专题01 集合初步（单元测试）-【课后优辅导】2024-2025学年高一数学上学期讲义（沪教版2020）

专题01 集合初步单元测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·北京·期中）若集合，，则 . 7．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设集合，，则，则实数a的取值范围为 . 8．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：，集合B是关于x的不等式的解集，若，则实数m的取值范围为 9．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 10．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 11．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 14．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 18．（21-22高一上·北京·期中）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·山东威海·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 20．（19-20高一上·浙江台州·期中）已知集合A=，B= （1）若m=3，求A∪B； （2）设全集为R，若BCRA，求实数m的取值范围. 21．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）设集合或，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. （2）已知，，，且，求证：. 22．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集为，集合． (1)若，求； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合初步单元测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、补集的概念及运算、常用数集或数集关系应用 【分析】根据给定条件，求出并用列举法写出作答. 【详解】全集，，所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合包含关系，分类讨论元素的情况即可得解. 【详解】因为，，， 当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去），此时，即，满足题意； 综上，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】依题意有，即，且，分类讨论求的值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】的真子集个数是3，所以共有2个元素，分和两种情况即可解出答案. 【详解】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 6．（23-24高一上·北京·期中）若集合，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】解绝对值不等式，分式不等式得出集合，再根据交集定义求得结果. 【详解】根据已知可得：，解得：； 所以. 由得， 解得：或． ． 故答案为：. 7．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设集合，，则，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足，则，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可. 【详解】由题意，或， 若满足，则， 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 8．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：，集合B是关于x的不等式的解集，若，则实数m的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由可得，分别研究、、时满足的m的值即可. 【详解】因为，所以， 所以①当时，解得，此时，满足，所以符合. ②当，即或， 当时，不等式变为，解得，此时，不满足，所以不符合； 当时，不等式变为，解得，此时，满足，所以符合. ③当，即或， 令，设的两个不等的实根为，，（）， 则， 因为，所以在上有两个不等的实根， 所以，解得， 综述：. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【难度】0.4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 10．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【详解】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 11．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【详解】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合包含关系求得的值，从而得解. 【详解】因为，，， 所以或，即或， 当时，；当时，，都符合题意. 故选：C. 14．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出集合，再依据已知条件和即可得解. 【详解】解得或，故， 又，， 所以. 故选：A. 15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用并集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即，而，则， 所以. 故选：B 16．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）依据题意可得，计算即可. （2）根据，分别计算出，然后得到集合，最后根据补集、交集进行运算即可. 【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， 18．（21-22高一上·北京·期中）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果; （2）因为，所以，所以，由此即可求出结果. 【详解】（1）解：当时，集合 集合或； 所以或. （2）解：因为，所以， 所以，即. 19．（23-24高一上·山东威海·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）根据交集的结果得到包含关系，进而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）若，则， 因为，所以， 由可得 解得. 故实数的取值范围是 20．（19-20高一上·浙江台州·期中）已知集合A=，B= （1）若m=3，求A∪B； （2）设全集为R，若BCRA，求实数m的取值范围. 【答案】（1）A∪B；（2）. 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求出集合A,B,再求A∪B得解；（2）先求出或，再对m分类讨论得解. 【详解】（1）m=3时，B=， A=， 所以A∪B. （2）由题得或， B=， 当m=5时，B=满足已知. 当时，，满足已知. 当时，，，所以. 综上，. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）设集合或，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. （2）已知，，，且，求证：. 【答案】（1）①或；②或；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）①由题意，根据交集运算列不等式组求解即可；②根据和分类讨论，利用集合关系列不等式组求解即可； （2）结合常数代换，利用基本不等式及不等式性质即可证明. 【详解】（1）①由题意，得或， 又，，则， 可得或. 解得或， 则实数的取值范围是或． ②由，得． 当时，，即，满足． 当时，或 解得或． 则实数的取值范围是或． （2）因为，，，且， 所以 ，当且仅当时取等号. 22．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集为，集合． (1)若，求； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的定义，计算即可； （2）选择①作为已知条件，根据得，再讨论和时，分别求出的取值范围．（选择②、③的解法同①） 【详解】（1），故，解得或， ∴或，则 又 （2）均可得， 选择①：作为已知条件．（选择②､③的解法同①） ， 由或得： 当时，，解得； 当时，或，解得或． 综上，可得的取值范围为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$