第十三章 轴对称（B卷培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十三章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 4．（本题3分）如图，是的角平分线，交于E，若，则（    ）． A．8 B．11 C．10 D．9 5．（本题3分）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 6．（本题3分）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列命题中，是真命题的有（    ）个 ①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高；②角、线段是轴对称图形； ③成轴对称的两个图形一定全等；④全等的两个图形一定是轴对称的； ⑤角的对称轴是这个角的平分线；⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题3分）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 10．（本题3分）如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）若和点.关于轴对称，则 . 12．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠BGE＝110°，则∠BDF的度数为 13．（本题3分）如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是 ． 14．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为 ． 15．（本题3分）如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 16．（本题3分）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图所示，在中，，分别是和的平分线，两点在上，且，，求的周长． 18．（本题4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°,AD=AE，求∠CDE的度数． 19． （本题6分）已知在等腰中，，D是边上的一点，连接，若和都是等腰三角形，求的度数． 20．（本题6分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE． （1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？ （2）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明） 21．（本题8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在直线l对上找一个点P，使最短； (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 22．（本题10分）如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O. (1)求证:DC=BE； (2)求∠BOC的度数； (3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由. 23．（本题10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 24．（本题12分）在中，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 25．（本题12分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的图形重合． 根据轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2．（本题3分）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等即可求解． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， 则它的一个底角的度数为， 故选：B． 3．（本题3分）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 4．（本题3分）如图，是的角平分线，交于E，若，则（    ）． A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据是的角平分线，可得∠DCB=∠DCE，，由，可得∠DCB=∠EDC，可求CE=DE=3cm即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴∠DCB=∠DCE， ∵， ∴∠DCB=∠EDC， ∴∠EDC=∠DCE， ∴CE=DE=3cm， ∴AC=AE+CE=5+3=8cm． 故选择A． 【点睛】本题考查角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定与性质，线段的和差计算，掌握角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定与性质，线段的和差计算是解题关键． 5．（本题3分）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 6．（本题3分）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 7．（本题3分）下列命题中，是真命题的有（    ）个 ①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高；②角、线段是轴对称图形； ③成轴对称的两个图形一定全等；④全等的两个图形一定是轴对称的； ⑤角的对称轴是这个角的平分线；⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质逐一分析，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高所在的直线，①是假命题； ②角、线段是轴对称图形，是真命题； ③成轴对称的两个图形一定全等，是真命题； ④全等的两个图形一定是轴对称的，是假命题； ⑤角的对称轴是这个角的平分线所在的直线，⑤是假命题； ⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条，是真命题， 即是真命题的有②③⑥ 故选：B． 【点睛】本题考查真假命题，涉及轴对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（本题3分）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 9．（本题3分）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 10．（本题3分）如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由中线可知，进而可判断①的正误；由、分别是高、角平分线，可得，，当时，，由，可知此时无法求解，进而可判断②的正误；由题意知，，，由，可得，即是的平分线，由题意知，，进而可判断③的正误；如图，记的交点为，则，即，由是角平分线，可证是等腰三角形，则，，进而可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当点为线段的中点，，①正确，故符合要求； ∵、分别是高、角平分线， ∴，， 当时，， ∴，此时无法求解，②错误，故不符合要求； 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∴是的平分线， 由题意知，， ∴，③正确，故符合要求； 如图，记的交点为， ∵，，， ∴，即， ∵是角平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）若和点.关于轴对称，则 . 【答案】-1 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，列方程解答即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两点的坐标特点，即横坐标相等，纵坐标不等．解题的关键是掌握关于x轴对称的点坐标. 12．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠BGE＝110°，则∠BDF的度数为 【答案】70° 【详解】分析：根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质可得出∠B、∠C的度数，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出结论. 详解：∵AB＝AC，∴∠B=∠C, ∵EG∥AB, ∴∠B+∠BGE=180°, ∠B=∠CGE,∵∠B+∠C+∠A=180°, ∴∠BGE=∠C+∠A=110°, ∴∠B=∠C=∠CGE =70°, ∴∠A=40°, ∠CEG=40°, ∵EG平分∠CED, ∴∠CED=∠DEG, ∵EG∥AB, ∴∠DEG=∠EDA=40°, ∴∠BDE=180°-40°=140°, ∵DF平分∠BDE, ∴∠BDF=∠BDE=70°.故答案为70°. 点睛：本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的性质，解答本题的关键是利用等腰三角形及三角形外角的性质求出∠B=∠C=40°. 13．（本题3分）如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是 ． 【答案】130°． 【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解． 【详解】∵△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣， ∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO， ∴20°+60°＝∠COB+60°﹣， ∴∠BOC＝40°， ∵OC＝OA＝OB， ∴∠OBC＝70°， ∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°， 故答案为：130°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质. 14．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ABD的面积的，依此即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12， ∴S△ABD＝6， ∵点E、F是AD的三等分点， ∴S△BEF＝S△ABD＝2． 故答案为2. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质求出△ABD的面积是正确解答本题的关键． 15．（本题3分）如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论． 【详解】解：连接AQ，过点D作于H． ∵面积为18，BC=6， ∴， ∴， ∵MN垂直平分线段AB， ∴， ∴， ∴当AQ的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小， ∵， ∴AQ=DH=6， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键． 16．（本题3分）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识， 过点O作，，，，，根据角平分线的性质定理得到，然后证明出，得到，，然后求出，然后根据对称的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点O作，，，， ∵点O为和的角平分线交点， ∴ ∵点B关于直线l的对称点为， ∴平分，平分 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∵点B关于直线l的对称点为， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图所示，在中，，分别是和的平分线，两点在上，且，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，由是的平分线，得到，由得到，进而得到，即，同理得到，即可得到的周长，解题的关键是将的周长转化为边的长． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴的周长为． 18．（本题4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°,AD=AE，求∠CDE的度数． 【答案】20° 【详解】试题分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到AD同时还是顶角的角平分线和底边的高线，从而可求得∠CAD与∠ADC的度数，再根据AD=AE，利用三角形内角和定理可求得∠ADE的度数，从而不难求解． 试题解析：解：∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90° 又∵AD="AE" ∴∠ADE==70° ∴∠CDE=90°—70°=20° 考点：等腰三角形的性质，三角形内角和 19．（本题6分）已知在等腰中，，D是边上的一点，连接，若和都是等腰三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】设，分；，；，三种情况，利用等腰三角形的性质、外角性质及三角形内角和列方程求出的值即可得答案． 【详解】①如图所示，当时符合题意， 设， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即． ②如图所示，当，时符合题意． 设， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：，即． ③当，时符合题意， 同②可得： 综上所述，或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理及及一元一次方程，分情况讨论，正确画出图形，得到各种情况里所求的角的关系是解题关键． 20．（本题6分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE． （1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？ （2）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明） 【答案】（1）15°（2） 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可； （2）根据（1）的结论猜出即可． 【详解】(1)∵ ∴ ∴ ∵ ∵AD=AE， ∴ ∴ 答：∠EDC的度数是15°. (2)∠EDC与∠BAD的数量关系是. 【点睛】考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，比较基础，难度不大. 21．（本题8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在直线l对上找一个点P，使最短； (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解： （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）利用成轴对称的性质求解即可． （3）根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：如图，是关于直线l的对称图形． （2）解：如图，点P就是求作的点； ，此时最小． （3）解：由图可知，四边形是等腰梯形，，，高， ∴． 22．（本题10分）如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O. (1)求证:DC=BE； (2)求∠BOC的度数； (3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)∠BOC=120°；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.∠BOC=120°. 【分析】（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE； （2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题； （3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关． 【详解】（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）； ∴DC=BE （2）解：∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC=∠ABE， ∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°， ∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°， （3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD， ∴∠BOC和∠BAC大小无关． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△DAC≌△BAE是解题的关键． 23．（本题10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 24．（本题12分）在中，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和得：，由角平分线及已知角可得，即可证明为等腰三角形； （2）由（1）证的条件还有已知条件可以证明即可得到，，即可得结论； （3）通过已知条件，推出线段关系，即，，然后即可得以证明． 【详解】（1）证明：在中，， ． 平分， ， ， 即， 为等腰三角形 （2）证明：由（1）得：为等腰三角形， ， ． 平分， ， 又， ， ， ． ， ， （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由是： 如图3，在上截取，连接， ， ， ． 平分， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定方法和等腰三角形的定义及性质，解题关键是掌握等腰三角形的定义和性质运用，根据“等边对等角”计算角度． 25．（本题12分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析. 【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α． 【详解】解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α． （3）∠AFB=180°﹣α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中  ， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$