专题05 整式运算中含参数及新定义型问题（7大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级上册

专题05 整式运算中含参数及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 2 题型三、完全平方式中的字母参数问题 3 题型四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 6 题型六、整式的运算中的新定义型问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 2．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 6．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 题型三、完全平方式中的字母参数问题 7．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若负有理数使得是一个完全平方式，则 8．（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 9．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式： ． 题型四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 10．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）若关于的多项式与相乘的结果中不含的一次项，则的值是 ． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 15．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 题型六、整式的运算中的新定义型问题 16．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知多项式是完全平方式，则k的值为（       ） A．3 B．9 C．9或 D．9或3 4．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）若，则 ． 6．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如果计算的结果不含项，那么的值为 ． 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的代数式中不含x项与项． (1)求m、n的值； (2)求代数式的值． 10．（24-25七年级下·广东茂名·期中）若的计算结果中不含与x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式的值． 11．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 12．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 13．（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式运算中含参数及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 2 题型三、完全平方式中的字母参数问题 3 题型四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 6 题型六、整式的运算中的新定义型问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 2．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、利用单项式乘多项式求字母的值 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 题型三、完全平方式中的字母参数问题 7．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若负有理数使得是一个完全平方式，则 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∵为负有理数， ∴， 故答案为：． 8．（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 9．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式： ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方公式的表现形式即可求得答案． 【详解】解：将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式， 如果添加形式如，那么加上的整式可以是； 如果添加形式如，那么加上的整式可以是， 故答案为：或． 题型四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 10．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）若关于的多项式与相乘的结果中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】0.5 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据题意，计算后得到关于a的方程，解得a的值即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案为：0.5． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，根据整式的乘法进行运算，合并后，使x的二次项系数等于0即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式 展开后不含x的二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ． 由积中不含和项，得， 解得． 则原式． （2）， ， ∴原式 ． 题型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)； (2)， ； (3)小方同学的发现正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查代数式的表达，长方形与正方形的周长和面积，代数式得到化简与比较，解题的关键是根据题意正确列出代数式． （1）求出长方形的周长，即为正方形的周长，用正方形的周长公式即可求解； （2）把甲的两边长代入长方形的面积公式，化简整理即可得，把乙的边长代入正方形的面积公式，化简整理即可得； （3）用和作差，化简整理，看结果是否含有即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴长方形纸片甲的周长为 ∵长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同， ∴正方形纸片乙的周长为 ∴正方形纸片乙的边长为 故答案为：． （2）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴， ∵正方形纸片乙的边长为， ∴， 故，． （3）解：小方同学的发现正确． 理由如下： ∵，， ∴，与的取值无关， ∴甲、乙两纸片的面积差与的取值无关， 答：小方同学的发现正确． 15．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 题型六、整式的运算中的新定义型问题 16．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题． （1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答； （2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”． 【详解】（1）解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”， 所以， 即是关于的“圆满数”， ， 所以是关于10的“圆满数”． 故答案为：，． （2）因为，, 所以 ， 即， 所以是关于的“圆满数”． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， 解得； （2）解：， ， 的值与无关， ， 解得， ． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 【答案】(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0． 根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为 0 即可求解． 【详解】解： ， ∵乘积中不含与项， ， 解得：， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知多项式是完全平方式，则k的值为（       ） A．3 B．9 C．9或 D．9或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题关键是正确配方．由多项式是完全平方式，可得，即可得或． 【详解】解：由多项式是完全平方式， 得，即或． 故选：C． 4．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如果计算的结果不含项，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案． 【详解】解： ， ∵计算的结果不含项， ∴． ∴． 故答案为：0． 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】21或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的代数式中不含x项与项． (1)求m、n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m、n的值； （2）将m、n的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵该代数式中不含x项与项， ， 解得； （2）解：． 10．（24-25七年级下·广东茂名·期中）若的计算结果中不含与x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，； (2)1 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算，再由结果中不含与项令其系数为0，进而求解即可； （2）先将原式化简，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果中不含与项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 11．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 12．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13．（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $