精品解析：鲁教版（五四制）2023-2024学年九年级数学下册期末复习试题

2023-2024学年下年级下册数学鲁教版（五四制）期末复习试题 一、单选题(共10小题，满分40分) 1. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解①得：， 解②得：， 故不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：解不等式﹣3x≤6，得：x≥﹣2， 解不等式﹣（x﹣3）＞2（2﹣x），得：x＞1， ∴不等式组的解集为x＞1， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够准确求出不等式组的解集. 3. 用代入消元法解关于x，y的方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程，把①代入②得：，问题得解． 【详解】解： 把①代入②得：， 故选：A． 4. 下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④对顶角相等．真命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线的性质，平行公理，同位角和对顶角的定义，判断各命题，即可得到答案． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①是真命题； ②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②是真命题； ③两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故③是假命题； ④对顶角相等，故④是真命题； 综上，真命题有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线的性质，平行公理，同位角和对顶角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 小亮去文化用品商店购买笔和本，已知本每个3元，笔每支5元，购买笔和本共花费48元，并且本的数量不少于笔的数量，则小亮的购买方案共有 ( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48，根据本的数量不少于笔的数量，计算出可实行的方案． 【详解】解：设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48 则， ∵x，y为正整数，且≥0且48－5y是3的倍数， ∵本的数量不少于笔的数量，即x ≥ y 即y≤6， 当x=6时，y=6；当x=11时，y=3； 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握正确理解题意，设出未知数，列出等量关系，根据时间情况得出方案． 6. ∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是(　　) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况一种就是∠α和∠β为平行四边形的对角，一种如图2;分别计算即可. 【详解】分两种情况： ①如图1所示： ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠α+∠ABC=180°，∠β+∠ABC=180°， ∴∠β=∠α=70°，； ②如图所示： ∵AB∥CD， ∴∠α+∠ADC=180°， ∵∠β=∠ADC， ∴∠α+∠β=180°， ∴∠β=180°-70°=110°； 综上所述：∠β的度数是70°或110°； 故选D． 【点睛】本题主要考查角的位置关系，关键在于分两种情况，这个是重点知识，应当熟练掌握. 7. 如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可． 【详解】解：连接， ， ∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F， ∴， ∵D为边的中点， ∴当点在上时，的周长最小， ∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 8. 如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 【详解】解：过P作交于F， ∵，是等边三角形， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 9. 已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入得： ，故①正确， ②解方程组，得：， 若， 则， 解得：， 即存在实数，使得，故②正确； ③解方程组，得：， ∴ ， 不论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ④解方程组，得：， 若， 则， 解得：，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 10. 如图，，，垂足分别为、，，是的中点，，交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由BC⊥AB，DA⊥AB，CE⊥BD，得到∠ADB=∠EBC=∠COB=90°，根据余角的性质得到∠ABD=∠BCE，证得△ABD≌△BCE，得到①正确；由线段垂直平分线的性质得到②正确；根据等腰三角形的性质等边对等角，得到③正确；因为∠CED+∠EDO=90°，∠DBC+∠OCB=90°，BE≠DE，∠EDB≠∠OCB，∠CED≠∠DBC，得到④不正确；由CE=CD，CE＞BC，得到CD＞BC，所以⑤不正确． 【详解】解：∵BC⊥AB，DA⊥AB，CE⊥BD， ∠ADB=∠EBC=∠COB=90°， ∴∠ABD+∠CBD=∠OCB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BCE， 在△ABD与△BCE中， ∴△ABD≌△BCE， ∴AD=BE， ∴①正确； ∵AE=BE，∴AD=AE， ∵∠CAB=∠DAC=45°， ∴AC垂直平分DE， ∴②正确； ∵AC垂直平分DE， ∴CD=CE， ∵CE=BD， ∴CD=BD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴③正确； ∵∠CED+∠EDO=90°，∠DBC+∠OCB=90°， ∵BE≠DE， ∴∠EDB≠∠OCB， ∴∠CED≠∠DBC， ∴④不正确； ∵CE=CD，CE＞BC，CD＞BC， ∴⑤不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等式的性质，特别注意等量之间的代换． 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，，，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠A＋∠ACD＝180°， 即∠A＋∠ACB＋∠BCD＝180°． ∵∠A＝∠ACB＝50°， ∴∠BCD＝180°−∠A−∠ACB＝180°−50°−50°＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查平行线性质，解题的关键在于熟悉两直线平行，同旁内角互补． 12. 如图，在中，，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则的度数是 _____． 【答案】80 【解析】 【分析】由折叠的性质得到∠F＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，设与交于点H， 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴，即． 故答案是：80． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理求解角的度数是解决问题的关键． 13. 方程组的一个解为，那么这个方程组的另一个解是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元二次方程组及解一元二次方程，熟练掌握解方程（组）的方法是解题关键．把代入得出、的值，代入，解方程组即可得答案． 【详解】解：∵方程组的一个解为， ∴， ∴，， 把，代入得：， 由①得：， 代入②得：，即：， ∴， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴这个方程组的另一个解是． 故答案为： 14. 如图，在中，，，，，垂足分别为D，E．若，，则DE的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题目条件证明，进而得到，，于是根据即可得到答案． 【详解】解：， ， ,， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，已知，，，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，根据平行线性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，求出∠CAE＋∠ACE＝180°−（2x＋2y），求出∠AEC＝2（x＋y），∠AFC═2（x＋y），即可得出答案． 【详解】解：连接AC， 设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°， ∴∠CAE＋3x＋∠ACE＋3y＝180°， ∴∠CAE＋∠ACE＝180°−（3x＋3y），∠FAC＋∠FCA＝180°−（2x＋2y） ∴∠AEC＝180°−（∠CAE＋∠ACE） ＝180°−[180°−（3x＋3y）] ＝3x＋3y ＝3（x＋y）， ∠AFC＝180°−（∠FAC＋∠FCA） ＝180°−[180°−（2x＋2y）] ＝2x＋2y ＝2（x＋y）， ∴∠AEC＝∠AFC＝129°． 故答案为：129°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形内角和定理求解是解答此题的关键． 16. 从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】∵从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，有5种情况，其中使正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的k值只有1种，即k=﹣2，∴满足条件的概率为， 故答案为． 17. 如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，先根据等边对等角得到，则由角平分线的定义得到，证明，得到，则；由角平分线的判定定理得到平分，则由三线合一定理得到，则，如图所示，过点E作，垂足分别为N、M，由角平分线的性质得到，证明，得到，则，由平行线的性质得到，即点D到边的距离为12． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D到两边的距离均为6， ∴平分， ∴， ∴， 如图所示，过点E作，垂足分别为N、M， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为12， 故答案为：12． 18. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 如图，相交于点． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据证明； （2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴（）； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”．例如： 当，时，， 因为， 所以，数对为“二八友好数对”． （1）说明数对是否为“二八友好数对”； （2）现将部分“二八友好数对”制成如下对应数值表： … … … … 直接写出表格中，的值； （3）已知为“二八友好数对”，观察（2）中表格，猜想之间的数量关系为：______________，并用所学的数学知识解释你猜想的正确性． 【答案】（1）数对为“二八友好数对”，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答； （2）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答； （3）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答． 【小问1详解】 解：∵当时， 即， ∴数对为“二八友好数对”． 【小问2详解】 解：∵，，且是“二八友好数对”， ∴，， ∴， ∴解得：， ∵，，且是“二八友好数对”， ∴，， ∴， ∴解得：； 【小问3详解】 解：之间数量关系，理由如下： 解法一：∵为“二八友好数对”， ∴， ∴， ∴解得：； 解法二：∵当时， ∴， ∴为“二八友好数对”， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义实数运算法则是解题的关键． 21. 如图，中，，，平分，，垂足为． （1）求度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）22.5°； （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD=22.5°，由外角的性质可求解； （2）由“ASA”可证△AFC≌DBC，可得AF=BD，由“ASA”可证△ABE≌△FBE，可得AE=EF，从而可得BD=2AE． 【小问1详解】 ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=22.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠E=∠C=90°， ∵∠ADB=∠E+∠EAC=∠C+∠CBD， ∴∠EAC=∠CBD=22.5°； 【小问2详解】 BD=2AE，理由如下：延长AE、BC交于点F， ∵∠AED=∠ACB=90°，∠EDA=∠CDB， ∴∠FAC=∠DBC， 在△AFC与△DBC中， ∵∠FAC=∠DBC， AC=BC， ∠FCA=∠ACB， ∴△AFC≌△BDC（ASA）， ∴AF=BD， 在△ABE与△FBE中， ∵∠ABE=∠CBE， BE=BE， ∠AEB=∠CBE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE=EF， ∴BD=AF=2AE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22. 如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． （1）求证：； （2）已知，，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线的定义得出，再根据证明即可； （2）先由全等三角形的性质得出，再根据题意及三角形外角的性质即可得出，然后再依据等角对等边进行证明即可． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交边于点， ∴， 在与中， ， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质及等角对等边，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 解方程组: （1）(代入法) （2）(加减法) （3） 【答案】(1) （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把第二个方程用含有y的字母把x表示出来 ，然后代入第一个方程求出y，再把y代入求出x，方程组的解即可求出 （2）把第一个方程左右两边都乘以2，第二个方程左右两边都乘以3，然后相减消掉y求出x，然后把x代入求出y,方程组的解即可求出. （3）先把三元一次方程组转换成二元一次方程组，然后求解即可 【详解】（1）解： ， 由②得x=13﹣4y ③， 将③代入①得2（13﹣4y）+3y=16，解得：y=2， 将y=2代入②得：x=5， ∴原方程组的解为 （2）解：用加减消元法求解：， ①×2得：10x﹣12y=﹣6 ③ ②×3得：21x﹣12y=27④ ④﹣③得：21x﹣12y﹣10x+12y=33，解得：x=3， 将x=3代入①得：y=3， ∴原方程组的解为 （3）解： ， ②﹣①得：x﹣2y=﹣1 ④ ①×3得，3x+3y+3z=12 ⑤ ⑤+③得6x+y=7 ⑥ ⑥×2，得：12x+2y=14 ⑦ ⑦+④得13x=13，解得：x=1， 将x=1代入④得y=1， 将x=1、y=1代入①得z=2， ∴原方程组的解为 【点睛】二元一次方程组和三元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识选择适当的解法是解题的关键. 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． （1）请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数 ①， ②，． （2）直角三角形的______就是它的“双等腰线” （3）如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______． （4）已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 【答案】（1）见解析 （2）斜边中线 （3）或 （4）、、、、 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）根据直角三角形斜边中线推导即可； （3）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （4）设，根据题意表示三个内角，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：如图， 取，则， ， ， ， ， 和是等腰三角形； 如图， 作的垂直平分线，交于，交于，连接， ， ， ， ， ， ， 和是等腰三角形； 【小问2详解】 直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形， 故答案为：斜边中线； 【小问3详解】 ①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时顶角不是锐角，排除； ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ， ， ， ， 此时顶角不锐角，排除； ④设顶角为， 可得， 解得：， ， 故答案为：或； 【小问4详解】 如图， 设， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵和分别是的“三等腰线”， ∴或是等腰三角形， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，，则； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 综上所述，度数的所有可能的值为、、、、． 故答案：、、、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下年级下册数学鲁教版（五四制）期末复习试题 一、单选题(共10小题，满分40分) 1. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 用代入消元法解关于x，y的方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④对顶角相等．真命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 小亮去文化用品商店购买笔和本，已知本每个3元，笔每支5元，购买笔和本共花费48元，并且本的数量不少于笔的数量，则小亮的购买方案共有 ( ) A 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 6. ∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是(　　) A. B. C. D. 或 7. 如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 11 D. 12 8. 如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①④ 10. 如图，，，垂足分别为、，，是的中点，，交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，，，则大小是______． 12. 如图，在中，，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则的度数是 _____． 13. 方程组的一个解为，那么这个方程组的另一个解是__________________． 14. 如图，在中，，，，，垂足分别为D，E．若，，则DE长为______． 15. 如图，已知，，，，则的度数是__________． 16. 从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是______． 17. 如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为__________． 18. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号） 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 如图，相交于点． （1）求证：； （2）若，求的大小． 20. 对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”．例如： 当，时，， 因为， 所以，数对为“二八友好数对”． （1）说明数对是否为“二八友好数对”； （2）现将部分“二八友好数对”制成如下对应数值表： … … … … 直接写出表格中，的值； （3）已知为“二八友好数对”，观察（2）中表格，猜想之间的数量关系为：______________，并用所学的数学知识解释你猜想的正确性． 21. 如图，中，，，平分，，垂足为． （1）求的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 22. 如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． （1）求证：； （2）已知，，求长． 23. 解方程组: （1）(代入法) （2）(加减法) （3） 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． （1）请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数 ①， ②，． （2）直角三角形的______就是它的“双等腰线” （3）如果一个顶角是锐角等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______． （4）已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$