四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题

巴中市普通高中2022级“零诊”考试 数学试题 (满分151分120分钟完表) 注意事项： 【,答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置 2.容选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答策标号涂黑：非选择随答题时必须 用0.5毫来黑色墨证签字笔，将答案书写在答随卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题 无效，在试题卷上答题无效 3考试结来后，考生将答题卡交回 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1已知复数：=品则上（) A.② 2 B.1 C.迈 D.2 2.设1、m、n为直线，且m、n在平面a内，则“1⊥a”是“11m且11n”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 3.已知集合P=y=yeN,O=-l≤r≤4，则PnQ= () A.L2.41 B.01.3 C.{x0≤x≤3D.xI-1≤x≤4 4.已知S,是等差数列a:的前n项和，若54=12.S=40,圳S2=() A.44 B.56 C.68 D.84 5.设函数f(x)= xx+4.x≥0 -x(x-4).x<0 若1e-3)>fa-),则实数a的取值范围是() A.(-0.-)U(2.+) B.(-,-2)U1,+o) C.(-%,-1)U(3.+m) D.(-m.-3)U(,+) 6.有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天.若每天从4人中任选 两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为() A B.子 C.} D.4 景学·第1质（共4页） 7.已知函数f)=x+1+3的图象与直线y=x-)+4有两个交点(.片).（红，片） x-I 则x+2+片+=（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 8已知斥片是椭圆C:二·后=1a>b>0的左有焦点d.B是椭圆C上的两点.若 =2B,且∠4F5=·则椭网C的离心率为（) A B.② 3 C.☒ D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0 分 9.设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 2 3 4 分 0.1 0.2 加 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则( A.m=0.4 B.E(X)=2.DX0=1.2 C.(Y)=3,DY)=3.4 D.ET)=5,DY)=4.8 10.已知函数f)=asinx+cosx的图象关于x=琴对称，下列结论中正确的是() A.f八x-名)是奇函数 B停6 C.若f)在-m,网上单调递增，则0<m≤哥 D.fx)的图象与直线y=2x+号有三个交点 1山.已知么，B为双曲线C:广-号=1的左，有顶点，斥.5分别为双曲线C的左。 右焦点.下列命题中正确的是() A.若R为双曲线C上一点，且IRF=4,则1RF=6 B.F到双曲线C的渐近线的距离为√2 C.若P为双线C上非顶点的任意一点，则直线PA、PB的斜率之积为2 D.双曲线C上存在不同两点M,N关于点QL,)对称 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2x-的展开式中x的系数是 13.已知正四棱台的高为2，上下底面的边长分别为22和42，其顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为 14.已知向量a.万满足a=2,2a+61+6上6.则a+的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列a,}的首项4=且满足a1=。+2 (1)证明：数列仁-！为等比数列： (2)若1+上+1++L<50,求满足条件的最大整数n. 4d43 16.(本小题满分15分) 在直三棱柱ABC-44G中，M=24B=2,∠ABC=90P,D在BB上，且BD=号 (1)证明：AC⊥AD): (2）当四棱锥A-BCCD的体积为三时，求平面ACD与平面ABC所成二面角 的正弦值. C下 B D 数学·第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知锐角△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a-c=2 ccos B. (1)证明：B=2C: (2)若a=2,求cosC+1的取值范围。 ,18.(本小题满分17分) 已知动圆Q经过点F1.0)且与直线x=-1相切，记圆心Q的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： (2设过点F且斜率为正的直线/交曲线C于A,B两点（点A在点B的上方）， 4B的中点为M. ①过M,B作直线x=-1的垂线，垂足分别为M1,B,i试证明：AM,∥FB: 2设线段AB的垂直平分线交x轴于点P.若△FPM的面积为4，求直线1的 方程. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=xlnx-a(x2-I). (1）若曲线y=f(x)在点(L,0)处的切线方程为x+y-1=0,求a的值： (2)当x>1时fx)<0恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明：∑n<2Wn-2(neN) 数学·第4页（共4页）】 巴中市高2022级零诊考试 数学参考答案与评分标准 一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 答案：1.C；2.A:3.B:4.D;5.A:6.B;7.C；8.B. 二.多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 答案：9.ABD; 10.AC; 11.BC. 三，填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 答案：12.-32； 13.80r; 14.[5.3. 四.解答题：本大题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分，第(1)问6分，第(2)问7分) 已知数列a,}的首项4=支，且满足a1=,3 0n+2 (1)证明：数列仁-为等比数列： (2)若上+⊥+1++上<50，求满足条件的最大整数m. 4024 解： ()由4=2且a-a+2 -30知a,>0且1-1+片 ………2分 an 3 a 3 变形得士1子位-》 …4分 由a=号0女-11 …5分 。数列合一是以1为首项。号为公比的等比数列 6分 (2)由D得-1=(，故=1+ 7分 1-( a =n+3-3 …8分 +d+++d<50等价于n+3-3°<50 即n-3)”<47 …9分 令fm)=n-3y,则f0n+)-fm=1-(号y”>0 .f()单调递增 10分 <=号<分故0<2”<1 f48)=48-3=47+1-29>47 又f47)=47-3(7<47 …12分 ∴.使f()<47成立的最大整数为47 数学答案与评分标准第1页（共7页) ·使上+1+L++L<50的最大整数为47. …13分 4a2a3 a 16.(本小题满分15分，第(1)问7分，第(2)问8分) 1B1 在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=1,A4=2,∠ABC=90°， D在BB上，且BD= (1)证明：AC⊥AD: (2)当四棱锥A-BCC,D的体积为三时，求平面ACD与平面 ABC所成二面角的正弦值. 解：(1)证明 连结AB,在矩形ABBA中，AM=2,AB=1BD=为 ∴.tan∠ADB=2=tan∠ABA,故∠ADB=∠ABA …2分 又∠ADB+∠BAD=90°，故∠ABA+∠BAD=90° ∴.AD⊥AB 3分 :AB⊥BC,BB⊥CB AB,BBC平面ABBA,AB∩BB=B .BC⊥平面ABB4 4分 又ADC平面ABBA,故BC⊥AD- …5分 :AD⊥AB,AD⊥BC,BC,ABC平面ADC,且BC∩AB,=B .AD⊥平面ABC …6分 又ACC平面ABC,故AC⊥AD-7分 B (2)由题意知，AB.BC,BB两两垂直 以B为原点，以向量BC,BA.BB分别为x,y,z轴 的正方向建立空间直角坐标系 设BC=a心0)，由AM=2AB=2,BD=号得： Ca,0.0.40,10,B(0.0.2)D0,0 4(0,1,2).C1(a0.2)- …8分 由题意可知AB⊥平面BCCB,平面ABC的一个法向量为m=(0.0,1)…9分 ·V4cD=号×CG+BD)×BC=是BC=子解得BC=3-10分 AD=(0,-1AG=6,-12)… 设平面ACD的一个法向量为i=(x,只，z) 由4D=0.得y+=0取=1得i=仁1.L2)-13分 wAC=03x-y+2z=0, .cos(m.u)=mu= 2 =/6 -14分 |mu√1+1+43 设平面ACD与平面ABC所成二面角的大小为O,则 sin o=1-cos?(m.=3 3 ·平面4CD与平面ABC所成二面角的正弦值为5 -15分 注：第(1)问也可用坐标法证明. 17.(本小题满分15分，第(1)问7分，第(2)问8分) 数学答案与评分标准第2页（共7页） 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-c=2 ccos B. (1)证明：B=2C: (2)若a=2,求cosC+1的取值范围。 b 解：(1)方法一 由a-c=2 ccos B与正弦定理得sinA-sinC=2 sin Ccos B 小分 又sinA=sinlπ-(B+C)】=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C …3分 .'sinC=sin BcosC-sin Ccos B=sin(B-C) …4分 由0<C,B<号得-受<B-C<号 …5分 .C=B-C,故B=2C… …7分 方法二 由a-c=2cc0sB及余弦定理得a-C=2c.2+c2-B,化简得2-c2=ac分 2ac 由上式及正弦定理得sin2B-sinC=sin AsinC- …2分 sin2B-sin2C=1-cos2B1-cos2C=cos2C-cos2B 3分 2 2 2 cos2C=cos[(B+C)-(B-C)]=cos(B+C)cos(B-C)+sin(B+C)sin(B-C) cos2B=cos[(B+C)+(B-C)]=cos(B+C)cos(B-C)-sin(B+C)sin(B-C) .sin2 B-sin2C=sin(B+C)sin(B-C) .'sin AsinC=sin(B+C)sin(B-C) …4分 由B+C=π-A,0<C,B,A<g知sin(B+CO=sinA>0,-<B-C<g…5分 ∴.sinC=sin(B-C) …6分 .C=B-C,故B=2C …7分 (2)方法一 由正弦定理及a=2得b=4B-2sinB,c=asinc-2sinC sin A sinA' sin A sinA .'cosC+1=sin AcosC+sin 4 …8分 b c 2sin B 2sin C 由(1)知B=2C,故sinB=2 sin CcosC …9分 cosC+1=sin A+sin A=3x sinA …10分 b c 4sinC 2sinC 4 sinC sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C=2sin Ccos2C+(1-2sin2 C)sin C----11 sin4=2c0s2C+1-2sin2C=1+2cos2C …12分 sinC 由0<C,BA<受，B=2C,A+B+C=π得若<C<平，故号<2C<受 -13分 ·0<cos2C<号故1<1+2c0s2C<2,即1<m<2 …14分 sin C C+×温e停多引.即%C+的取值范围为停多. -15分 b b 方法二 由a-c=2 ccos B及a=2得1-1+2c0sB-1+2cosB ① …8分 2 由正弦定理得sinB=sinC 9分 b 代入B=2C得n2C-C,化简得%C=名② b -2c 由①②得osC+1=2+2cosB …12分 由0<C,B,4<号，B=2C,A+B+C=x得号<B< *…13分 数学答案与评分标准第3页（共7页） ·0<cosB<故+cosBe(}》 -14分 如sC+上的取值范围为（保多· …15分 b 方法三 由(1)知sinB=2 sin CcosC …8分 由a=2及正弦定理得b=asin B=2sinB=4 sinCcosC …10分 sin A SinA sin A cosC=im4=g=↓，故cosC+1= 3 女…1分 b 4sinC 4c 2c b c 2c 如右图，∠4=∠ABC=90° 由B=2C,且a=2得AB=1AB=2 -12分 由于△ABC为锐角三角形且B=2C 故AB<c<A,B,即1<c<2 …13分 ·子是<号即gC+的取值范围为得多. …15分 b 18.(本小题满分17分，第(1)问5分，第(2①)5分，第(2②)7分) 己知动圆Q经过点FL,0)且与直线x=-1相切，记圆心Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)设过点F且斜率为正的直线1交曲线C于A,B两点（点A在点B的上方），AB的中点为 M, ①过M,B作直线x=-1的垂线，垂足分别为M,B,证明：AM,∥FB: ②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P,若△FPM的面积为4，求直线1的方程. 解：（1)设Qx,y),由Q到直线x=-1的距离为引x+1川1分 由动圆Q经过点F(L,0)且与直线x=-1相切得引QF日x+1… 3分 即Vx-)2+y2x+1 …4分 化简得y2=4x ∴.曲线C的方程为y2=4x …5分 (2)设直线I的方程为x=my+1,其中m>0,A(:,为)，B(x2,2),M(x,%) 由m+l消去x得y产-4m心-4=0，显然△=16m2+>0恒成立 1y2=4x h=h,业=2m,h=4…6分 2 ①方法一 由题意得M,(-12m),B(-1,2) M1A=(6+1片-2m,BF=(2,-)，片2=4x…7分 六205-2m+%6+)=2%-4m+%号+为=月+5-4m=09分 AM∥FB，故AM,∥FB-10分 ②由%=2m得x0=m%+1=2m2+1 设PU,0,由MPLAB得uknw=-小，故kpw=-m=2m+1 2m 一11分 解得1=2m2+3,故FP=2m2+2 …12分 △FPM的面积为|FP%=m(2m2+2)…13分 由△FPM的面积为4得m(2m2+2)=4,即m(m2+1)=2 -14分 设f(m)=m3+m-2,则f'(m)=3m2+1>0,f(m)在(0，+∞)上单调递增15分 又f①=0，故f(m)在(0，+o)内有唯一零点m=1 数学答案与评分标准第4页（共7页） 即方程m(m2+）=2有唯一解m=1 16分 ∴.直线1的方程为x-y-1=0.… …17分 由(1)知，曲线C是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线 ①方法二 设点A在准线上的射影为A,则AA曰AF,|BB BFI ……+6分 由M为AB的中点且MM,LM,B得IMM,卡4BAM1 7分 2 又BB⊥M,B,故MM1∥BB,(如右图)… …8分 ∴.等腰三角形△BBF∽△M,MA .∠BFB=∠MAM1 …9分 .AM∥FB …10分 方法三 设A(s2,2,B2,21)(t<0<),则 w=s+4,w=,BL20.M1s+0 …6分 2 由A,F,B共线得kB=k阳 小名高化简得似+-功0，故以=分 ·kw-25=+9=兰=+=1=- s2+132+12+275 8分 又a==1,故=w 9分 .AM1∥FB- …10分 19.(本小题满分17分，第(1)问4分，第(2)6分，第(3)7分) 己知函数f(x)=xlnx-a(x2-). (1)若曲线y=f(x)在点(L,0)处的切线方程为x+y-1=0,求实数a的值： (2)当x>1时f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明： k<2-2 (nEN). 解：(1)f'(x)=1+lnx-2am,故f①=1-2a… 叫分 :曲线y=f(x)在点L,0)处的切线方程为x+y-1=0 又直线x+y-1=0的斜率为-1 …2分 。(0)=1，故-1=1-20… 4…3分 ∴a=1 …4分 (2)由x>1时fx)<0即xlnx-a(x2-)<0(x>) 等价于a(x-1)-lnx>0(x>) …5分 令g)=ar-)-inxx>),则g)=al+)-1=二+a(>D x x2 方法一 令h(x)=a2-x+a(x>) 若a≤0，则当x>1时h(x)<0恒成立，此时g'(x)<0,g(x)是减函数6分 ∴.当x>1时，g(x)<g(=0,不合题意 7分 若a>0,△=1-4a2 当△>0，即1-4a2>0时，0<2a<1 数学答案与评分标准第5页（共7页） 由的=0且5=1知5=上4∈0，，5=1+241 …8分 2a 2a ∴当1<x<2时，h(x)<0,故g(x)<0,g(x)单调递减 此时g(x)<g(①)=0不合题意- …9分 当△≤0，即2a≥1时，h(x)≥0，g(x)≥0，g(x)单调递增 此时g(x)>g)=0 综上可知，a的取值范围是， +00)… …10分 方法二 :g0=0,且g)>0(G>) 、g0=2a-1≥0，解得a≥分 7分 下证当a≥}且x>1时，恒有fw)<0 由x>1可知，x-士>0 ÷当a≥号时，g=a(x-)-lhx≥r--lhx(x>0…8分 设)=x--nxc>,则-->0，故在L+四上单调递维 2r2 ∴.hx)>h)=0,故x>1时fx)<0恒成立 …9分 综上可知，a的取值范围是[，+0) …10分 方法三 由x>1知x2-1>0,fw)<0台a≥xx>) …6分 x2-1 令F)=hx(>),则F)=2-l=n-血xx>D x2-1 (x2-1)2 令G)=2-1-r产nx-hx,则G)=x-2xlnx-} 令H)=-2x血x-子，则当x>1时国-是-1小-2血<0,6单调遥减-分 ∴.G(x)=H(x)<H)=0,故G(x)在(L,+∞)上单调递减 .G(x)<G)=0,故F'(x)<0,F(x)在(L,+o)上单调递减…8分 由导数的定义知lim=lim-血l=(mxy儿-1=l xx-1xx-I 期本 …9分 ·a≥)，即a的取值范围是，+o) -10分 (3)方法一 由(2)知，当x>1时，恒有xnx<x2-) …11分 令x=5>0得ni<-0,等t价于n1<f-方>)一 …12分 六当≥2时，恒有<瓜-大片，变形利片方 一13分 又当≥2时，友2+后=26-可 …14分 ·.当k≥2时， 告2- -15分 数学答案与评分标准第6页（共7页）