黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 一．选择题（共15小题） 1．（2024•龙沙区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（　　）个． ①abck＞0，②4b+3c＝0，③4a+2b+c+2k＜0，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则k＝﹣2a，⑤m为任意实数，则有m（am+b）+c+a≥0． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024•龙沙区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•齐齐哈尔二模）如图，正方形ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，AD的中点，点P，Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿D→C匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿E→A→F匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，△DPQ的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•齐齐哈尔二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣2，0），（x1，0），其中0＜x1＜1．有下列五个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+c＞0；④（a﹣b）（2a﹣b）＞0；⑤若m，n（m＜n）为关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣x1）+1＝0的两个根，则﹣2＜m+n＜﹣1．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024•建华区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0）（其中m＞1），结合图象给出下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＜2b；④a+c＜0；⑤方程a（x+1）（x﹣m）+1＝0的两根和为正；其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024•铁锋区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论： ①abc＜0；②2c＜3b；③若方程a（x+1）（x﹣3）+b＝0的两根分别为m，n，则m+n＝2；④当△ABD是等腰直角三角形时，a＝0.5；⑥抛物线上有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且x1＜1＜x2，若x1+x2＞2，则y1≤y2．正确的有（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024•龙沙区二模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 8．（2024•铁锋区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 9．（2024•铁锋区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝60°，点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2cm/s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则△AMN的面积y（cm2）与点M运动的时间x（s）的函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•建华区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且﹣5＜x1＜﹣4，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2﹣b2＜0；③5a+c＞0；④方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根和为﹣2；⑤对于任意实数m都有a（m+2）（2﹣m）≤2b+bm；其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024•建华区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E，动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按D→E→B→C的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PCD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则AD的长为（　　） A． B．3 C． D．4 12．（2024•龙江县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．有下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＜0；③4a2+2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜2．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024•龙江县二模）如图，点M和点N同时从正方形ABCD的顶点A出发，点M沿着AB→BC运动，点N沿着AD→DC运动，速度都为2cm/s，终点都是点C．若AB＝4cm，则△AMN的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•龙江县二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论： ①abc＞0； ②2c＜3b； ③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2； ④当△ABD是等腰直角三角形时，则a； ⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3． 其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 15．（2024•铁锋区二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　） A．AE＝6cm B．sin∠EBC C．当0＜t≤10时，yt2 D．当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形 二．填空题（共10小题） 16．（2024•铁锋区二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示，已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2024的坐标为 　 　． 17．（2024•龙沙区二模）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 18．（2024•龙沙区二模）如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，且BD∥y轴，若▱ABCD的面积等于11，则k的值为 　 　． 19．（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 20．（2024•齐齐哈尔二模）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 21．（2024•铁锋区二模）如图，点A、B都在反比例函数y（k＞0）的图象上，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，DA＝3DC，S△ABD＝6．则k的值为 　 　． 22．（2024•建华区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为 　 　． 23．（2024•建华区二模）函数y（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是　 　． 24．（2024•龙江县二模）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OAB绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到三角形Rt△OA2024B2024，则B2024的坐标为 　 　． 25．（2024•铁锋区二模）在函数中，自变量x的取值范围是　 　． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•龙沙区二模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车距C地的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图象． （1）货车的速度为 　 　km/h；A、B两地间的路程为 　 　km； （2）求客车距C地的路程y1与x的函数关系式，并直接写出货车距C地的路程y2与x的函数关系式； （3）求两车相遇时距B地的路程； （4）直接写出两车出发多长时间时相距70km的路程． 27．（2024•龙沙区二模）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），交y轴于点C，顶点为D，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PM∥AC交x轴于点M，PH∥x轴交BC于点H． ①当PMAC时，点H的坐标为 　 　． ②求PH的最大值； （3）连接BD并延长BD交y轴于点N，点Q为y轴上的一个动点，连接AQ，则AQQN的最小值为 　 　． 28．（2024•铁锋区二模）一辆轿车从A市驶往B市，一小时后，一辆货车从B市驶往A市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回A市，货车到达A市比轿车返回A市早2.5h，轿车比货车每小时多行驶40km，两车到达A市后均停止行驶，两车距A市的路程S（km）与矫车行驶的时间t（h）之间的函数图象如图所示： 结合图象信息解答下列问题： （1）A市和B市之间的路程为 　 　km．轿车行驶的速度 　 　km/h．轿车在B市停留了 　 　小时． （2）求轿车从B市返回A市时的函数解析式，并写出自变量取值范围． （3）请直接写出轿车行驶多长时间时，与货车相距200km． 29．（2024•铁锋区二模）综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P为第一象限抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式及对称轴． （2）如图1， ①若∠PCB＝∠ACO，则P点坐标为 　 　； ②若∠PCB＝2∠ACO，则P点坐标为 　 　． （3）如图2，连接AP、BC，AP与BC交于点D，若PD：AD＝3：5，求点P坐标． （4）如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点H在点N上方，且MN＝2，请直接写出CM+CN的最小值 　 　.并写出此时M点的坐标 　 　． 30．（2024•建华区二模）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）甲车的速度为 　 　千米/小时，乙车的速度为 　 　千米/小时，B、C两地间的距离为 　 　千米； （2）求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•龙沙区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（　　）个． ①abck＞0，②4b+3c＝0，③4a+2b+c+2k＜0，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则k＝﹣2a，⑤m为任意实数，则有m（am+b）+c+a≥0． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：直线y＝kx﹣4k（k是常数）的图象过一、二、四象限， ∴k＜0， ∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， 又抛物线的对称轴为， ∴b＜0， ∴abck＞0，故①正确； ∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4）， ∴x＝4时，y＝0， ∴直线y＝kx﹣4k与x轴交点为（4，0）， ∴抛物线与y＝kx﹣4k也交于（4，0）， ∵抛物线的对称轴为x3， ∴b＝﹣6a， 由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）， ∴4a+2b+c＝0，即c＝8a， ∴4b+3c＝﹣24a+24a＝0，②正确． 由②知，抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∵k＜0 ∴4a+2b+c+2k＝2k＜0，故③正确； 根据题意知，当x＝0时，直线与抛物线的y值相等， ∴﹣4k＝c， ∴ 由②得c＝8a， ∴，故④正确； 当x＝3时，抛物线取得最小值，最小值为：y＝9a+3b+c 当x＝m时，代入y＝ax2+bx+c得am2+bm+c≥9a+3b+c， 两边同时加上a，得，am2+bm+c+a≥9a+3b+c+a ∴m（am+b）+c+a≥10a+3b+c， ∵b＝﹣6a，c＝8a ∴10a+3b+c＝10a﹣18a+8a＝0 ∴m（am+b）+c+a≥0，故⑤正确， ∴正确的结论有5个， 故选：D． 2．（2024•龙沙区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20， ∴AB25， ①当0≤x≤3时，点P在AC边上，如图所示： 此时AP＝5x， ∵PD⊥AB， ∴∠PDA＝90°＝∠C， ∵∠CAB＝∠DAP， ∴△CAB∽△DAP， ∴， ∴AD3x，PD4x， ∴yAD•PD3x×4x＝6x2； ②当3＜x≤7时，点P在BC边上，如图所示： 此时BP＝35﹣5x， ∵PD⊥AB， ∴∠PDB＝90°＝∠C， ∵∠PBD＝∠ABC， ∴△PBD∽△ABC， ∴， ∴PD21﹣3x，BD28﹣4x， ∴AD＝AB﹣BD＝25﹣（28﹣4x）＝4x﹣3， ∴yAD•PD（4x﹣3）（21﹣3x）＝﹣6x2x． 故选：C． 3．（2024•齐齐哈尔二模）如图，正方形ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，AD的中点，点P，Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿D→C匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿E→A→F匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，△DPQ的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当Q在线段AE上运动时，△DPQ的面积为yPD•AD＝2x（0＜x≤2）， 当Q在AF上运动时，△DPQ的面积为yPD•DPx（2+4﹣x）x2+3x（2＜x≤4）， 图象为： 故选：D． 4．（2024•齐齐哈尔二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣2，0），（x1，0），其中0＜x1＜1．有下列五个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+c＞0；④（a﹣b）（2a﹣b）＞0；⑤若m，n（m＜n）为关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣x1）+1＝0的两个根，则﹣2＜m+n＜﹣1．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵0＜x1＜1，﹣2＜﹣2+x1＜﹣1， ∴﹣1，即﹣1． ∴b＜0． 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0， 故①正确； 由图象知，当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故②正确； ∵当x＝﹣2时，y＝0，即4a﹣2b+c＝0， ∴b＝2ac． 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，即a+2ac+c＜0． ∴2a+c＜0． 故③错误； ∵﹣1， ∴1． 又a＜0， ∴a＞b＞2a． ∴a﹣b＞0，2a﹣b＜0． ∴（a﹣b）（2a﹣b）＜0， 故④错误； ∵a（x+2）（x﹣x1）+1＝0， 令y′即为y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣x1）向上平移1个单位长度得到， ∴m＜﹣2，n＞x1， ∴﹣1， ∴﹣2＜m+n＜﹣1， 故⑤正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 5．（2024•建华区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0）（其中m＞1），结合图象给出下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＜2b；④a+c＜0；⑤方程a（x+1）（x﹣m）+1＝0的两根和为正；其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：由图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确，符合题意； ∵抛物线图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，选项②正确，符合题意； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a+c＜2b，故③正确，符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴﹣1和m是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴﹣1×m， ∴c＝﹣ma ∴a+c＝a﹣ma＝a（1﹣m）， ∵a＜0，m＞1， ∴a+c＝a（1﹣m）＞0，故④错误，不合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴﹣1和m是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴﹣1+m， ∵m＞1， ∴0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴二次函数为y＝a（x+1）（x﹣m）， 设方程a（x+1）（x﹣m）+1＝0的两根为α，β， ∴α，β是方程ax2+bx+c+1＝0的两个根， ∴α+β0，故④正确，符合题意； 故选：C． 6．（2024•铁锋区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论： ①abc＜0；②2c＜3b；③若方程a（x+1）（x﹣3）+b＝0的两根分别为m，n，则m+n＝2；④当△ABD是等腰直角三角形时，a＝0.5；⑥抛物线上有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且x1＜1＜x2，若x1+x2＞2，则y1≤y2．正确的有（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵a＞0，抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0． ∴abc＞0．故①结论错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴对称轴为直线x1，即x1， ∴b＝﹣2a， ∴a， 把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a﹣b+c＝0， ∴b﹣b+c＝0， ∴2c＝3b，故②选项错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵方程a（x+1）（x﹣3）+b＝0的两根分别为m，n， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣b交点的横坐标分别为m，n， ∵对称轴为直线x＝1， ∴m+n＝2，故③选项正确； 当△ABD是等腰直角三角形时， 可得D点纵坐标为﹣2，即点D（1，﹣2）， 设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 将点A（﹣1，0）代入得：4a﹣2＝0， 解得a＝0.5，故④选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，x1＜1＜x2， ∴点P（x1，y1）在对称轴的左侧，点Q（x2，y2）在对称轴的右侧， ∵x1+x2＞2， ∴点P（x1，y1）到对称轴的距离小于点Q（x2，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2．故⑥选项错误； 其中正确的有2个． 故选：D． 7．（2024•龙沙区二模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【解答】解：由图2知，， ∵AB＝BC， ∴， ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AC＝2AD，∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝13①， 设点M到AC的距离为h， ∴， ∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动， ∴当点M运动到点B时，△AMD的面积最大，即h＝BD， 由图2知，△AMD的面积最大为3， ∴， ∴AD•BD＝6②， ①+2×②得，AD2+BD2+2AD•BD＝13+2×6＝25， ∴（AD+BD）2＝25， ∴AD+BD＝5（负值舍去）， ∴BD＝5﹣AD③， 将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6， ∴AD＝3或AD＝2， ∵AD＞BD， ∴AD＝3， ∴AC＝2AD＝6， 故选：A． 8．（2024•铁锋区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x1， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误． 故①③④正确． 故选：B． 9．（2024•铁锋区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝60°，点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2cm/s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则△AMN的面积y（cm2）与点M运动的时间x（s）的函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2cm/s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． 因而点M，N应同时到达端点，当点N到达点D时，点M正好到达AB的中点， 则当x≤1秒时，△AMN的面积y（cm2）与点M运动的时间x（s）的函数关系式是：y； 当x＞1时：函数关系式是：y． 故选：A． 10．（2024•建华区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且﹣5＜x1＜﹣4，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2﹣b2＜0；③5a+c＞0；④方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根和为﹣2；⑤对于任意实数m都有a（m+2）（2﹣m）≤2b+bm；其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴为， ∴b＝4a＞0， 图象与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0；故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且﹣5＜x1＜﹣4， ∴0＜x2＜1， ∴当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0， 当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＞0， ∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， 故②正确， ∵b＝4a，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＞0， ∴a+4a+c＞0， 即5a+c＞0；故③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）， ∴y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 当0＝a（x﹣x1）（x﹣x2）时，， 由a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0得到，ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2﹣1＝0， ∴方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根和为x1+x2＝﹣4； 故④错误， 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，开口向上， ∴当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c（a≠0）最小值y＝4a﹣2b+c， ∴对于任意实数m都有am2+bm+c≥4a﹣2b+c， 则（4a﹣2b+c）﹣（am2+bm+c）≤0， ∵a（m+2）（2﹣m）﹣2b﹣bm＝4a﹣am2﹣2b﹣bm＝（4a﹣2b+c）﹣（am2+bm+c） ∴a（m+2）（2﹣m）﹣2b﹣bm≤0 即a（m+2）（2﹣m）≤2b+bm；故⑤正确， 综上可知，①②③⑤正确， 故选：C． 11．（2024•建华区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E，动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按D→E→B→C的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PCD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则AD的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【解答】解：当t，S＝11时，点P位于点B处，S△BCD＝11， 当t＝13时，点P位于点C处， ∴BC＝13，S△BCD＝11BC•CD， ∴CD＝4， 当点P位于点E处时， S△CDE＝5，即CD•DE＝5， ∴DE， ∵∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴△ADE∽△ACB， ∴AD：AC＝DE：CB，即AD：（AD+4）：， ∴AD， 故选：C． 12．（2024•龙江县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．有下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＜0；③4a2+2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜2．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为（3，0）与（4，0）之间，根据对称性可得另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， ∴抛物线与y轴交点位于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， 故①正确； 由图象可知，a+b+c＜0，根据对称轴，得b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＜0 ∴c﹣3a＜0， 故②正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线的最小值为y＝4a+2b+c， 当x＝t时，其函数值为y＝at2+bt+c， ∴4a+2b+c≤at2+bt+c， ∴4a+2b≤at2+bt， ∵a＞0， ∴a（4a+2b）≤a（at2+bt）， ∴4a2+2ab≤a2t2+abt， 故③不正确； ∵A（x1，y1）和点B（x2，y2）满足y1＝y2， ∴A（x1，y1）和点B（x2，y2）关于对称轴对称， ∴x1＜2，x2＞2， ∵m＜x1＜x2＜m+3， ∴m＜x1＜2，2＜x2＜m+3， 解得﹣1＜m＜2， 故④正确； 故选：C． 13．（2024•龙江县二模）如图，点M和点N同时从正方形ABCD的顶点A出发，点M沿着AB→BC运动，点N沿着AD→DC运动，速度都为2cm/s，终点都是点C．若AB＝4cm，则△AMN的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】当0≤t≤2时，点M、N分别在AB、AD上，则AM＝AN＝2t， 则SAM•AN，即 ，此时抛物线开口向上． 当2≤t≤4时， 点M、N分别在BC、CD上， 同理可得：，此时抛物线的开口向下， 综上，选项A符合题意， 故选：A． 14．（2024•龙江县二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论： ①abc＞0； ②2c＜3b； ③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2； ④当△ABD是等腰直角三角形时，则a； ⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3． 其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：①由图象可知a＞0，b＜0，c＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∴②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）． ∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，二次函数的对称轴为直线x1， ∴2a+b＝0． ∴b＝﹣2a． ∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0． ∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a． ∴2c＝3b． 故②不正确； ③若bx1bx2且x1≠x2，则抛物线上的点（x1，y1），（x2，y2）关于对称轴对称， ∴， ∴x1+x2＝2；故③正确； ④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形． ∴AD2+BD2＝42． 解得，AD2＝8． 设点D坐标为（1，y）． 则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2． 解得y＝±2． ∵点D在x轴下方． ∴点D为（1，﹣2）． ∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）． 设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2． ∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2． 解得a．故④正确； ⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2， 则x1，x2是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝4的两个交点的横坐标， 由图象可知x1＜﹣1＜，x2＞3．故⑤不正确； 故选：C． 15．（2024•铁锋区二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　） A．AE＝6cm B．sin∠EBC C．当0＜t≤10时，yt2 D．当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形 【解答】解：（1）结论A正确．理由如下： 分析函数图象可知，BC＝10cm，ED＝4cm，故AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝10﹣4＝6cm； （2）结论B正确．理由如下： 如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F， 由函数图象可知，BC＝BE＝10cm，S△BEC＝40BC•EF10×EF，∴EF＝8， ∴sin∠EBC； （3）结论C正确．理由如下： 如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵BQ＝BP＝t， ∴y＝S△BPQBQ•PGBQ•BP•sin∠EBCt•t•t2． （4）结论D错误．理由如下： 当t＝12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC． 此时AN＝8，ND＝2，由勾股定理求得：NB，NC， ∵BC＝10， ∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 16．（2024•铁锋区二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示，已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2024的坐标为 　（1013，10132）　． 【解答】解：∵A点坐标为（1，1），AA1∥x轴交抛物线于点A1， ∴直线OA为y＝x，A1的坐标（﹣1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线A1A2为y＝x+2， ∴， 解得：或， ∴A2（2，4）， ∵A2A3∥x轴， ∴A3（﹣2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线A3A4为y＝x+6， ∴， 解得：或， ∴A4（3，9）， ∴A5（﹣3，9）， ……， ∴n为奇数时，An（，（）2）， n为偶数时，An（，（）2）， ∴A2024（1013，10132）， 故答案为：（1013，10132）． 17．（2024•龙沙区二模）在函数中，自变量x的取值范围是 　x＞﹣3且x≠2　． 【解答】解：由题意得，x+3＞0且x﹣2≠0， ∴x＞﹣3且x≠2， 故答案为：x＞﹣3且x≠2． 18．（2024•龙沙区二模）如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，且BD∥y轴，若▱ABCD的面积等于11，则k的值为 　7　． 【解答】解：如图，连接OD、OB，设BD交x轴于E， ∵BD∥y轴，顶点A在y轴上， ∴S△ABD＝S△OBD，BD⊥x轴， ∵C在的图象上，顶点D在反比例函数的图象上， ∴，， ∵▱ABCD的面积等于11， ∴， ∴， 解得：k＝±7， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴k＝7． 故答案为：7 19．（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　　． 【解答】解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x， 联立， 解得或． 故A1（1，1）， ∴OA1，OB1＝2，即第1个正方形边长为． ∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1， ∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2）． ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立， 解得或． 故A2（2，4）， ∴A2B12，OB2＝6，即第2个正方形边长为2． ∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2， ∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6）， ∴直线B2A3的解析式为y＝x+6， 联立， ∴解得或． 故A3（3，9）． ∴A3B23，OB3＝12，即第3个正方形边长为3． … 按此规律类推，第n个正方形的边长为n． ∴第2024个正方形的边长是2024． 故答案为：． 20．（2024•齐齐哈尔二模）在函数中，自变量x的取值范围是 　x＞﹣5且x≠﹣1　． 【解答】解：由题意得：5+x＞0且x+1≠0， 解得：x＞﹣5且x≠﹣1， 故答案为：x＞﹣5且x≠﹣1． 21．（2024•铁锋区二模）如图，点A、B都在反比例函数y（k＞0）的图象上，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，DA＝3DC，S△ABD＝6．则k的值为 　4　． 【解答】解：过A作AF⊥x轴于F交BC于E，过B作BG⊥x轴于G， ∵BC∥x轴， ∴四边形BCOG是矩形，AF⊥BC， ∴BC＝OG，BG＝OC， 设B（a，）， ∵S△ABD＝S△ABC+S△DBCBC•AF＝6， ∵DA＝3DC， ∴S△BCD2， ∵S△BDC＝S△BCO＝2， ∴k＝4， 故答案为：4． 22．（2024•建华区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为 　　． 【解答】解：如图，作MN⊥x轴于N， ∵P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4， ∴，4）， ∴PQ＝4， ∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM． ∴QM＝QP＝4，∠PQM＝60°， ∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴，2）， ∵点M也在该反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 23．（2024•建华区二模）函数y（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是　x≥0且x≠3且x≠2　． 【解答】解：根据题意得，x≥0且x﹣3≠0且x﹣2≠0， 解得x≥0且x≠3且x≠2． 故答案为：x≥0且x≠3且x≠2． 24．（2024•龙江县二模）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OAB绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到三角形Rt△OA2024B2024，则B2024的坐标为 　（3×22022，﹣22022）　． 【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1， ∴OB＝OA•cos∠AOB， 由题意得，OB1＝2OB2， OB2＝2OB122， …… OBn2n2n﹣1，1 ∵2024÷12＝168……8， ∴B2024在第四象限， ∴点B2024的横坐标为：22023×cos30°220233×22022，纵坐标为：22023×sin30°＝22022， 故答案为：（3×22022，﹣22022）． 25．（2024•铁锋区二模）在函数中，自变量x的取值范围是　x≥0且x≠2　． 【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，x+1≠0， 解得x≥0且x≠2，x≠﹣1， 所以，x≥0且x≠2． 故答案为：x≥0且x≠2． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•龙沙区二模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车距C地的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图象． （1）货车的速度为 　60　km/h；A、B两地间的路程为 　840　km； （2）求客车距C地的路程y1与x的函数关系式，并直接写出货车距C地的路程y2与x的函数关系式； （3）求两车相遇时距B地的路程； （4）直接写出两车出发多长时间时相距70km的路程． 【解答】解：（1）由图象可得，客车的速度：720÷9＝80（km/h），则货车速度：8060（km/h）， A与B两地间路程为：60×2+720＝840（km）， 故答案为：60km/h，840km； （2）设客车y1与x的函数关系式为y1＝kx+b， ∴，解得， ∴y1与x的函数关系式为： y1＝﹣80x+720（0≤x≤9）， 当0≤x≤2时，设y2与x的函数关系式为y2＝ax+c， ∵货车速度为60km/h，60×2＝120， ∴该函数过点（0，120），（2，0）， ，解得， ∴y2＝﹣60x+120（0≤x≤2）， 当2＜x≤14时，设y2与x的函数关系式为y2＝mx+n， ∵点（2，0），（14，720）在该函数图象上， ∴，解得， ∴y2＝60x﹣120（2＜x≤14）， 综上分析：y2； （3）﹣80x+720＝60x﹣120， 解得：x＝6， （60×6﹣120）+60×2＝360（km）． ∴两车相遇时距B的路程为360km． （4）当两车相遇前相距70km时， （﹣80x+720）﹣（60x﹣120）＝70，解得x＝5.5， 当两车相遇后相距70km时， （60x﹣120）﹣（80x+720）＝70，解得x＝6.5． 综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时两车相距70km． 27．（2024•龙沙区二模）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），交y轴于点C，顶点为D，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PM∥AC交x轴于点M，PH∥x轴交BC于点H． ①当PMAC时，点H的坐标为 　　． ②求PH的最大值； （3）连接BD并延长BD交y轴于点N，点Q为y轴上的一个动点，连接AQ，则AQQN的最小值为 　　． 【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣2， 可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）①过P作PF⊥BO于点F，如图所示， 把x＝0代入， 可得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2），OC＝2， 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 代入B（﹣3，0）和C（0，﹣2）得， 解得， ∴直线BC的函数解析式为， ∵PM∥AC， ∴∠EMP＝∠OAC， ∵∠MFP＝∠AOC＝90°， ∴△FMP∽△OAC， ∴， ∴， ∴， ∵PH∥x轴交BC于点H， ∴H的纵坐标为﹣1， ∴把y＝﹣1代入， 可得， 解得， ∴， 故答案为：； ②∵点P在上， ∴设P点的坐标为（﹣3＜m＜0）， ∴H点的纵坐标为， 由①得直线BC的函数解析式为， ∴把代入， 可得， 解得x＝﹣m2﹣2m， ∴， ∴， ∵﹣3＜m＜0， ∴当时，PH取得最大值为； （3）过点Q作QM⊥BN于点M，过点A作AR⊥BN于点R，如图所示， ∵， ∴， 设直线BD的函数解析式为y＝ax+c， 代入B（﹣3，0）和得， 解得， ∴直线BD的函数解析式为， 把x＝0代入， 可得y＝﹣4， ∴N（0，﹣4），ON＝4， ∵BO＝3， 在Rt△BON中，， ∴， ∴， ∴， ∴当AQ+QM＝AR的时候有最小值， ∵，AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴， 故答案为：． 28．（2024•铁锋区二模）一辆轿车从A市驶往B市，一小时后，一辆货车从B市驶往A市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回A市，货车到达A市比轿车返回A市早2.5h，轿车比货车每小时多行驶40km，两车到达A市后均停止行驶，两车距A市的路程S（km）与矫车行驶的时间t（h）之间的函数图象如图所示： 结合图象信息解答下列问题： （1）A市和B市之间的路程为 　720　km．轿车行驶的速度 　120　km/h．轿车在B市停留了 　0.5　小时． （2）求轿车从B市返回A市时的函数解析式，并写出自变量取值范围． （3）请直接写出轿车行驶多长时间时，与货车相距200km． 【解答】解：（1）由图象可知，A市和B市之间的路程为720km， 设轿车速度为x km/h， 根据轿车出发4小时与货车相遇可得：4x+（4﹣1）（x﹣40）＝720， 解得x＝120， ∴轿车行驶的速度120km/h， ∵1+2.50.5（小时）， ∴轿车在B市停留了0.5小时； 故答案为：720，120，0.5； （2）设轿车从B市返回A市时的函数解析式为S＝kt+b（k≠0）， ∵轿车速度120km/h， ∴轿车从B市返回A市所需时间为：720÷120＝6（h）， 而货车速度为：120﹣40＝80（km/h），货车全程所需时间为：720÷80＝9（h）， ∴轿车往返共用时间为：9+1+2.5＝12.5（h）， ∴E（6.5，720），F（12.5，0）， ∴， 解得：， ∴轿车从B市返回A市时的函数解析式为S＝﹣120t+1500（6.5≤t≤12.5）； （3）当轿车从A市去B市与货车相遇前：120t+80（t﹣1）＝720﹣200， 解得t＝3； 当轿车从A市去B市与货车相遇后：120t+80（t﹣1）＝720+200， 解得t＝5； 当货车到达A市，轿车返回离A市200km时，﹣120t+1500＝200， 解得t； ∴轿车行驶3h或5h或h，与货车相距200km． 29．（2024•铁锋区二模）综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P为第一象限抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式及对称轴． （2）如图1， ①若∠PCB＝∠ACO，则P点坐标为 　（3，2）　； ②若∠PCB＝2∠ACO，则P点坐标为 　（2，3）　． （3）如图2，连接AP、BC，AP与BC交于点D，若PD：AD＝3：5，求点P坐标． （4）如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点H在点N上方，且MN＝2，请直接写出CM+CN的最小值 　　.并写出此时M点的坐标 　　． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）， 把B（4，0）、C（0，2）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴对称轴为直线． （2）①如图，连接CP， 由得， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝2， ∴， 又∵∠AOC＝∠COB＝90， ∴△AOC∽△COB， ∴∠ACO＝∠CBO， 又∵∠PCB＝∠ACO， ∴∠PCB＝∠CBO， ∴CP∥OB， ∴P点与C点纵坐标相同， 由得， 解得x1＝0，x2＝3， ∴xp＝3，yP＝2， ∴P（3，2）． 故答案为：（3，2）． ②如图，作点C（0，2）关于x轴的对称点C′（0，2），连接BC'， 则∠C′BO＝∠CBO， ∴∠CBC′＝2∠CBO， 又∵∠ACO＝∠CBO， ∴∠CBC′＝2∠ACO， 过C点作CP∥C′B，交抛物线于P点，则∠PCB＝∠CBC′＝2∠ACO， 设BC′的表达式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线BC'的表达式为， ∵CP∥C′B， ∴直线CP与直线C′B斜率相同， ∴直线CP的表达式为， 联立， 得，， ∴P（2，3）． 故答案为：（2，3）． （3）设直线BC的表达式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线BC的表达式为， 过D点作DE⊥x轴于E点，过P点作PF⊥x轴于F点， 则∠DEA＝∠PFA＝90°， 又∵∠DAE＝∠PAF， ∴△DAE∽△PAF， ∴， ∵PD：AD＝3：5， ∴AD；AP＝5：8， ∴， 设，， 则AE＝m+1，AF＝n+1， ∴， 解得n1＝1，n2＝3， n＝1时，， n＝3时，， ∴P1（1，3），P2（3，2）， ∴P点的坐标为（1，3）或（3，2）． （4）将C（0，2）向上平移2个单位得E（0，4）， ∵EC∥MN，EC＝MN， ∴四边形ECNM是平行四边形， ∴EM＝CN， ∴CM+CN＝CM+EM， 如图，作点C（0，2）关于对称轴的对称点G（3，2）， 则MC＝MG， ∴MC+ME＝MG+ME， 当E、M、G三点共线时，MG+ME的值最小，即CM+CN的最小值为EG的长， ∵EC＝2，CG＝3， ∴， ∴CM+CN的最小值为， 连接EG，C（0，2）与对称轴的交点即为M点， 设直线EG的表达式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，y＝3， ∴． 故答案为：；． 30．（2024•建华区二模）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）甲车的速度为 　80　千米/小时，乙车的速度为 　30　千米/小时，B、C两地间的距离为 　240　千米； （2）求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【解答】解：（1）∵甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， ∴乙车出发后2小时，甲车从A地出发驶向C地， ∴甲车的速度为千米/小时， ∴AB两地相距80×1＝80千米， ∵甲车比乙车早2小时到达C地， ∴乙车从B地到达C地共用时8小时， ∴乙车的速度为千米/小时，B、C两地间的距离为320﹣80＝240千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，D（0，80），G（8，320）， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y＝k1x+b1， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y＝30x+80； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y＝k2x+b2， 由题意知E（2，0），F（6，320）， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y＝80x﹣160， 令30x+80＝80x﹣160， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当0＜x＜1时，乙车出发1小时以内， 80x+30x＝50， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， 30x+80﹣（80x﹣160）＝50， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， 80x﹣160﹣（30x+80）＝50， 解得； ④当6＜x＜8时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， 320﹣（30x+80）＝50， 解得； 综上所述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/18 15:02:46；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$