，取得最小值，最小值为2， 故的取值范围是. 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 38．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆上的点到直线的最大距离，再利用面积公式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，为点到直线的距离， 又点在圆上， ， 又， ， 面积的最大值是. 故选：A. 39．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由，求出点关于x轴的对称点，结合即可求得结果. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 作关于x轴的对称点，如图所示，    ，当共线时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 40．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】 根据题意，求出 直线过定点为，得到M轨迹是以PQ为直径的圆，分析可得点到直线的最大距离即，可得正确；分析的轨迹和轨迹方程，结合点与圆的位置关系可得，错误，综合可得答案. 【详解】 已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 41．（22-23高二上·江苏苏州·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线C围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线C上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD. 【详解】， 当时，，即， 表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即， 表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即， 表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即， 表示圆心为，半径的半圆. 曲线的图像如下图所示： 对于A，易知曲线图像有4条对称轴，A正确； 对于B，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为，B正确； 对于C，由图可知，曲线C上的任意两点间的最大距离为，C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 到直线的距离， 若使最小，则有， 所以，得，D正确. 故选：ABD. 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故答案为： 43．（22-23高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形面积的最小值为 . 【答案】 /7.5 【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出及点到直线的距离最小值即可作答. 【详解】直线交轴于点，交轴于点， 所以直线在x和y轴上的截距之和为；    圆，即的圆心，半径为， 点到直线的距离， 因此圆上的动点到直线的距离最小值为， 所以面积的最小值为. 故答案为：； 由圆的一般方程确定圆心和半径 44．（23-24高二上·江苏苏州·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】圆化简为标准方程为， 圆心为，则圆心到直线的距离. 故选：D 45．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】利用题给条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】由方程表示半径为1的圆， 可得，解之得， 故选：D 46．（22-23高二上·江苏泰州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 【答案】A 【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】由方程可得， 故圆心坐标为，半径为3． 故选：A. 47．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆的半径的最小值，即可求得答案. 【详解】因为圆的方程为， 故 ，时取等号， 故圆的半径的最小值为 ， 则圆的最小周长为， 故选：D. 48．（22-23高二上·江苏苏州·期中）曲线所围成图形面积为 ． 【答案】 【分析】分情况去掉绝对值，从而可作出曲线的图像，进而求得面积. 【详解】分四种情况讨论： ①当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ②当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ③当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ④当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆. 作出图像如下图所示： 由图可知：曲线所围成图形为四个半圆和一个正方形所组成的区域， 正方形边长和圆的直径相等， 所以. 故答案为：. 49．（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的一般式方程化为标准式，即可得到半径. 【详解】因为圆，即 即 故答案为:. 50．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知方程． (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，求圆F的一般方程． 【答案】(1)m < (2) 【分析】(1)利用表示圆的方程时，必有即可求解； (2)结合(1)中条件求出圆的方程，求出圆心和半径，根据对称关系求出圆F的圆心和半径即可求解. 【详解】（1）若此方程表示圆，则，解得. （2）由(1)可知m=1，此时圆E：， 圆心坐标为E(1，-2)，半径为1，      因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是(-1，-2)，半径是1， 故圆F方程为(x+1)2+(y+2)2=1， 化为一般方程为:. 一、单选题 51．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图，    取点，设，当时，， 化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外， 则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而，所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点并求出满足条件的点的轨迹是解题的关键. 52．（23-24高二上·江苏南通·期末）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案, 【详解】直线，即 ， 令 ，解得 ， 即直线过定点 , 由过坐标原点作直线的垂线，垂足为， 可知：落在以OA为直径的圆上， 而以OA为直径的圆为 ，如图示： 故可看作是圆上的点到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ， 但将原点坐标代入直线中， 不成立， 即直线l不过原点，所以不可能和原点重合， 故， 故选：D 53．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线l的位置关系，求出圆心关于直线l：的对称点，求解即可. 【详解】圆：，则圆心，， 圆：，则圆心，， 因为，则两圆心在直线l的同侧. 又圆心到直线l的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离， 圆心关于直线l：的对称点为， 则，解得，， 所以， 所以的最小值为. 故选：A. 54．（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和的方程得到，，然后根据得到点为以为直径的圆上的点，即，最后利用不等式求最值即可. 【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以， 直线的方程可整理为，令，解得，所以， 因为，所以，所以点为以为直径的圆上的点， ，所以, 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 二、多选题 55．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．原点到直线的距离最大值为1 C．当时，直线的倾斜角为 D．直线与的交点的轨迹为圆的一部分 【答案】ABD 【分析】对于A：变形直线方程得，可得定点；对于B：当原点与点的连线和垂直时，原点到直线的距离最大，据此可得最大值；对于C：代入，由点斜式可得倾斜角；对于D：先得到两直线垂直，进而可得直线与的交点在以与的连线为直径的圆上，但又不能表示所有过点和的直线，进而可得答案. 【详解】由直线，得，令，得，即直线恒过定点，A正确； 当原点与点的连线和垂直时，原点到直线的距离最大，则最大值为1，B正确； 当时，直线，即，斜率为，倾斜角为，C错误； 由直线，直线， 得，故两直线垂直， 又直线恒过定点，直线恒过定点， 故直线与的交点在以与的连线为直径的圆上，但直线不能表示直线，直线不能表示直线，故直线与的交点的轨迹为圆的一部分，D正确. 故选：ABD. 56．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为10 D．的轨迹方程为 【答案】BC 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点， 直线的方程可化为， 所以直线过定点， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误， 由已知， 所以直线与直线垂直，即，B正确， 因为，所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立， C正确； 因为，故， 设点的坐标为， 则， 化简可得， 又点不是直线的交点，点在圆上， 故点的轨迹为圆除去点，D错误； 故选：BC.    三、填空题 57．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆的一般方程为， 由于圆经过，，， 所以有，解得， 所以圆的一般方程为，即标准方程为. 则圆的圆心，半径， 且， 因为， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 58．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据圆的对称性，不妨取，确定是圆的直径，得到，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】如图所示：根据圆的对称性，不妨取，圆心，半径， 则，则过点，即是圆的直径，， ， 则， 当且仅当时等号成立，周长的最大值为. 故答案为：. 59．（23-24高二上·江苏苏州·期中）若点在圆外，则实数的取值范围为 ；分别在直线与直线上，且．当圆的半径为3时，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】①根据点在圆外列不等式求解即可；②根据与和的位置得到为两直线间的距离，，根据圆的半径为得到，然后将的最小值转化为的最小值，最后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】因为点在圆外，所以，解得； 由和的方程可知，又，所以为两直线间的距离，， 因为圆的半径为，所以，解得，则， 过点作直线垂直于直线，如图， 则直线为，倾斜角为，将点沿直线向上平移个单位得到， 连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，则的最小值即的最小值， 因为两点之间线段最短，所以， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：第一个空关键在于要考虑圆的方程表示的是圆的方程； 第二个空关键在于通过构造平行四边形，将的最小值转化为的最小值，再根据两点之间线段最短求最小值. 60．（23-24高二上·江苏南通·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，动点，，然后列式化简,得到的轨迹方程,结合圆：,对应系数相等列方程组,即可求得点的坐标. 【详解】设的坐标为，动点，， 则， ， ， ， 可得， 又点的轨迹方程， 可得，解得（舍）或， 则的坐标为. 故答案为: . 四、解答题 61．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 62．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求的轨迹方程； (2)若为的轨迹上的任意一点，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为最小值为 【分析】（1）根据中点坐标公式即可代入求解， （2）利用三角换元法，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，由中点坐标公式可得， 由于在圆上运动，所以， 即的轨迹方程为 （2）由于为上一点，所以设， 故，因此， 由于故， 进而，所以, 故最大值为最小值为 63．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求解半径，即可得圆的方程， （2）根据相切可计算长度，根据长度关系可得,进而根据垂直以及对称求解点坐标，根据直角三角形的性质，可得外接圆圆心的位置，即可求解圆心和半径. 【详解】（1）由可得直线方程为：， 即， 所以到的距离为， 因此内切圆的半径为，圆心为， 所以内切圆方程为 （2）设直线与内切圆相切于点，内切圆半径为，连接, 由于, 而且,所以， 所以, 由于平分，所以,因此， 所以为以为直角的直角三角形, 由则, 方程为 又轴，所以直线，关于对称，因此， 因此直线方程为, 联立，的方程，解得， 故, 因此的中点坐标为，且为外接圆圆心， 外接圆的半径为, 故外接圆方程为 64．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案. （2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线. 【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为，，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. （2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心， 设关于直线对称的点为， 则，且，解得，即， ， 故反射光线为，即. 65．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程. （2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程. 【详解】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为.    14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$