湖南省衡阳市实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

2021-2022学年湖南省衡阳实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）方程x（x﹣4）+x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3 4．（3分）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 5．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5 6．（3分）若＝，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 7．（3分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（　　） A．40（x+1）＝140 B．40（1+x）2＝140 C．40+40（1+x）+40（1+x）2＝140 D．40+40（1+x）＝140 8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个根是1和﹣3，则nm的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．16 D．﹣16 9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，DE＝4，则BC边的长等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（3分）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 11．（3分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　） A． B． C． D．2 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是y轴正半轴上的一点，当∠CAO＝2∠BAO时，则点C的纵坐标是（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．（3分）计算：＝　 　． 14．（3分）比较大小： 　 　．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 15．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 　 　． 16．（3分）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是　 　米． 17．（3分）若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是　 　． 18．（3分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是　 　． 三、解答题（共66分） 19．（6分）计算： （1）﹣|﹣2|； （2）（3﹣2）÷． 20．（6分）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣18＝0． （2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）． 21．（8分）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计） 22．（8分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 23．（8分）先化简，再求值：已知a＝，求代数式﹣的值． 24．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 26．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P，Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连结DQ，设P，Q的运动时间为t （1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示） （2）若a＝15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似； 参考答案 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【解答】解：根据题意，得 2x﹣4≥0， 解得，x≥2． 故选：C． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．原式＝2，所以B选项不符合题意； C．原式＝3，所以C选项不符合题意； D．原式＝＝2，所以D选项符合题意； 故选：D． 3．（3分）方程x（x﹣4）+x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3 【解答】解：x（x﹣4+1）＝0， x＝0或x﹣4+1＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 故选：C． 4．（3分）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 【解答】解：原式＝（﹣6）÷（﹣） ＝（﹣5）÷（﹣） ＝5． 故选：A． 5．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5 【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣1， 配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3． 故选：A． 6．（3分）若＝，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵＝， ∴＝＝． 故选：D． 7．（3分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（　　） A．40（x+1）＝140 B．40（1+x）2＝140 C．40+40（1+x）+40（1+x）2＝140 D．40+40（1+x）＝140 【解答】解：如果设2，3月份平均每月的增长率是x， 那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍分别是40（1+x）、40（1+x）2， 然后根据题意可列出方程为：40+40（1+x）+40（1+x）2＝140． 故选：C． 8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个根是1和﹣3，则nm的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．16 D．﹣16 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个根是1和﹣3， ∴1+（﹣3）＝﹣，1×（﹣3）＝， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，DE＝4，则BC边的长等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DB＝2AD，DE＝4， ∴， ∴BC＝12， 故选：D． 10．（3分）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【解答】解：设该群共有x人， 依题意有x（x﹣1）＝90， 解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10， 答：这个群共有10人． 故选：B． 11．（3分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴EA＝ED， ∵＝， ∴＝， ∵DE∥AB， ∴△CED∽△CAB， ∴＝＝， 故选：B． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是y轴正半轴上的一点，当∠CAO＝2∠BAO时，则点C的纵坐标是（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：设点C的坐标为（0，c），作BD⊥AC于点D， ∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（﹣2，0），点B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵∠CAO＝2∠BAO， ∴AB平分∠OAC， ∴BD＝OB＝1， ∵S△ABC＝， ∴， 解得，c＝， 即点C的纵坐标是， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．（3分）计算：＝　4　． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝4． 故答案为：4． 14．（3分）比较大小： 　＜　．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【解答】解：∵＝ ∴ ∴ 故答案为：＜． 15．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 　1：2　． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：， ∴它们的相似比为1：， ∴它们的面积比为1：2， 故答案为：1：2． 16．（3分）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是　8　米． 【解答】解： 如图，∠CPD＝90°，QC＝4m，QD＝16m， ∵PQ⊥CD， ∴∠PQC＝90°， ∴∠C+∠QPC＝90°， 而∠C+∠D＝90°， ∴∠QPC＝∠D， ∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ， ∴，即， ∴PQ＝8， 即旗杆的高度为8m． 故答案为：8． 17．（3分）若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤4且k≠0　． 【解答】解：∵|b﹣1|+＝0， ∴b＝1，a＝4， ∴原方程为kx2+4x+1＝0， ∵该一元二次方程有实数根， ∴Δ＝16﹣4k≥0， 解得：k≤4， ∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程， ∴k≠0， k的取值范围是：k≤4且k≠0， 故答案为：k≤4且k≠0． 18．（3分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是　　． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA+∠CEB＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB， ∴△ADE∽△ECB， ∴， ∵AD＝BC，CD＝3EC， ∴DE＝2EC， ∴， ∴， ∴AD：AB＝， 故答案为： 三、解答题（共66分） 19．（6分）计算： （1）﹣|﹣2|； （2）（3﹣2）÷． 【解答】解：（1）原式＝2++﹣2 ＝2； （2）原式＝（12﹣6）÷ ＝6÷ ＝6． 20．（6分）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣18＝0． （2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣18＝0， ∴x2﹣6x＝18， 则x2﹣6x+9＝18+9，即（x﹣3）2＝27， ∴x﹣3＝±3， ∴x1＝3+3，x2＝3﹣3； （2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2）， ∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝2，x2＝5． 21．（8分）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计） 【解答】解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB， ∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°， 又∵∠COA′＝∠DOB′， ∴△OCA′∽△ODB′． ∴， 即， ∴， 答：短臂端点垂直下降了0.825米． 22．（8分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＝4k+1＞0， ∴k的取值范围是k＞﹣且k≠0， （2）∵方程有一个根是1， ∴k2﹣（2k+1）+1＝0， k＝0（不合题意，舍去）或2， 设方程的另一根为x2， 当k＝2时，1•x2＝，x2＝． 23．（8分）先化简，再求值：已知a＝，求代数式﹣的值． 【解答】解：a＝＝2﹣＞0， 原式＝﹣ ＝a﹣1+ 当a＝2﹣时，原式＝2﹣﹣1+2+＝3． 24．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得： （10+x）（500﹣20x）＝6000， 解得：x＝5或x＝10， 要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元； 答：每千克应涨价5元． 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C． ∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC， ∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴＝， ∴AB•CD＝CP•BP． ∵AB＝AC， ∴AC•CD＝CP•BP； （2）如图，∵PD∥AB， ∴∠APD＝∠BAP． ∵∠APD＝∠C， ∴∠BAP＝∠C． ∵∠B＝∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴＝． ∵AB＝10，BC＝12， ∴＝， ∴BP＝． 26．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P，Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连结DQ，设P，Q的运动时间为t （1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示） （2）若a＝15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似； 【解答】解：（1）∵PD∥BC，AB＝AC， ∴， ∵CP＝t， ∴BD＝t； （2）∵PD∥BC，AB＝AC＝15， ∴， ∴AD＝AP＝15﹣t， ∴BD＝CP＝t， ∵AC＝15，BC＝10，CP＝t， ∴PD＝10﹣t， ∵△ADP和△BDQ相似， ∴或， ∴或， 解得：t1＝4，t2＝15（舍去），t3＝15＞10（舍去），t4＝6， 则当t＝4或6时，△ADP与△BDQ相似． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/18 11:58:17；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$