江苏省扬州市宝应中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学试题

江苏省宝应中学24-25学年第一学期高三年级期初考试 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5某圆锥母线长为1,其侧面积与轴截面面积的比值为,则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 6.已知随机变量，且，则的最小（ ） A.5 B. C. D. 7. 已知角满足，，则（ ） A． B． C． D．2 8．已知及其导函数的定义域均为，记，()，若关于对称，()是偶函数，则()（ ） A． B．2 C．3 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数()的部分图象如图所( ) A． B． C． ()为偶函数 D．在区间的最小值为 11.Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知角顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 13已知正实数满足，则的最小值是_________． 14已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为_________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15（本题13分）已知函数是定义域为R的偶函数.（1）求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围. 1 6（本题15分） 已知，，设． （1），求函数的值域． （2）若，且，求的值． 17（本题15分） 如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上． （1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②；③. （2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，A P C D E B 求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的大小． 18．（17分） 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 19.（本题满分17分） 已知函数. （1）函数与的图像关于对称，求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求a的值； （3）求证：，. 答案第52页，共52页 数学 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省宝应中学24-25学年第一学期学期高三年级期初考试 (数学) 参考答案 1-8 BBBA BDBA 9 AD 10 ACD 11 ACD 12 【答案】13【答案】14【答案】 14【详解】因为对于任意正数都有， 所以，即，，即， ，即，所以是函数的零点， 令，则，即是函数的零点， 因为当时，，令，则， 所以时，，， 且， 任取，且， ，即， 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，因为， 所以，故答案为：． 15．（本题满分13分） 【小问1详解】由偶函数定义知：， 即， ∴对成立，. ———5 【小问2详解】 由（1）得：； ∵，∴，当且仅当即时等号成立， ∴，—————————9 ∴，即，解得：或 ， 综上，实数的取值范围为.—————13 16．（本题满分15分） 【解析】（1）因为，， 所以 ，————————————————3 ，， 所以函数的值域为．——————————7 （2）由题设，又，则， 所以，所以，————————————————10 所以，--------12 所以----------------15 17．（本题满分15分） 解：（1）选择①②，可证明③ 由，是线段的中点，得⊥. ……2分 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， ……3分 AC平面ABC，得⊥， ……4分 又⊥；，平面， 所以⊥平面． ……5分 若选择①③，可证明②. 由，是线段的中点，得⊥. ……2分 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， ……3分 AC平面ABC，得⊥， ……4分 又⊥，，平面，所以⊥平面． 5分 选择②③，可证明①由，是线段的中点，得⊥. ……2分 因为⊥，⊥， 平面，， 所以⊥平面．……3分 PD平面PDE，得⊥， ……4分 ,平面，所以⊥平面． 又平面，故平面⊥平面 ……6分 （2）【法一】由（1），选择①②，则③成立. 取线段的中点F，连接DF， 则由，及是线段的中点，A P C D E B y z F 得⊥. 由（1）知，⊥平面，以点D 为坐标原点，DA，DF，DP所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系． ……7分 三棱锥的体积，且， ，得，得． ……8分 所以由，是线段的中点，⊥，得： P（0,0,1），D（0,0,0），，，C（,2,0）. 所以（0,0,1），，（1,0,1），（0,2,0）. 设面PDE与面PBC的法向量分别为，， 则 得：所以面PDE的一个法向量为. --------- 10分 得：所以面PBC的一个法向量为. ----------------12分 设平面PDE与平面PBC所成二面角为， 则， ……14分 因为，所以面PDE与面PBC所成锐二面角的大小为． ……15分 【法二】延长ED交CB的延长线于Q，连接PQ， 则平面PDE与平面PBCPQ. 由三棱锥的体积为，且， ，得，解得. ……7分 又由，及是线段的中点，⊥，A P C D E B Q 在等腰直角三角形CEQ中，，， 连结CD，在Rt△CPD中，，，， 在等腰直角三角形BDQ中，，， 在Rt△QPD中，， 在△CPQ中，由，所以， ……9分 又由（1）知，⊥平面，PE是PC在面PDE内射影， 由三垂线逆定理得：， ……12分 则即为二面角的平面角， ……13分 ， ……14分 所以面PDE与面PBC所成锐二面角的大小为. ……15分 【注意】如（1）选择另外一组条件，仿照上面标准给分. 18．（本题满分17分） （1）①记“甲获得第四名”为事件，又， ……1分 则； ……4分 ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， ……5分 连败两局：， ……6分 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ……7分 ； ……8分 则的分布列如下： 2 3 4 0.16 0.552 0.288 所以数学期望. ……10分 （2）在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜， 则甲获得冠军的概率为. ……12分 在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”， 设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则； 设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”， 则； 设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”， 则； 所以 . ……15分 由，且， 当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，两种赛制甲夺冠的概率一样. ……17分 19．（本题满分17分） （1）依题意，设图像上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图像上， 则，则， 故，；（5分） （2）令，， 则在在恒成立， 又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，, 当，，单调递增， 当，，单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，.（11分） （3）证明：由（2）可知：， 则，即， 则， 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，即证.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$