第二十一章 整式的乘法与因式分解（12个知识点+22类题型突破）（复习讲义）数学人教版五四制八年级上册

第二十一章 整式的乘法与因式分解 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2．同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方与积的乘方 1．幂的乘方 （1）幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) （2）幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 2. 积的乘方 （1）积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点03 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 2．零指数幂和负指数幂：零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点04 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点05 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点06 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点07 乘法公式 1．平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2．完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点08 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点09 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点10 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点11 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点12 公式法因式分解 1．公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 2．公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 03 题型归纳 题型一　同底数幂的运算与逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 巩固训练 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）计算：已知，，求的值； 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 题型二　幂的乘方运算及逆运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 题型三　积的乘方运算及逆运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 题型四　同底数幂的除法及逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 题型五　幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 题型六　已知代数式的值，利用同底数幂的运算求式子的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 题型七　零指数幂、负整数指数幂 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 4．计算：． 5．计算：． 题型八　判断整式乘法是否正确 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九　判断是否可用平方差或完全平方公式运算 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十　整式乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 题型十一　整式乘法混合运算——化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 巩固训练 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型十二　(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 题型十三　单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 题型十四　通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 题型十五　用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 题型十六　判断是否是因式分解 例题：（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型十七　已知因式分解的结果求参数 例题：（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 巩固训练 1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式有一个因式是，则的值为 . 2．多项式可以因式分解为，则系数 ． 题型十八　已知因式分解中错题正解 例题：甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ． 巩固训练 1．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 题型十九　公因式 例题：多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式中，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 题型二十　判断能否用平方差或完全平方公式因式分解 例题1：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 例题2：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 4．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）    （2）    （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十一　综合提公因式和公式法因式分解 例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解： (1) (2) (3) 巩固训练 1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 题型二十二　运用因式分解求多项式的值 例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 巩固训练 1．长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）先分解因式，再求值．其中，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 整式的乘法与因式分解 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2．同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方与积的乘方 1．幂的乘方 （1）幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) （2）幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 2. 积的乘方 （1）积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点03 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 2．零指数幂和负指数幂：零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点04 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点05 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点06 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点07 乘法公式 1．平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2．完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点08 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点09 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点10 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点11 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点12 公式法因式分解 1．公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 2．公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 03 题型归纳 题型一　同底数幂的运算与逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 巩固训练 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)256 (4) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． （1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）计算：已知，，求的值； 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法；根据逆用同底数幂的乘法的运算法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 题型二　幂的乘方运算及逆运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 题型三　积的乘方运算及逆运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果； （2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 题型四　同底数幂的除法及逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可； （4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对整理为，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （2） ∴ ∴ ∴． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 题型五　幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】零指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【知识点】幂的混合运算 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型六　已知代数式的值，利用同底数幂的运算求式子的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）21；（3）1 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将依次化成，，求出、的值，代入计算即可得出答案； （2）将式子前部分进行整理成后半部分的形式，再得出等式进行计算即可得出答案； （3）先将等式进行运算得出的值，再利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，， 解得，， 所以或． （2）由题意，得， 整理得， 所以，即， 所以． （3）由题意，得， 所以， 解得， 所以． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，进而可得，求解即可； （2）将原式整理为，进而可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 则，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型七　零指数幂、负整数指数幂 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： 5．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，然后计算加减即可求解． 【详解】解： ． 题型八　判断整式乘法是否正确 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】整式乘法混合运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：，正确； ，正确； ，错误； ，错误； 故选B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据多项式的乘法法则对各选项进行逐一检验即可． 【详解】A、，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项正确； 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 题型九　判断是否可用平方差或完全平方公式运算 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式，熟记乘法公式是解答的关键．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式、平方差公式，逐一进行计算即可得． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则，根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型十　整式乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】（1） ； （2） ． 题型十一　整式乘法混合运算——化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型十二　(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 巩固训练 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 题型十三　单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 【答案】平方米 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】该题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．根据题意列式化简即可． 【详解】解：根据题意，可得停放自行车的面积 平方米． 故停放自行车的面积为平方米． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：当时，， ∴当时，绿化的总面积为． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米； (2)篮球场的面积为420平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据“安装健身器材的区域面积长方形场地面积篮球场面积”列式计算，即可解题； （2）根据长方形面积列出代数式，再将，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为： 平方米； （2）解：由题知，篮球场的面积为：， 当，时， 篮球场的面积为：（平方米）， 答：篮球场的面积为420平方米． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 题型十四　通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 题型十五　用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十六　判断是否是因式分解 例题：（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解； B. ，结果不是积的形式，不是因式分解； C. ，是因式分解；     D. ，是整式的乘法，不是因式分解； 故选C． 巩固训练 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查因式分解：将一个多项式写成几个整式乘积的形式，叫因式分解，熟练掌握因式分解的定义及分解方法是解题的关键． 【详解】解：A. 不是因式分解，故不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. 不是因式分解，故不符合题意； D. 是因式分解，符合题意； 故选：D． 题型十七　已知因式分解的结果求参数 例题：（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键． 根据整式合并后对应项的系数相等即可解答． 【详解】解：∵关于x的多项式可以分解为， ∴， ∴． 故答案为：1． 巩固训练 1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式有一个因式是，则的值为 . 【答案】 【分析】设另一个因式为，得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则 ∴， 解得， ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：． 2．多项式可以因式分解为，则系数 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则将展开，即可得到k的值． 【详解】解：， ∵多项式可以因式分解为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和整式乘法，利用多项式乘多项式法则将正确展开是解题关键． 题型十八　已知因式分解中错题正解 例题：甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲看错了，分解结果为， ∴由，可知 ， 又∵乙看错了，分解结果为， ∴由，可知， ∴， ∵， ∴正确的分解结果为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值． 巩固训练 1．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 题型十九　公因式 例题：多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式，找出多项式中各项的系数的最大公约数，以及相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】解：系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴公因式为． 故选：C． 巩固训练 1．下列各式中，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据公因式的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、，与有公因式，故本选项不符合题意； B、与没有公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键． 2．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 题型二十　判断能否用平方差或完全平方公式因式分解 例题1：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解题关键． 【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式， 故选：B 例题2：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 巩固训练 1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为，本题利用平方差公式判断即可． 【详解】A、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意； B、不可以用平方差公式分解因式，故符合题意； C、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意； D、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意． 故选：B． 2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案． 【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解， ②，能用平方差公式进行因式分解， ③，能用平方差公式进行因式分解， ④不能用平方差公式进行因式分解， 故选：D． 3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键． 【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解， ∴由得， 故选：D 4．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）    （2）    （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 题型二十一　综合提公因式和公式法因式分解 例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）采用提公因式法求解； （2）先提公因式，再采用公式法求解； （3）先提公因式，再采用公式法求解． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 巩固训练 1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2） 2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解， （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十二　运用因式分解求多项式的值 例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ． 【答案】 【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12， ∴，， 整理得：，， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式的变形应用，熟练掌握因式分解的方法、正确变形是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查提公因式计算，已知式子的值求代数式的值．根据题意将式子提公因式得，继而代入题干已知即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【答案】25 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）先分解因式，再求值．其中，． 【答案】， 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先因式分解，然后将式子的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $