第二十一章 整式的乘法与因式分解（单元测试·基础卷）数学人教版五四制八年级上册

第21章 整式的乘法与因式分解 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是（　　） A． B． C． D． 3．要使成立，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 5．一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4＋20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（    ） A．2y3﹣3xy2＋4 B．3y3﹣2xy2＋4 C．3y3＋2xy2＋4 D．2xy2﹣3y3＋4 6．若，则代数式（    ） A．－12xy B．12xy C．24xy D．－24xy 7．若是完全平方式，则m的值等于（    ） A．3 B．7或－1 C．7 D．－5 8．多项式提公因式后，另一个因式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 10．对于正整数，若（p-q>0，且，为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定 （如的分解有，，），其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是　　 A．1 B． C． D． 二、填空题 11．计算： __________． 12．利用乘法公式计算：___． 13．计算______． 14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：÷（y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式 _____． 15．若，，则的值为___________． 16．若中不含的一次项，则的值为______. 17．若，则_________． 18．如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙． （1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______； （2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）． 三、解答题 19．因式分解 (1) (2) (3) 20．计算： （1）； （2）. 21．计算     （1）3m2•（2m2n）2÷6m5；     （2）a（3a﹣1）＋（1﹣a）（3a＋2）；     （3）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）；     （4）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]． 22．已知，求与的值． 23．在学习中小明发现：当时，的值都是负数，于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数． （1）小明的猜想正确吗？说明你的理由． （2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，不是负数？ 24．阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ (1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________； (2)已知有一个因式，则m的值为________________； (3)已知多项式有一个因式，求k的值． 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 26．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题： 图1                    图2 (1)如图1，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为____________________________； (2)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． (3)若图1中每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，请直接写出图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 整式的乘法与因式分解 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算即可解答． 【解析】解：A、与不能合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 2．四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式与多项式相乘的法则求解即可． 【解析】解：， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确的计算． 3．要使成立，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据整式的乘法展开，根据对应系数相等得到a，b的关系式，即可求解． 【解析】∵ ∴a+3=5，-2b=4 ∴， 故选C． 【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 4．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【解析】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意； B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意； C.符合因式分解的定义，故C符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键． 5．一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4＋20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（    ） A．2y3﹣3xy2＋4 B．3y3﹣2xy2＋4 C．3y3＋2xy2＋4 D．2xy2﹣3y3＋4 【答案】B 【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可． 【解析】解：（15x3y5-10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2） =15x3y5÷（5x3y2）-10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2） =3y3-2xy2+4． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的除法，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和整式的除法法则． 6．若，则代数式（    ） A．－12xy B．12xy C．24xy D．－24xy 【答案】D 【分析】根据题意可得：，再利用平方差公式计算，即可求解． 【解析】解：∵， ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 7．若是完全平方式，则m的值等于（    ） A．3 B．7或－1 C．7 D．－5 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特征解答即可． 【解析】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴解得：m=7或-1，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要查了完全平方公式的应用，完全平方公式的特征为：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 8．多项式提公因式后，另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各项都有因式y（a-b），根据因式分解法则提公因式解答． 【解析】 = =， 故提公因式后，另一个因式为：， 故选：B． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 9．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】左图中阴影部分的面积＝a2−b2，右图中矩形面积＝（a＋b）（a−b），根据二者面积相等，即可解答． 【解析】解：由题意可得：a2−b2＝（a−b）（a＋b）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，属于基础题型． 10．对于正整数，若（p-q>0，且，为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定 （如的分解有，，），其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是　　 A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断出是的最佳分解，再根据新定义逐项判断即可． 【解析】解：，， ∵n为正整数， ∴n≥1， ∴， ∴是的最佳分解， A、当时，n=n+3，错误，故符合题意； B、当时，3n=2n+6，∴n=6，可能出现，故不合题意； C、当时，2n=n+3，∴n=3，可能出现，故不合题意； D、当时，4n=n+3，∴n=1，可能出现，故不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是根据最佳分解列出方程确定方程有无解． 二、填空题 11．计算： __________． 【答案】 【分析】用单项式分别乘法括号内的每一项即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则，注意符号不要出错． 12．利用乘法公式计算：___． 【答案】1． 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解析】解：原式， 故答案为：1 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 13．计算______． 【答案】-0.25 【分析】根据积的同底数幂乘法逆运算及积的乘方逆运算解答． 【解析】解： ＝ ＝ ＝0.25×(-1) =-0.25 故答案为：-0.25． 【点睛】此题考查了乘法公式：同底数幂乘法和积的乘方计算法则，熟记计算法则及逆运算是解题的关键． 14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：÷（y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式 _____． 【答案】3xy−y2＋y 【分析】根据题意可得捂住的部分为（−6x＋2y−1）•（y），利用整式的乘法的法则进行运算即可． 【解析】解：（−6x＋2y−1）•（y） ＝−6x•（−y）＋2y•（y）−1•（y） ＝3xy−y2＋y． 故答案为：3xy−y2＋y． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 15．若，，则的值为___________． 【答案】0.5 【分析】先把8n化成23n，再利用同底数幂的乘法公式进行化简，得出m、n的关系；再把4n化成22n，利用同底数幂的除法进行化简，得出m、n的关系，解关于m、n的二元一次方程组，得出m、n的值，即可求出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴m+3n=5①， 又， ∴， ∴m－2n=﹣4②， 联立①②得： ， 用①－②得：5n=9， ∴n=， 把n=代入①可解得m=， ∴ ， 把m、n的值代入得： +×=0.5． 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与同底数幂的除法综合运算，最后通过代数式求值求出答案，解题关键在于熟练掌握运用同底数幂的乘法与同底数幂的除法公式． 16．若中不含的一次项，则的值为______. 【答案】-7 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，进而得出答案． 【解析】=， ∵的乘积中不含x的一次项， ∴7+m=0， ∴m=-7， 故答案为：-7． 【点睛】此题考查多项式乘以多项式，正确去括号计算是解题关键． 17．若，则_________． 【答案】35 【分析】把多项式分解因式即可解决． 【解析】 故答案为：35． 【点睛】本题考查了多项式因式分解，涉及整体思想． 18．如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙． （1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______； （2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）． 【答案】     4     m＋n##n+m 【分析】（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案； （2）先求出图乙中阴影部分的面积，可得，2ab=n，利用=求解即可． 【解析】解：（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为， 当a＝5，b＝3时，=． 故答案为：4； （2）∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为（a+b）的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面积，即， ∴2ab=n， 由（1）知，=m， ∴= = m＋n， 即正方形A，B的面积之和为m＋n， 故答案为：m＋n． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键． 三、解答题 19．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用提公因式法求解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式与公式法是解题关键． 20．计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再合并同类项，即可. （2）先提取公因式，分解因式，再进行整式的加减和乘法运算，即可. 【解析】（1）原式 . （2）原式 . 【点睛】本题主要考查积的乘方公式和幂的乘方公式，以及整式的加减法和乘法法则，灵活运用公式和法则，是解题的关键. 21．计算     （1）3m2•（2m2n）2÷6m5；     （2）a（3a﹣1）＋（1﹣a）（3a＋2）；     （3）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）；     （4）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]． 【答案】（1）2mn2；（2）2；（3）3a2b﹣ab2；（4）mn 【分析】（1）先计算乘方，再从左往右计算，即可求解； （2）先算乘法，再合并同类项，即可求解； （3）先去括号，再合并同类项，即可求解； （4）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【解析】（1）解：3m2•（2m2n）2÷6m5 ＝3m2•4m4n2÷6m5 ＝12m6n2÷6m5 ＝2mn2； （2）解：a（3a﹣1）+（1﹣a）（3a+2） ＝3a2﹣a+3a+2﹣3a2﹣2a ＝2； （3）解：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b） ＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b，   ＝3a2b﹣ab2； （4）解：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn] ＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn，   ＝mn． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 22．已知，求与的值． 【答案】11，119 【分析】将已知的等式左右两边分别平方，再展开求得． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴．   ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，关键是把所求代数式整理为与所给等式相关的形式或与得到结果相关的形式． 23．在学习中小明发现：当时，的值都是负数，于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数． （1）小明的猜想正确吗？说明你的理由． （2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，不是负数？ 【答案】（1）小明的猜想不正确，理由见解析；（2）当n取大于或等于6的正整数时，不是负数． 【分析】（1）举反例即可判断； （2）先将原式提公因式n，然后根据n为任意正整数以及乘法法则即可求得答案． 【解析】解：（1）小明的猜想不正确，理由是：当时，，不是负数． （2）因为为正整数． 所以，当，即时，，不是负数． 因此，当n取大于或等于6的正整数时，不是负数． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的应用，熟练掌握因式分解的方法以及乘法法则是解决本题的关键． 24．阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ (1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________； (2)已知有一个因式，则m的值为________________； (3)已知多项式有一个因式，求k的值． 【答案】(1)-17 (2)-2 (3)4 【分析】（1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为(x+c)，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【解析】（1）解：设另一个因式为(x+a)，则 ，即 （对任意实数x成立） 由此得， ∴a=-17， 故答案为：-17； （2）设另一个因式为(x+b)，则 ，即 （对任意实数x成立） 由此得， 解得：， 故答案为：-2； （3）设另一个因式为(x+c)，则 ，即 （对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为4． 【点睛】题目主要考查因式分解的利用，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①3，② 【分析】（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可，②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【解析】（1）解：根据图形得：，上述操作能验证的等式是B， 故答案为B． （2）解：①∵ ∴， ② 【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． 26．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题： 图1                    图2 (1)如图1，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为____________________________； (2)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． (3)若图1中每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，请直接写出图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 【答案】(1) (2)8 (3)36 【分析】（1）根据图象分别用两种方法表示出大长方形的面积即可求解； （2）根据题意用正方形的面积加上正方形的面积减去和面积求解即可； （3）由题意可得，，进而得到，然后表示出所有裁剪线（虚线部分）的长度之和，进而求解即可． 【解析】（1）大长方形的面积可以表示为， 大长方形的面积还可以表示为， ∴ 故答案为：； （2） ∵，， ∴原式； （3）∵每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴裁剪线长为 ∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为36 cm 【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$