黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共10小题） 1．（2024•龙江县二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A．75° B．90° C．108° D．120° 2．（2024•铁锋区二模）如图，直尺上摆放了一个含30°角的直角三角板，当∠ABC＝50°时，∠α的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．（2024•龙沙区二模）如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•齐齐哈尔二模）将一副直角三角尺（∠C＝60°，∠F＝45°）按如图所示位置摆放，使点D落在边AB上，EF∥BC，则∠ADF的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 5．（2024•建华区二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 6．（2024•铁锋区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（　　） A． B．11 C． D． 7．（2024•龙江县二模）将一块三角板ABC和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点G，若∠ADE＝α，则∠CGF的大小是（　　） A．90°+α B．180°﹣α C．45°+α D．135°﹣α 8．（2024•建华区二模）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　） A．23° B．53° C．60° D．67° 9．（2024•龙沙区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5 10．（2024•龙沙区二模）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 二．填空题（共10小题） 11．（2024•铁锋区二模）一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 　 　． 12．（2024•龙沙区二模）如图，AB∥CD∥EF，PS⊥GH于点P，∠1＝120°，则∠2＝　 　°． 13．（2024•铁锋区二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件 　 　，使得△ABC≌△DEF． 14．（2024•铁锋区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　． 15．（2024•建华区二模）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4；…，按此规律进行下去，则△C2023B2023B2024的面积为 　 　． 16．（2024•建华区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为 　 　． 17．（2024•龙江县二模）菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD交于点O，AC＝8，以AD为一边作正方形ADEF，过点E作EG⊥直线BD，垂足为G，连接AG，则AG＝　 　． 18．（2024•龙江县二模）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM＝DN．连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件 　 　，使得四边形AMCN是矩形． 19．（2024•建华区二模）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　 　． 20．（2024•龙江县二模）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M是边AB上的动点，过点M作AB的垂线与BC所在的直线交于点N，若△CMN是等腰三角形，则BN的长为　 　． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•龙沙区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若AB＝13，AC＝5，求EF的长． 22．（2024•龙沙区二模）综合与实践 数学活动课上，同学们将直角△BAC和△DAE的直角顶点A重合，来研究几何知识． 实践操作： （一）如图①，△BAC和△DAE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE； （二）在图①中，取BD中点G，连接GA并延长交CE于点H，延长AG至点M，使GM＝AG，连接BM、DM，得到图②． （三）如图③，△BAC和△DAE是直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝2AB，AE＝2AD； 问题解决： （一）在图①中，若，∠BDA＝45°，AD＝2，则tan∠ABD＝　 　；AC＝　 　；∠CAE＝　 　°； （二）在图②中，（1）AM与CE的位置关系为 　 　； （2）证明：△CAE≌△ABM． （三）在（1）问条件下，图②中S△ACE＝　 　； 拓展延伸 （四）在图③中，若∠BDA＝45°，∠BAD＝105°，AD＝m，则S△ACE＝　 　（用m含的代数式表示）． 23．（2024•建华区二模）图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，且满足DC＝DP，连接BF，CF． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OB＝4，当CF∥AB时，求阴影部分的面积． 24．（2024•建华区二模）在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化． ①猜想BG和AE的关系为 　 　，证明你得到的结论； ②猜想AG＝　 　；（填图中线段） （2）若BC＝8，DE＝10，（1）的旋转过程中，AG的取值范围为 　 　；当时，BG＝　 　． 25．（2024•铁锋区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若BF＝1，sin∠AFE，求BC的长． 黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•龙江县二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A．75° B．90° C．108° D．120° 【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，则半径为2， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是2√2cm， ∴圆锥的母线长为6， 设扇形的圆心角为n°， ∴（nπ×6）÷180＝4π， 解得n＝120． 故这个几何体展开图的圆心角是120°． 故选：D． 2．（2024•铁锋区二模）如图，直尺上摆放了一个含30°角的直角三角板，当∠ABC＝50°时，∠α的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：如图， ∵一个含30°角的直角三角板， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣50°＝70°， 由题意知：BC∥EF， ∴∠α＝∠ACB＝70°． 故选：D． 3．（2024•龙沙区二模）如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r． 过圆心O作OD⊥AC于点D，连接AO，如图． ∵∠BAC＝60°， ∴∠DAO＝30°． ∴，， ∴AC＝2AD＝6， ∴， ∴圆锥的底面圆的半径r＝1． ∴圆锥的高为， 故选：A． 4．（2024•齐齐哈尔二模）将一副直角三角尺（∠C＝60°，∠F＝45°）按如图所示位置摆放，使点D落在边AB上，EF∥BC，则∠ADF的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G， ∵EF∥BC，∠F＝45°， ∴∠F＝∠BGD＝45°， 又∵∠ADF是△BDG的外角，∠B＝30°， ∴∠ADF＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°， 故选：B． 5．（2024•建华区二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∵∠D＝30°， ∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 故选：A． 6．（2024•铁锋区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（　　） A． B．11 C． D． 【解答】解：由作法得：EF垂直平分BD， 则：BH＝DH，HG⊥BD， 在矩形ABCD中，∠A＝90°，CHBD， ∴BD＝5， ∴BH＝2.5， ∵∠A＝∠BHG，∠ABD＝∠ABD， ∴△BGH∽△BDA， ∴，即：， 解得：GH＝1.875，BG＝3.125， 所以四边形BCHG的周长为：3.125+1.875+2.5+3＝10.5， 故选：A． 7．（2024•龙江县二模）将一块三角板ABC和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点G，若∠ADE＝α，则∠CGF的大小是（　　） A．90°+α B．180°﹣α C．45°+α D．135°﹣α 【解答】解：∵∠DEG是△ADE的一个外角，∠A＝90°，∠ADE＝α， ∴∠DEG＝∠A+∠ADE＝90°+α， ∵DE∥FG， ∴∠CGF＝∠DEG＝90°+α， 故选：A． 8．（2024•建华区二模）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　） A．23° B．53° C．60° D．67° 【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H． ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠FHG． 又∵∠1+∠E＝∠FHG， ∴∠2＝∠1+∠E＝23°+30°＝53°． 故选：B． 9．（2024•龙沙区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5 【解答】解：由作图可得，AP平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD，故选项A不符合题意； ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，故选项B不符合题意； 在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10， ∴BC8， ∵△ABC的面积为＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•CDAB•DEAC•BC， ∴6•CD+10CD＝6×8， 解得CD＝3， ∴AD3，故选项C符合题意； ∵BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴CD：BD＝3：5，故选项D不符合题意． 故选：C． 10．（2024•龙沙区二模）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 【解答】解：由题意可得， MN垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长是AB+BD+AD， ∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC， ∵AB＝7，AC＝12， ∴AB+AC＝19， ∴△ABD的周长是19， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2024•铁锋区二模）一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 　18π　． 【解答】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长＝2πr，即展开后的弧长为2πr， ∵展开后的侧面积为半圆， ∴侧面积为：πR2， ∴侧面积2πrRπR2， ∴R＝2r， 由勾股定理得，R2＝（）2+（3）2， ∴R＝6，r＝3， ∴圆锥的侧面积＝18π． 12．（2024•龙沙区二模）如图，AB∥CD∥EF，PS⊥GH于点P，∠1＝120°，则∠2＝　30　°． 【解答】解：如图： ∵PS⊥GH， ∴∠SPQ＝90°， ∵CD∥EF， ∴∠1＝∠3＝120°， ∵∠3是△PSQ的一个外角， ∴∠2＝∠3﹣∠SPQ＝30°， 故答案为：30． 13．（2024•铁锋区二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件 　AB＝DE（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF． 【解答】解：∵AB∥DE，BF＝CE， ∴∠B＝∠E，BC＝EF， 要使△ABC≌△DEF， 添加AB＝DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF； 添加∠A＝∠E即可利用AAS判定△ABC≌△DEF； 添加∠ACB＝∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF． 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 14．（2024•铁锋区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　或或　． 【解答】解：①当⊙P与AC边相切时，如图， 过点P作PE⊥AC，则E为切点，PE＝1． ∵BC⊥AC， ∴PE∥CD． ∴． ∵AD， ∴， ∴AP； 此时，点P与点D重合． ②当⊙P与BC边相切时，如图， 过点P作PF⊥BC，则F为切点，PF＝1． ∵BC⊥AC， ∴PF∥CA． ∴． 由①得：AD， ∴PD＝AD﹣APAP． ∴， 解得：AP； ③当⊙P与AB边相切时，如图， 过点P作PG⊥BA于点G，则G为切点，PG＝1． 过点D作DH⊥AB于点H， ∵CD＝1，BD＝3， ∴BC＝4． ∴AB5． ∵∠BHD＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B， ∴△BDH∽△BAC． ∴． ∴． ∴DH． ∵DH⊥AB，PG⊥BA， ∴PG∥DH． ∴． ∴， ∴AP． 综上，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为或或． 故答案为：或或． 15．（2024•建华区二模）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4；…，按此规律进行下去，则△C2023B2023B2024的面积为 　　． 【解答】解：连接B1D1，B2D2，B3D3，过点B1作B1D⊥ON于D，过点B2作B2H⊥B1D1于H， 过点B3作B3G⊥B2D2于G，过点B4作B4E⊥B3D3于E，如图所示， ∴∠B1DO＝∠B1DA1＝∠B2HD1＝∠B3GD2＝∠B4ED3＝90°， ∵∠B1A1O＝60°， ∴∠DB1A1＝30°， ∵B1A1＝1，OA1＝3， ∴，． ∴在Rt△B1DA1中，， ∴． ∵菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°， ∴△A1B1D1为等边三角形， ∴∠A1B1D1＝60°，B1D1＝A1B1＝1，△C1B1D1也是等边三角形，同理△C2B2D2，△C3B3D3…△∁nBnDn都是等边三角形， ∴∠A1B1D1＝∠B1A1O＝60°， ∴OA1∥B1D1， ∴． 设B2D1＝x， ∵∠B2D1H＝∠B1D1A1＝60°， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴． 同理可得：，， ∴，． 由上可得，，． ∵△C1B1D1，△∁nBnDn都是等边三角形， ∴△C1B1D1∽△∁nBnDn，∠B1D1B2＝∠B2D2B3＝∠BnDnBn+1＝60°， ∵， ∵∠B1D1B2＝∠B2D2B3＝∠BnDnBn+1＝60°，△B1D1B2的高， ∴△BnDnBn+1的高为， ∴， ∴S△CnBnBn﹣1＝S△CnBnD， ∴． 故答案为：． 16．（2024•建华区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为 　　． 【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠BCD＝90°， ∵CN⊥BT， ∴∠CTB＝∠CDN＝90°， ∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°， ∴∠CBT＝∠DCN， ∴△BTC∽△CDN， ∴， ∴BM•CN＝BT•CN＝CD•CB＝6×8＝48， ∵∠BCD＝90°，CD＝6，BC＝8， ∴， 由作图可知BP平分∠CBD， ∵JK⊥BD，JC⊥BC， ∴JK＝JC， ∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CN•BT＝48， ∴． 故答案为：． 17．（2024•龙江县二模）菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD交于点O，AC＝8，以AD为一边作正方形ADEF，过点E作EG⊥直线BD，垂足为G，连接AG，则AG＝　或　． 【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的边长为5，且AC＝8， ∴OA＝4， 根据勾股定理，得OD＝3， ①点G在线段BD上，如图所示： 在正方形ADEF中，AD＝ED，∠ADE＝90°， ∴∠ADO+∠ODE＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴∠ADO+∠OAD＝90°， ∴∠ODE＝∠OAD， ∵EG⊥BD， ∴∠EGD＝90°， ∴∠EGD＝∠AOD， ∴△AOD≌△DGE（AAS）， ∴GD＝AO＝4， ∴GO＝4﹣3＝1， 根据勾股定理，得AG， ②点G在线段BD的延长线上，如图所示： 同理可证△AOD≌△DGE（AAS）， ∴DG＝AO＝4， ∵OD＝3， ∴OG＝7， 根据勾股定理，得AG． 故答案为：或． 18．（2024•龙江县二模）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM＝DN．连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件 　OMAC（答案不唯一）　，使得四边形AMCN是矩形． 【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OMAC，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝OD， ∵BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN， 即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵OMAC， ∴MN＝AC， ∴平行四边形AMCN是矩形． 故答案为：OMAC（答案不唯一）． 19．（2024•建华区二模）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　120°　． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π×2， 解得n＝120， 所以侧面展开图的圆心角为120°． 故答案为：120°． 20．（2024•龙江县二模）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M是边AB上的动点，过点M作AB的垂线与BC所在的直线交于点N，若△CMN是等腰三角形，则BN的长为　或6　． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB5， 如图1，设CN＝x，则MN＝x， ∴BN＝3﹣x， ∵∠ACB＝∠NMB＝90°，∠B＝∠B， ∴△BMN∽△BCA， ∴，即， 解得，x， 则BN＝3； 如图2，∵CM＝CN， ∴∠∠CMN＝∠N， ∵∠BMN＝90°， ∴∠CMN＝∠B， ∴CN＝CM＝CB＝3， ∴BN＝CN+CB＝6， 故答案为：或6． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•龙沙区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若AB＝13，AC＝5，求EF的长． 【解答】（1）证明：连接OE， ∴OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∵∠ACB＝90°，CD为斜边中线， ∴， ∴∠OCE＝∠OEC＝∠B， ∴OE∥BD， ∵EF⊥AB， ∴∠OEF＝90°， ∴EF为⊙O的切线． （2）解：连接DE， ∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴，， ∵CD是直径， ∴∠CED＝90°， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2024•龙沙区二模）综合与实践 数学活动课上，同学们将直角△BAC和△DAE的直角顶点A重合，来研究几何知识． 实践操作： （一）如图①，△BAC和△DAE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE； （二）在图①中，取BD中点G，连接GA并延长交CE于点H，延长AG至点M，使GM＝AG，连接BM、DM，得到图②． （三）如图③，△BAC和△DAE是直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝2AB，AE＝2AD； 问题解决： （一）在图①中，若，∠BDA＝45°，AD＝2，则tan∠ABD＝　　；AC＝　　；∠CAE＝　75　°； （二）在图②中，（1）AM与CE的位置关系为 　AM⊥CE　； （2）证明：△CAE≌△ABM． （三）在（1）问条件下，图②中S△ACE＝　　； 拓展延伸 （四）在图③中，若∠BDA＝45°，∠BAD＝105°，AD＝m，则S△ACE＝　（）m2　（用m含的代数式表示）． 【解答】解：（一）过点A作AF⊥BD于点F， ∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∵∠BDA＝45°，AD＝2， ∴AF＝DF，∠DAF＝45°， ∵BD， ∴BF， ∴tan∠ABD， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BAF＝60°，AB＝2AF， ∵AB＝AC， ∴AC， ∵∠BAC+∠CAE+∠DAE+∠BAD＝360°， ∴90°+∠CAE+90°+60°+45°＝360°， ∴∠CAE＝75°， 故答案为：；；75； （二）∵G为BD中点G，GM＝AG，∠BGM＝∠DGA， ∴△BGM≌△DGA（SAS）， ∴BM＝AD＝AE，∠MBG＝∠ADG， ∴BM∥AD， ∴∠ABM+∠BAD＝180°， ∴∠ABM＝180°﹣∠BAD， ∵∠BAC+∠CAE+∠DAE+∠BAD＝360°， ∴90°+∠CAE+90°+∠BAD＝360°， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAD， ∴∠ABM＝∠CAE， ∵AB＝AC，BM＝AE， ∴△ABM≌△CAE（SAS）， ∴∠BAM＝∠ACE， ∵∠BAM+∠BAC+∠CAH＝180°， ∴∠ACE+90°+∠CAH＝180°， ∴∠ACE+∠CAH＝90°， ∴∠AHC＝90°， ∴AM⊥CE， 故答案为：AM⊥CE； （三）∵△ABM≌△CAE， ∴S△CAE＝S△ABM， ∵BM＝AD，BM∥AD， ∴四边形ABMD是平行四边形， ∴S△ABM＝S△ABD， ∴， 故答案为：； （四）取BD中点G，连接AG并延长，使GH＝AG，连接BH，DH，过点A作AF⊥BD于点F， 同理可得：AF＝DF，， ∴BD＝BF+DF， ∴， 同理可得：△BHG≌△DAG，四边形ABHD是平行四边形， ∴∠ABH＝∠CAE，BH＝AD，， ∵，， ∴△ABH∽△CAE， ∴， ∴， 故答案为：（）m2． 23．（2024•建华区二模）图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，且满足DC＝DP，连接BF，CF． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OB＝4，当CF∥AB时，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）如图，连接CO， ∵DE⊥AB， ∴∠BPE+∠PBE＝90°， ∵∠DPC＝∠BPE ∴∠DPC+∠PBE＝90°， ∵DC＝DP， ∴∠DCP＝∠DPC， ∴∠DCP+∠PBE＝90°， ∵OC＝OB ∴∠OCB＝∠PBE， ∴∠DCP+∠OCB＝90°， ∴∠OCD＝90°， 即OC⊥CD ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）连接OF， ∵ED垂直平分OB， ∴FO＝FB， ∵OF＝OB， ∴△BOF为等边三角形， ∴OF＝OC＝OB＝4，∠FOB＝60°， ∵CF∥AB， ∴∠OFC＝60°， ∴△OCF为等边三角形， ∴， ∴． 24．（2024•建华区二模）在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化． ①猜想BG和AE的关系为 　BG⊥AE，BG＝AE　，证明你得到的结论； ②猜想AG＝　CE　；（填图中线段） （2）若BC＝8，DE＝10，（1）的旋转过程中，AG的取值范围为 　6≤AG≤14　；当时，BG＝　或　． 【解答】解：（1）①BG⊥AE，BG＝AE，理由如下： 如图②，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O． 在Rt△BAC中，D为斜边BC中点， ∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC， ∴∠ADG+∠GDB＝90°． ∵四边形EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°， ∴∠ADG+∠ADE＝90°， ∴∠BDG＝∠ADE． 在△BDG和△ADE中， ， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED， ∵∠GOK＝∠DOE， ∴∠OKG＝∠ODE＝90°， ∴EA⊥BG． ②∵AD＝CD，DG＝DE，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE， ∴AG＝CE； （2）如图，∵DE＝DG＝10， ∴G在以D为圆心，10为半径的圆上运动， ∵BC＝8，D为BC中点，∠BAC＝90°， ∴， 当A在线段DG上时，AG最小，最小值为10﹣4＝6， 如图，当A在线段GD的延长线上时，AG最大，最大值为10+4＝14， ∴AG的取值范围为6≤AG≤14； 如图，当G在AD的左边，作AH⊥DG于H，作GP⊥BD交其延长线于P， ∵BC＝8，AD＝BD＝CD＝4，DE＝DG＝10， 设DH＝x，则GH＝10﹣x， 由勾股定理可得：AG2﹣GH2＝AD2﹣DH2， ∴， 解得：，即， ∴， ∵GP⊥BD，AD⊥BD，AH⊥DG， ∴∠GPD＝∠AHD＝90°，∠GDP+∠GDA＝90°＝∠GDA+∠DAH， ∴∠GDP＝∠DAH， ∴△DAH∽△GDP， ∴， ∴， ∴PD＝6，PG＝8， ∴BP＝PD﹣BD＝2， ∴； 如图，当G在AD的右边， 同理可得：PD＝6，PG＝8， ∴PB＝10， ∴， 综上：当时，或． 故答案为：6≤AG≤14，或． 25．（2024•铁锋区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若BF＝1，sin∠AFE，求BC的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE， ∵∠CAB＝2∠EAB， ∴∠CAB＝∠FOE， 又∵∠AFE＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE， ∴∠OEF＝90°， 即OE⊥EF， ∵OE是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1， ∵sin∠AFE， ∴r＝4， ∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中，sin∠ABCsin∠AFE，AB＝8， ∴AC8， ∴BC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/18 15:07:44；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$