3.2 基本不等式 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

基本不等式 北师大版数学必修第一册 学史导入，启发探究 探究一：折纸游戏 1、先将两张面积分别为的正方形纸片分别沿它们对角线折成两个等腰直角三角形 2、再用这两个三角形构造出一个矩形（矩形的长和宽分别等于这两个直角三角形直角边，多余的部分折叠） 3、比较两等腰三角形面积之和、矩形面积的大小关系 理性分析，论证结论 两等腰三角形面积之和 大于等于矩形面积 （当且仅当 时等号成立） （当且仅当 时等号成立） 如果 那么 思考：请大家利用已学知识证明上述结论 理性分析，论证结论 （当且仅当 时等号成立） 如果 那么 证明： （当且仅当 时等号成立） 所以，如果 ，那么 （当且仅当 时等号成立） 合作探究 6 证法一：作差比较法： 证法二：分析法（执果索因） 证法三：换元法 6 剖析定义，深度感知 两个正数的算数平均数大于等于几何平均数 符号语言 文字语言 （当且仅当 时等号成立） 如果 那么 思考：如何用图形语言描述基本不等式呢？ 探究二：探究基本不等式的几何解释 如图， 是圆 的直径，点 在 上，且 过点 作 的垂线交弧 于点 ，连接 . (1)计算 和 长度 (2)请讨论、比较 和 的长度 (3)请大家根据上述过程，总结出基本不等式的几何解释 圆的半径大于等于半弦 剖析定义，深度感知 两个正数的算数平均数大于等于几何平均数 符号语言 文字语言 图形语言 圆的半径大于等于半弦 （当且仅当 时等号成立） 如果 那么 巩固新知，深入研究 例题1 已知 , 求 的最小值 解： （当且仅当 ，即 时等号成立 ） 思考：1、本题中求最值的代数式有何特点？ 2、这里的取等号条件必须说明吗？ 3、满足什么条件的代数式，才能利用基本不等式求最值 一正：两数均为正数，即 二定：两数的和 或积 有一个为定值 三相等：当且仅当两数相等时，即 时，等号成立 巩固新知，深入研究 例题2 已知 都是正数，求证： (1)如果乘积 等于定值 ，那么当 时， 有最小值 ; (2)如果和 等于定值 ,那么当 ， 有最大值 . 思考：透过本题，你能说说基本不等式能够帮我们解决什么样的问题？ 对于两个正数，和有定值积有最大值，积为定值和有最小值 解:(1)由基本不等式可得： （当且仅当 时等号成立） 所以如果乘积 等于定值 ，那么当 时， 有最小值 (2)由基本不等式可得： （当且仅当 时等号成立） 所以和 等于定值 ，那么当 ， 有最大值 巩固新知，深入研究 小试牛刀，随堂演练 用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设长为 米，宽为 米，则 平方米 又因为 (当且仅当 时等号成立) 所以这个矩形长为10米，宽为10米时所用篱笆最短 ，最短篱笆长度为10米. 思考题： 小结回顾 基本不等式 符号语言 文字语言 图形语言 一正 二定 三相等 对于两个正数， 和有定值积有最大值，积为定值和有最小值 谢谢观看 $$