专题01 集合的概念与表示（六大基础题型+优选提升，48题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题01 集合的概念与表示（六大题型，48题） 集合的概念 1．（23-24高一上·江苏镇江·期中）集合论创始人为（    ） A．祖冲之 B．康托尔 C．沈括 D．高斯 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 4．（22-23高一上·江苏南通·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数 C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 元素与集合 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏盐城·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏苏州·期中）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个类 11．（22-23高一上·江苏泰州·期中）（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知集合，则下列说法中正确的是（    ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 13．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 14．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是 . 15．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知集合，且，则m的值为 判断元素与集合的关系 16．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）已知集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·江苏常州·期中）（多选）设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有 18．（22-23高一上·江苏常州·期中）（多选）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类集”，其中，记为，即，以下判断不正确的是（    ） A． B． C．若，则整数一定不属于同一类集 D．若，则整数一定属于同一类集 19．（22-23高一上·江苏常州·期中）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 根据元素与集合的关系求参数 21．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一上·江苏连云港·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 24．（22-23高一上·江苏南通·期中）（多选）设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则 25．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 利用集合元素的互异性求参数 26．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 27．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若集合，则 ． 30．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 集合的表示方法 31．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知集合中元素的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ） A．0 B．1 C． D． 34．（23-24高一上·江苏连云港·期中）方程组的解的集合是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高一上·江苏淮安·期中）下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合  ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 36．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 37．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 38．（23-24高一上·江苏南京·期中）集合，用列举法表示集合 . 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数，定义，若，则实数a的所有可能取值构成集合P，则______．（请用列举法表示） 40．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 一、单选题 41．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 43．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 44．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 三、填空题 45．（23-24高一上·江苏南通·期中）设集合，若，则的值的集合为 . 四、解答题 46．（23-24高一上·江苏苏州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 47．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 48．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知集合，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为. (1)直接写出中元素的个数，并证明：任意，有； (2)证明：任意，有是偶数； (3)证明：，有. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念与表示（六大题型，48题） 集合的概念 1．（23-24高一上·江苏镇江·期中）集合论创始人为（    ） A．祖冲之 B．康托尔 C．沈括 D．高斯 【答案】B 【分析】根据数学史知康托尔是现代集合论的创始人． 【详解】现代集合论的创始人是德国数学家康托尔，集合论是德国著名数学家康托于19世纪末创立的．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素． 故选：B． 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【分析】根据集合的性质的判断即可. 【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 4．（22-23高一上·江苏南通·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数 C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合中元素的性质即得． 【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合； 小于的正整数分别为，所以能够组成集合； 2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合； 任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合. 故选：C. 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合中的元素分别为值域中的实数以及抛物线上的点，结合元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】∵集合， ∵集合B是由抛物线上的点组成的集合，∴A正确，B正确，C错误，D错误， 故选：AB． 元素与集合 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 7．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系的判断， 【详解】对于A，令，得，则，故A错误， 对于B，令，得，则，故B错误， 对于C，令，得，则，故C错误， 对于D，令，得，则，故D正确， 故选：D 8．（22-23高一上·江苏盐城·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合的关系列出不等式，解之即可求解. 【详解】因为集合，， 所以，即 故选：A. 9．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 10．（22-23高一上·江苏苏州·期中）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个类 【答案】CD 【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答. 【详解】，， ，即，而，因此，A不正确； ，即，而，因此，B不正确； 因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，C正确； ，不妨令， 则，因，于是得，即，因此整数，属于同一个类，D正确. 故选：CD 11．（22-23高一上·江苏泰州·期中）（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断． 【详解】由题意，设，，下面的均为整数， 则，， ，不是偶数时，， ， 故选：AB． 12．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知集合，则下列说法中正确的是（    ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 【答案】BC 【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误. 【详解】，故，，所以，A错误； ，其中，，故，B正确； ，其中，，故，C正确； 因为，若，此时无意义，故，D错误. 故选：BC 13．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 14．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是 . 【答案】 【分析】由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得． 【详解】，易知集合中任意两个元素的和最小值是1+2=3，最大值是，且对任意，，都存在，使得， 所以，由得． 故答案为：1013. 15．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知集合，且，则m的值为 【答案】 【分析】分两种情况或讨论即得解. 【详解】当，满足题意； 当，满足题意. 故答案为： 判断元素与集合的关系 16．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）已知集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别判断等于选项中各值时是否满足即可. 【详解】对A，当时，，所以，所以A错误； 对B，令，得，所以，所以B正确； 对C，因为，所以，则，所以C正确； 对D，令，得，所以，所以D正确． 故选：BCD 17．（22-23高一上·江苏常州·期中）（多选）设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有 【答案】BD 【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解 【详解】对于A，在集合中， 不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合， 设x，，则，，，， ，，， 集合为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确． 故选：BD 18．（22-23高一上·江苏常州·期中）（多选）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类集”，其中，记为，即，以下判断不正确的是（    ） A． B． C．若，则整数一定不属于同一类集 D．若，则整数一定属于同一类集 【答案】ABC 【分析】由“类集”的定义对选项逐一判断即可得出答案． 【详解】对于A，，，故A不正确； 对于B，，，故B不正确； 对于C，若，则整数可能属于同一类集，比如，，则，故C不正确； 对于D，若，则被6除所得余数为0，则整数被6除所得余数相同，故整数属于同一类集，故D正确， 故选：ABC． 19．（22-23高一上·江苏常州·期中）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】15 【分析】由已知，根据给出的定义可知，，，，，然后使用列举法罗列出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则； 时，则； 时，则； 时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么；或；， ；；；；；， ；；；；， 共有15个， 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 根据元素与集合的关系求参数 21．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由元素的确定性，得或，分类讨论，验证元素的互异性． 【详解】，，， 当即时，，成立； 当时，，或， 若，，成立，若，，成立． 综上，，0，， 故选：． 22．（22-23高一上·江苏连云港·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可． 【详解】∵集合，， ∴，即， 故选：C 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 24．（22-23高一上·江苏南通·期中）（多选）设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据各选项对应m、l参数值，讨论另一个参数可能取值情况，根据非空集合的定义求出它们的范围. 【详解】当时，此时， 若，显然，满足； 若，则，而，不满足； 综上，有，A正确； 当时，此时， 若，则，此时，满足； 若，则，而，不满足； 综上，时有，B正确； 当时，此时， 此时，需保证，则， 综上，，C正确； 当时，此时或， 若，需保证，则； 若有，满足； 综上，，D错误. 故选：ABC 25．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 利用集合元素的互异性求参数 26．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，且，或 ⑴、当即或， ①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； ②、当时，，，此时，符合题意； ⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 综上所述：实数的值为1. 故选：B 27．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意由或，解得，然后检验元素的互异性即可. 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若集合，则 ． 【答案】 【分析】根据元素的互异性原则即可求解. 【详解】解：由题意得： 集合 显然，， 故答案为： 30．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 集合的表示方法 31．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知集合中元素的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，由列举法即可得到结果. 【详解】因为集合，当时，，当时，， 当时，，则集合为，所以集合中的元素个数为5. 故选：A 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得出是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反.进而逐项分析，即可得出答案. 【详解】根据已知易得，是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反. 对于A项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故A项错误； 对于B项，由已知可推得，一定是6的倍数，而，故B项错误； 对于C项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故C项错误； 对于D项，设，，， 则. 令，可得（舍去负值），故D项正确. 故选：D. 33．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据，，代入元素依次计算得到答案. 【详解】集合A满足，，，故，，， ，故， 则集合A所有元素之和为： 故选：C 34．（23-24高一上·江苏连云港·期中）方程组的解的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程组的解，确定选项． 【详解】， 得：， ， 把代入（1）得，， 所以方程组的解为． 故选：D． 35．（22-23高一上·江苏淮安·期中）下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合  ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 【答案】D 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，为空集，是0为元素的单元素集合，故①错误； 对于②，方程的所有解的集合可表示为，故②错误； 对于③，由1，2，3组成的集合可表示为或，故③正确； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误； 所以命题正确的只有③. 故选：D. 36．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 37．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 38．（23-24高一上·江苏南京·期中）集合，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据集合元素的性质即可求得答案. 【详解】由，可得，， 由，可得，则，则， 故答案为： 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数，定义，若，则实数a的所有可能取值构成集合P，则______．（请用列举法表示） 【答案】 【分析】由集合的新定义结合题意求出的值，再用列举法表示即可 【详解】∵，， ∴或， 当时，或. 当时，有3个解， 所以只有一个解不为1和， 则，解得， 当时，，则此时，不符合题意； 当时，，则此时，符合题意； 所以，， 故. 故答案为：． 40．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据集合表示的含义及自然数集即可求解. 【详解】由且，得， 所以. 故答案为：. 一、单选题 41．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 43．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以，又均为正数， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 二、多选题 44．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得. 【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误； 选项B：由知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由所确定的实数集合为，故B正确； 选项C：， ，当时，；当时，；当时，， 故集合可以化简为，故C正确； 选项D：， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 故中含有4个元素，故D错误， 故选：BC 三、填空题 45．（23-24高一上·江苏南通·期中）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 四、解答题 46．（23-24高一上·江苏苏州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用数域的定义直接判断即可. （2）利用关于乘法运算封闭的定义推理即得. （3）利用数域的定义，逐一验证各个条件被满足即可. 【详解】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 47．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论； （2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论. 【详解】（1）由，由②知：， 由③知：； （2）先证：若，则， 由②知：若，且，又，则； 由③知：，则， 所以， 综上，， 再证：若则， 由，则， 所以， ，由③知：， ， . 48．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知集合，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为. (1)直接写出中元素的个数，并证明：任意，有； (2)证明：任意，有是偶数； (3)证明：，有. 【答案】(1)中元素的个数为；证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知中元素的个数为，结合定义可得，即可证明结论； （2）分类讨论可知为偶数，结合定义分析证明即可； （3）根据题意分析可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为，可知均为2个值可取， 所以中元素的个数为， 对于任意， 可知， 则的结果如下表所示：            0 1 0 0 1 1 1 0 可得，所以. （2）设，， 对任意，均有，则， 若均为0或均为1，则， 所以为偶数； 若中有1个0，2个1，不妨设， 则，所以为偶数； 若中有2个0，1个1，不妨设， 则，所以为偶数； 综上所述：为偶数， 所以 为偶数. （3）设 由（1）可知：， 由题意知：， 当时，； 但，可得， 即； 当时，， 但，可得， 即； 综上所述：， 由的任意性可得：， 所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$