陕西省榆林市2024届高三下学期4月联考理科数学试卷

2024届高三年级4月份人联考 7,已知正三校锥P一ABC的侧棱与底面边长的比值为3，若三棱锥P一ABC外接球的表 理数试题 面积为是x,期三棱锥P一AC的高为 本试卷共4页，23题（含荡考题1。全卷满分150分。考试用时120分钟。 A.1 B22 注意事项： c 号 1答题筒，先将自已的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将雅考正号条罪码精黠在 &将两数f)一m十)m>0)的图象左平移晋个单位长度后得到的雨数图象关 答题卡上的指定位置。 2.达择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答紫标号徐 手=平对移：则实数如的最小值为 黑，可在试圈委.草稿纸和容圈卡上的非答题区规均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对克的答题区城内。写在试题差，草 A号 c号 n号 鸟策和答题卡上的非答图区域均无效 ,在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人的成靖，甲班的十个人成绩分别为 4,选考题的作答：先把所达题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案 写在答题卡上对应的答题区域内，写在试遥卷，草稿纸和答题卡上的丰答题区城均无效。 n,…,「，乙班的十个人成锁分别为3当攻…，y.型设这两罪数据中位数相月，方 差也相同，则把这20个数据合并后 5.考试结束后，请将本试恩卷和答意卡一并上交 A.中位数一定不变，方差可能变大 B,中位数可能改变，方是可作变大 第I卷 C,中位数一定不变，方差可能变小 中位数可能改变，方差可能变小 一、选择丽：本题共1”小丽，每小丽5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是村合题 10.已知g∈(0,2r),若当r∈[0,1门时，关于r的不等式(si加十cosa十1)x 日要求的。 (2ina十1)x十tna>0恒成立，期m的取值范围为 1.已知集合A-xog:(4一子2，B=yy-(侵zeA,则AnB- A(倍· (后 C(到 D(停 4儒可 盘（信 (1,十o0) Da言》 山投FR为双角线号-言=1>06>0)的上，下焦点，点C为r的上顶点，以 2.已知1+D=2+h.期c-11= R月为直径的圆交r的一条渐近线于A,B两点，若∠小CB=子，则r的离心率为 A.2 B.3 C厘 1D.1 A,3+1 且28+1 G②7 3.在△AC中，E在边BC上，且EC=3BE.D是边AB上任意一点，AE与CD交干点 3 n号 P.若Cp=rCA+yCB,则3r+4y 12.某兴规小组的几位同学在研究不等式川一士≤十b时给出一道题： C,3 D-3 已知雨数代田-lnr+1D-a+币2数g-+2+十2-(+r, 4,设4，b为两条不同的直线，为两个不同的平而，下面为真命题的是 当fx1+gx=fx川+gr时x的取值范图为 A(-1.0》 B.(-1,03U1,2 A若a3,uCa,bC3,则∥6 C,(-1,0]U[2,+0) D.(-1,2 B对于空间巾的直线，若a二a,三a:/La,/Lb.用/Ld C,若直线4上存在两点到平面a的距离相等，期∥a 第Ⅱ卷 D.若4a,g⊥，则dL3 本在包括必老题和选考题两分，第13一21履为必考驱，每个试题考生都必须作 5,在平面直角坐标系Oy中，把到定点F,(一u0),F:(4,0)距离之积等于a(a>0)的点 答。第22一23题为远考愿，考生根据要求作答。 的物查称为双纽线，若4一2，点（工，山）为双线C上任意一点，期下列结论正确的个数是 二，空题本题共4小题，每小题5分。 C关于r轴不对称 13.已知函数y=/（,)为奇函数，且最大值为1.用函数y=2f(x)十1的最大值和最小值 砂C关于y拍对移 的和为 ③直线￥一x与C只有一个交点 1.在四次独立重复试验中，试验每次藏功的概率为兰期在至少成功1次的条件下，4次 ①C上存在点P,使得PF=|PF到 试验全落成功的概军·为 A,1个 B,2个 C,3个 D,4个 15.若直线1：y=x+3与抛物线C正=12y和图C:x+《y一3)P=1从左到右依次交干 5.现有甲乙丙丁戊五位同学选行循环报数静戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2 点A,B,C.D,则AB十CD一 后，之后每个人报出的数都是前两位问学所报数的乘积的个位数学，则第202个被规 16.在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交边BC于点D,若一3.CD=2DB.则 出的数流该为 △A拟C面积的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 数试显第1夏（共4页 理数试题第2页（共4宽） 国 三、解答题：解答空写出文学说明、证明过程或浦算步骤。 20,【本小题清分12分》 17.(本小题满分12分) 已知两数f(x)一wn十P一x,fz)的导雨数为(r), 已知等差数列位，1满足a,=2a:十1，前m项和为S,S,是关干m的二次雨数且最高次 (1》讨论f(x)的单网性： 项系数为1， 〔1)求a.的通项公式： (2)当m-1时，证明：f(x+D≤2 v+厅r++-, 2已短人。求的前：项和T 2,〔本小题满分]2分》 18.(本小题满分12分) 已知模国B:号+若=1>6>0)的离心家为号直找4：+y一4=0与E只有一个 如图是一个半圆柱.DC,AB分别是上，下底面圆的直径.O为AB的中点，且AB 交点 AD=2,E是半图AB上任一点（不与A.B重合 《1)求E的方程： (1)适明：平面DEA⊥平度CEB,并在图中西出平面DEA与平面 2)E的左，有点分别为下，F,E上的点M,P(M,P两点在x轴上方)澜足FM CEB的交线（不用正明》； FP. (2)若点E满足DE=受B.求平面DEA与平面DFC夹角的余 ①试判断)LO为原点}是否成立，并说明理自： ②求四边形MPFF血积的最大值. 弦值 请考生在第22,23题中任选一盟作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 9.(本小题满分12分) 22.(选修4一4，坐标系与参数方程)（本小题满分10分） “直播的尽头是蕾货”，如今网络直播带货慰来越火爆，但商品的质量才是一个主插雀 否特久带货的关键.某主播委托甲，乙两个工厂为其生产加工窗品，为了了解商品质量情 在直角坐标系Oy中，曲找C的参数方程是F一时a(g为参数，以坐标原点为极 况，分别从甲，乙两个工厂各随机抽取了10件商品，腿据商品暖量可将其分为一，二，三 y一1and 等品，饶计的结果如下图， 点，x轴的非负米轴为楼轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为一川p0一2=0 (1)根据硅立性换验，判新是否有90%的把捏认为 (u∈R), (1》求曲线C的鲁通方程和直线？的直角坐标方程： 季a身】 商品为一等品与加工工厂有关？ (2)将样本数据的额率视为概率，乳在甲、乙工厂为 该主播进行鸟品展示括动，每轮活动分别从甲，乙工厂 《2已知点E的坐标为(2，O,直线[交曲线C的同支于M,N两点，求EM十上N 中随机速法一件商品选行限示，求在两轮话动中恰有三 的取值花形： 个一等凸的疑率： 委托甲工厂为其生产商品，己知育品随机装箱山售，每箱0个.商品出厂前，工厂可白宝 选择是香对每箱商品进行检晚，若执行检验，期每个商品的检验费用为10元，并将检验旧 的三等品更换为一等品或二等品若不执了检验，用对实出的每个三等品商品支村10元 23.(选修1一5，不等式选讲)（本小题调分10分） 班偿费用.将样本数据的期率视为数率，以整箱检验费用的期里记为F(X),所有陪偿费川 已知函数《r)■一加g()■C十m: 的期里记为上(Y门，以(X)和上(Y)的大关系作为决策依据，判斯是香需要对每箱商晶 门)当m-3,n-1时，解不等式f八：x+(2z)<5: 透了检验？请说明理由 (2》若m>一2，n>一3，P2一4，且函数y=/(x)十g(十P的最小值为5，证明： 期：K一 #(4d=)月 (4干6r+de+b+其中n一+6+r+d √m+2+√2(w+3)2w21-√3+1). P(K) 0,1000.0600,100,006 2.706 6.6357.87 理数试慧第1页（共页 理数试壁第4宽（共4页} 亚参考答案及解析 理数 2024届高三年级4月份大联考 理数参考答案及解析 一、选择题 是异面直线，4，b不平行，故A错误：对于B:当aCa, 1.B【解析】由A=《x|log(4红一x)≤2)，知 bCa,I⊥a,l⊥b时，只有a,b相交时才有l⊥a,故B 4-x>0 错误：对于C:若直线a上存在两点到平面a的距离 ,所以A=(x|0<x<4}:由B= 4x-2 相等，则a∥a或a与a相交，故C错误.对于D:因为 y=(号广rEA={<<I,所以An a∥a,过a作平面y和平面a交于n,则a∥n,而a⊥ B,故n⊥3，又nCa,故a⊥B,故D正确.故选D. B=（61).故选B 2.D【解折1由中=2+.得=号+告.所以 -1=-是-号，所以1：-11= V(-)+(-专)=1.故选D. 5.C【解析】①设M(xy)到定点F,(-2.0),F:(2.0) 3.C 【解析】：A、P,E三点共线，设E驴=1EA(0<t< 的距离之积为4，可得√(x+2)十y· 1),则C币-CE+Ep-C+Ei-Ci+Ci √x-2)+y=4,整理得(x+y)= 8(x2一y2),即曲线C的方程为(.x2+y2)= =(-是)+C,又：=xi+ 8(x一y),易得曲线C关于x轴，y轴，原点对称， yC市，所以x=,是-是1=，所以3x十4y=3.放 图象如图所示， 选C. 4.D【解析】对于A:在长方体ABCD一A,BC1D 中，令平面ABCD是平面a, 所以①不正确，②正确：③联立方程组 C (x2+y2)2=8(x2-y2) ,可得x=0,即x=0,所以 B D y=I y=0,所以直线y=x与曲线C只有一个交点O(0, 平面AB,CD,为平面月，直线BC为直线a,直线 0),所以③正确.④原点O(0,0)满足曲线C的方程， A,B,为直线b,显然a∥B,aCa,bC3,此时直线4，b 即原点O在曲线C上，则|OF,|=|OF|,即曲线C 理数 参考答案及解析 上存在点P与原点O重合时，满足|PF,|= 9.A【解析】不妨设1≤≤…≤xm,y1≤≤…≤ |PF:,所以④正确.故选C. 0,则1…n的中位数为专兰，边…、 2 6.A【解析】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2， 4,8,2,6…,除了首项以外是个周期为6的周期数列. 的中位数为产：0=出”<为 2 故选A. ≤y≤或%≤：≤%≤%，则合并后的数据中位 7.B【解析】如图，△ABC为等边三角形，设D为BC 数是”十严或者少十少，所以中位数不变.设第一组 2 2 中点，PH⊥面ABC.AB=a(a>0),则PA=5a,所 数据的方差为，平均数为x,第二组数据的方差为 以AH-号，PH-2。设三校锥P-AC外接 2,平均数为y,合并后总数为20，平均数为m,方差为 球的半径为R,则(5。一R）+(气)=R,所以 5,9-10+1010[+(x-w)]+10[g+ R✉3 (-m)]》=号[+(G-@)]+号[+ 以三校维P-ABC的高为26×√3=22.故选B. (0-@)门=+2(-@)+7(0-@)≥.如 3 果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大 故选A 10.A【解析】当x=0时，sina>0,当x=1时，cosa> sin a+2 0.0 sina十cosa+<l.则 (sin a>0 &.C【解析】由函数f(x)=cos(mr十T）(w>0) cos a>0 将函数y=f(x)的图象向左平移答个单位长度后， (2sin a+1)2-4sin a(sin a+cos a+1)<0 sin a>0 得到函数8(x)=os[(r+吾)+] 即 cos a0 ,所以音<a<受故选A cs(or+肾+子)小，又由g(r)图象关于r=子对 sin 2a2 称，所以a·子+答+平=k,k∈Z.解得@=1坠 11.C【解析】由题意知以F,F:为直径的圆的方程为 x十y=c,根据对称性，不妨设一条渐近线方程为 号4∈乙，因为。>0，所以当长=1时取得最小值， y=一分x,联立得A(-b,a),Bb,-a),又 9 最小值为行，故选C C(0,a),所以C才=(-b.0).CB=(h,-2a),则 2· 参考答案及解析 理数 cos∠ACB= CA.CB 1 y-18y+9=0,设A(x1y1).D(x,y), CAICBI b√0+4a =一，即 F(0.3),则M+=18,∴.|AD=|AF|+|DF| =.所以离心率=-√后- a+l a (y+3)+(+3)=(”+为)+6=24，∴.AB|+ √=故c |CD1=|AD-|BC|=22.放答案为22. 16.3【解析】因为角A的平分线交BC于点D,则 12.C【解桥】：fx)=ln(+1)-a(+千）≥ ∠BAD=∠CAD.部瓷则是肥安以 是当>-1时f)=h-[1+aD] D为坐标原点建立如图平面直角坐标系， =-a·D+-a,令1=∈(0： 十o∞)，则由f(x)=0,可得-a·r+1-a=0, “a>分4=1-4a<0,则了)<0，在r气 (一1，十o∞)恒成立，∴.f(x)在（一1，十）上单调递 则因为BC=38肥=子，故B(-1.0).C(2.0).设 减，f(0)=0.-1<x<0,f(x)>0:r>0,f(x)<0. A(x,y),则化简可得x2+4x十y2=0,即(x十2) 令(1)=r十t,易证h(t)=+1为增函数，g(r)≥0 +y=4,故点A(x,y)的轨迹是以（一2,0）为圆 台h(x+2)≥h(x2)台-1≤x≤2，g(x)≤0曰h(x+ 心，2为半径的圆（除去（一4,0），(0,0)).故 2)≤h(x)=x≤-1或x≥2，当f(x)+g(x)|= A(-2,士2)时，△ABC面积取最大值为Sa= |f(x)|+|g(x)|成立时，有f(x)·g(x)≥0，所以 一1<x≤0或x≥2.故选C. ×3×2=3.故答案为3. 2 二、填空题 三、解答题 13.2【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小 17.解：(1)因为{am}为等差数列，设{a。}首项为a1,公 值之和为0.所以y=f(x)最值之和为0.则2f(x) 差为d, +1的最值之和为2.故答案为2. a4=2a2+1,.a1+3d=2a1+2d+1, 【解析】在至少成功1次的条件下，4次试验全 ∴.a1=d-l. (2分) () s=m+”21-号+(a-号)m 部成功的概率为p,p 27 1-(- 丽·故答案 ∴.a1=1,d=2. (4分) ∴.a。=2n-1. (6分) 器 (2):aw=2n-1, 15.22【解析】由1：y=x+3与C:x2=12y联立得 ·3 回 理数 参考答案及解析 1 (9分) T=6十6+6++么=号(1-2) 2n+1 (12分) 0 18.解：(1)E在AB上，.EA⊥EB, 则E(-号，专，0)，B10.0,则平面DEA的-个 由题意可知DA⊥EB,DA∩EA=A,EA,DAC平面 DEA,.EB⊥面DEA,又EBC面CEB. 法向量为B成=(-号，专0），取m=(-21,0, ∴.平面DEA⊥平面CEB. (3分) (8分) 过E作BC的平行线交DC于点F,则EF即为平面 又C1.0,2).D(-1.0,2).=(号-号2 DEA与平面CEB的交线. (4分) DC=(2,0,0), 设平面DEC的一个法向量为n=(x,y,), (n DC=0 2x=0 则 ,即 8 令y=5,则 4 E Im EC=0 5-5y+2x=0 6 B x=2,则n=(0,5,2), (10分) (2).DE -AD+AE2-4+AE,BE-AB:- 设平面DEA与平面DEC夹角为0，则cos0= AE=4-AE, 5 云4+AE=是(4-AE),解得AE-25 cos(m.n>= =VT45 (12分) √5X2丽 29 19.解：(1)由题意得列联表如下： '.sin∠EOA=sin2∠EBA= ,cos∠EOA=3 4 一等品 非一等品 合计 (6分) 甲 70 30 100 所以以O为原点，以OB为x轴，过O在平面ABE 乙 60 40 100 内作AB的垂线为y轴，过O作AD的平行线为： 合计 130 70 200 轴建立空间直角坐标系. K:=200X(70×40-60×30)_ 200 100×100×130×70 91 ≈2.198< 2.706. (2分) 所以没有90%的把握认为商品为一等品与加工工 厂有关. (3分) 4 回 参考答案及解析 理数 (2)两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为 则=1上8m,:=1+=8m 4 4 (品)-品 ①当0<m<日时，n>>0,f()在 只有一轮展示的商品为一等品的概率为2×× 3 (0,1-8m）,(1+=8m,+)上单调递 =42 4 100: (5分) 增，在（一8m,1+=8m)上单调递减。 两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为（号）月 (4分) .9 25 ②当n≤0时，x1≤0<x, 只有一轮展示的商品为一等品的概率为2X号×号 f(x)在（0,1+8m)上单调递减，在 12 Γ25 (7分) 十8m,十∞)上单调递增。 (6分) 4 则两轮话动中恰有三个一等品的概率为：品×岩 (2)证明：当m=1时，证原不等式等价于证 +品×云-8-器 483 (8分) (x+2)r+I≤2，令r+I=t. 则>0，且x=2-1,故只需证t(+1)≤2e-1, (③)由已知，每个零件为三等品的概常为 =0.15, (8分) 设每箱30个商品中的三等品个数为y, 兴. 则y~B(30,0.15).所以E(y)=30×0.15=4.5. 令s()=+1 (9分) 若不进行检验，则Y=100y,E(Y)一100E(y) 则(4=+1-2 e-1 (9分) 450元. (10分) 令(t)=+1-2r,则9'(t)=21-8r=21(1-4r) 若进行检验，则总检验费用的期望值E(X)为30× =24(1+2t)(1-21), (10分) 10=300元.因为450>300，所以应进行检验. ∴g)在(0，)上单调递增，在（号，+∞）上单调 (12分) 20.解：(1)f(x)=m+2x-1=2x-+m(x>0). 递减.又g(0)=1,g(1)=0, ∴当1∈(0,1)时，(1)>0，即(1)>0，当t∈(1， 当4=1一8m<0,即m≥名时，此时，了(x)≥0， +o∞)时，9(1)<0，即x(1)<0, 故f(x)在(0，+∞)上单调递增. (2分) ∴，x(1)在(0,1)上单调递增，在（门，十∞）上单调递减， 当4=1-8m>0,即m<g时，令了r)=0, s0.=s10=2..f+≤2. e 5 理数 参考答案及解析 所以，当m=1时，f(,r+1)≤2e 1 若OM⊥OP,即OM.OP=0. r+1+x 即：36m+63m2+20=0,方程无解，所以OM⊥OP 1. (12分) 不成立 (8分) 21.解：因为后-号，所以a=2,6=3 ②设直线F:P和椭圆E另一交点为Q,由椭圆的对 设桶圆方程为后十兰-1， (2分) 称性知Sr,,=2S6Mp=2SaQ· 义：1OF,=1 (x+2y-4=0, 由 消去x得4y-12y+12-3 S,=0那，l·1+w=12m 3m2+4 (10分) =0. 又因为直线1与椭圆E只有一个交点， 设t=m+1,则≥1，m=-1, 所以4=122-4×4(12-3c2)=0,解得2=1. -品一品在+止是说 121 所以椭圆E方程为号十苦=1 1 (4分) 函数， (2)①直线F,M不能平行于x轴，所以设直线F,M 当1=1时，Smp,5,取最大值3，此时m+1=1,即 的方程为x=my一1. m=0. (12分) (x=my-1 设M(x,y),由 ,得(3m+4)y2一 22.解：(1)x2= 1 += 4 3 y=sin'a cos a' ② 6my-9=0, “y-3m+6m+ ①-②，得x2一y2=1. 3m2十4 所以曲线C的普通方程为x2一y=1. (2分) 则=二4+6mVm十 由x=ocos0,y=psin0,可将pcos0-mpsin0-2=0 3m2+4 化为x一my一2=0. 同理：设直线FP的方程为x=my十1， 故直线1的直角坐标方程为x一my一2=0.(4分) (r=my+1 设P(x·”),由 得(3m十4)y°+ (2)由(1)知，直线1恒过点E(2,0),故可设直线1的 31 x=2+tcos 0 参数方程为 (其中1为参数)， 6my-9=0, y=tsin 0 “为-二3m+6vm+互 设M,N两点对应的参数分别是t1,: 312+4 将直线1的参数方程代人x2一y=1, 则=4+6mm十工 (6分) 3+4 得(2cos20-1)2+41cos0+3=0. 6 参考答案及解析 理数 因为直线1交曲线C的同支于M,N两点，曲线C 当-名<r<3时+4<5， 的渐近线方程为y=士x, 所以吾<0<平，所以0<cos0K号， r<1,又-<<3 由韦达定理，可得十丝= -4cos 0 -<<1. 2cos0-1'4e 2c0s0可<0，h与4异号. 3 当≤-名时，2-3r<5, (6分) 所以+六+- 1 >-1汉≤- -1K≤- (4分) =√(i+t)-4h2 tt: 综上，所求不等式解集为{x一1<x<1.(5分) -4c0s0 12 2cos0-1 2cos0-123-2cos0 (2)证明：因为y=f(x)+g(x)十p≥|m十n+p, 3 3 当且仅当(x一m)(.x十)≤0时取等号， 2cos20-1 (8分) 所以|m十n|十p=5, (6分) 因为m>一2，n>一3，p>一4，所以由柯西不等式， 由于0≤o0<多，从而22 号<M+EN 1 可知 3 Vm+2+√2(m+3)+√3(p+4)≤√1+2+3 √m+n+p+9≤6√Tm+n+p+9=2√2， 所以所求式的取值意围为（②号，2] (10分) (8分) 23.解：(1)当m=3,n=1时f(x)+g(2x)=|x-3|+ 当且仅当十="士3-生时等号成立， 2 2.r+1<5, 当x≥3时，3x-2<5, 所以√m+2+√2(n+3)≤2√2I-√3(p+4). (10分) <号含 (2分) 7 回2024届高三年级4月份大联考 在各题目的题这答,出定这的 在各题目的答题区结内作答,铅出的键形边整险定区显的答无效 理数答题卡 10.(12 李校 班: 姓名: 主结 考场号 准考证号 _位号 来 D r 号xo 贴条形码区 1π 18.(12 一 m 1E 单项选择题(每小题5分,共60分1 T 1□BD 711D nn 8B口 18适TI■ 41 语第口D CD 非选择面1共0分 15 17.(12) 请在各题日的答区强内作答,题出深色矩形边程限定区域的答案无效 请在各目的答题区域内作答,副出黑色题形达成定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出色距形这框敲定区域的答案无效 1 理数第1页(共6因) 理题 云盲共6页 1 理数(页 内作,的比区的效 20.(12 112分 请考生在第22.题中任选一题作答,好果多做,所做的第一 我所选的试题是一(本小题满分10分) 正的填:) 选 请在各题目的答题区域内作答,起出色短形边极限定区域的答案无效 请在各题目的答题区键内作答,题出家色超形边极现定区域的答案无效 请在各题目的答题区项内作答,题出黑色疑形边程效定区域的签案无效 i 理数r(共页 理 T(因) 理曹 *6)理数 序号 题号 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 考查能力 预计难度 1 1 客观题 选择题 5 单选题 集合 对数函数、指数函数计算、求交集 理解 运算求解能力 易 2 2 客观题 选择题 5 单选题 复数 共轭复数的模 理解 运算求解能力 易 3 3 客观题 选择题 5 单选题 平面向量 平面向量共线性质 了解 运算求解能力 易 4 4 客观题 选择题 5 单选题 立体几何 直线与平面的位置关系 了解 运算求解能力 推理论证能力 空间想象能力 中 5 5 客观题 选择题 5 单选题 函数 函数图象对称性 理解 运算求解能力 推理论证能力 数据分析能力 中 6 6 客观题 选择题 5 单选题 数列 数列找规律 了解 运算求解能力 推理论证能力 中 7 7 客观题 选择题 5 单选题 立体几何 根据外接球表面积求三棱锥的高 掌握 运算求解能力 推理论证能力 中 8 8 客观题 选择题 5 单选题 三角函数 三角函数性质 理解 推理论证能力 运算求解能力 中 9 9 客观题 选择题 5 单选题 统计 中位数定义、方差公式的考察 了解 运算求解能力 数据分析能力 中 10 10 客观题 选择题 5 单选题 三角函数、一元二次不等式 一元二次不等式性质、三角函数求值 理解 推理论证能力 运算求解能力 中 11 11 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线的综合 双曲线求离心率 掌握 运算求解能力 推理论证能力 难 12 12 客观题 选择题 5 单选题 函数与导数 函数、导数性质与不等式综合应用 探究 推理论证能力 运算求解能力 难 13 13 客观题 填空题 5 填空题 函数 函数性质 掌握 推理论证能力 运算求解能力 易 14 14 客观题 填空题 5 填空题 统计概率 独立重复试验求条件概率 掌握 推理论证能力 运算求解能力 易 15 15 客观题 填空题 5 填空题 圆锥曲线的综合 抛物线性质 了解 推理论证能力 运算求解能力 空间想象能力 中 16 16 客观题 填空题 5 填空题 平面向量 解三角形 理解 运算求解能力 推理论证能力 难 17 17 主观题 解答题 10 解答题 数列 等差数列求通项、裂项相消求和 掌握 运算求解能力 推理论证能力 数据分析能力 易 18 18 主观题 解答题 12 解答题 空间向量与立体几何 证明面面垂直、求两个平面夹角的余弦值 掌握 推理论证能力 运算求解能力 中 19 19 主观题 解答题 12 解答题 统计概率 独立性检验、求概率、利用数学期望进行判断 理解 运算求解能力 推理论证能力 空间想象能力 中 20 20 主观题 解答题 12 解答题 函数与导数 导数性质判断单调性、构造函数证明不等式 掌握 运算求解能力 推理论证能力 难 21 21 主观题 选做题 12 解答题 圆锥曲线的综合 椭圆性质综合应用 探究 推理论证能力 运算求解能力 难 22 22 主观题 解答题 10 选考题 坐标系与参数方程 极坐标与参数方程综合 探究 推理论证能力 运算求解能力 易 23 23 主观题 解答题 10 选考题 不等式选讲 柯西不等式应用 探究 推理论证能力 运算求解能力 易 理数原始 序号 知识板块 知识点 认知水平 考查能力 题型 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 知识板块 认知水平 考察能力 1 集合 集合的含义 了解 运算求解能力 选择题 主观题 集合 了解 运算求解能力 2 集合 元素与集合关系的判断 理解 数据处理能力 填空题 客观题 函数概念与基本初等函数Ⅰ 理解 数据处理能力 3 集合 集合的确定性、互异性、无序性 掌握 空间想象能力 作图题 立体几何初步 掌握 空间想象能力 4 集合 集合的分类 应用 应用意识能力 解答题 平面解析几何初步 应用 应用意识能力 5 集合 集合的表示法 探究 推理论证能力 计算题 算法初步 探究 推理论证能力 6 集合 子集与真子集 抽象概括能力 综合题 统计 抽象概括能力 7 集合 集合的包含关系判断及应用 创新意识能力 实验题 概率 创新意识能力 8 集合 集合的相等 推断题 三角函数 9 集合 全集及其运算 简答题 平面向量 10 集合 空集的定义、性质及运算 翻译题 三角恒等变换 11 集合 并集及其运算 写作题 解三角形 12 集合 交集及其运算 改错题 数列 13 集合 补集及其运算 选做题 不等式 14 集合 交、并、补集的混合运算 框图 15 集合 Venn图表达集合的关系及运算 常用逻辑用语 16 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的概念及其构成要素 圆锥曲线与方程 17 函数概念与基本初等函数Ⅰ 区间与无穷的概念 空间向量与立体几何 18 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的定义域及其求法 导数及其应用 19 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的对应法则 推理与证明 20 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的值域 数系的扩充与复数的引入 21 函数概念与基本初等函数Ⅰ 映射 计数原理 22 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的表示方法 概率与统计 23 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数解析式的求解及常用方法 几何证明选讲 24 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分段函数的解析式求法及其图象的作法 坐标系与参数方程 25 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分段函数的应用 不等式选讲 26 函数概念与基本初等函数Ⅰ 一次函数的性质与图象 27 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数的图象 28 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数的性质 29 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数在闭区间上的最值 30 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的单调性及单调区间 31 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数单调性的判断与证明 32 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数单调性的性质 33 函数概念与基本初等函数Ⅰ 复合函数的单调性 34 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇函数 35 函数概念与基本初等函数Ⅰ 偶函数 36 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数奇偶性的判断 37 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数奇偶性的性质 38 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇偶函数图象的对称性 39 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇偶性与单调性的综合 40 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图象 41 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图象与图象变化 42 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的周期性 43 函数概念与基本初等函数Ⅰ 抽象函数及其应用 44 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数恒成立问题 45 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的值 46 函数概念与基本初等函数Ⅰ 正整数指数函数 47 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分数指数幂 48 函数概念与基本初等函数Ⅰ 方根与根式及根式的化简运算 49 函数概念与基本初等函数Ⅰ 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 50 函数概念与基本初等函数Ⅰ 有理数指数幂的运算性质 51 函数概念与基本初等函数Ⅰ 有理数指数幂的化简求值 52 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的定义、解析式、定义域和值域 53 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图像与性质 54 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图像变换 55 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的单调性与特殊点 56 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数单调性的应用 57 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数型复合函数的性质及应用 58 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的实际应用 59 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数综合题 60 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数的概念 61 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数式与对数式的互化 62 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数的运算性质 63 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数值大小的比较 64 函数概念与基本初等函数Ⅰ 换底公式的应用 65 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的定义 66 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的定义域 67 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的值域与最值 68 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的图像与性质 69 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的单调性与特殊点 70 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的单调区间 71 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数图象与性质的综合应用 72 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数与对数函数的关系 73 函数概念与基本初等函数Ⅰ 反函数 74 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 75 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的图像 76 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的性质 77 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 78 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的实际应用 79 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的零点 80 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数零点的判定定理 81 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的零点与方程根的关系 82 函数概念与基本初等函数Ⅰ 根的存在性及根的个数判断 83 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二分法的定义 84 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二分法求方程的近似解 85 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数与方程的综合运用 86 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数最值的应用 87 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数模型的选择与应用 88 立体几何初步 构成空间几何体的基本元素 89 立体几何初步 棱柱的结构特征 90 立体几何初步 棱锥的结构特征 立体几何初步 棱台的结构特征 立体几何初步 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 立体几何初步 简单组合体的结构特征 立体几何初步 简单空间图形的三视图 立体几何初步 由三视图求面积、体积 立体几何初步 中心投影及中心投影作图法 立体几何初步 平行投影及平行投影作图法 立体几何初步 平面图形的直观图 立体几何初步 空间几何体的直观图 立体几何初步 斜二测法画直观图 立体几何初步 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 立体几何初步 棱柱、棱锥、棱台的体积 立体几何初步 球的体积和表面积 立体几何初步 球面距离及相关计算 立体几何初步 组合几何体的面积、体积问题 立体几何初步 平面的概念、画法及表示 立体几何初步 异面直线及其所成的角 立体几何初步 异面直线的判定 立体几何初步 空间中直线与直线之间的位置关系 立体几何初步 空间中直线与平面之间的位置关系 立体几何初步 平面与平面之间的位置关系 立体几何初步 平面的基本性质及推论 立体几何初步 平行公理 立体几何初步 空间图形的公理 立体几何初步 直线与平面平行的性质 立体几何初步 直线与平面平行的判定 立体几何初步 平面与平面平行的性质 立体几何初步 平面与平面平行的判定 立体几何初步 直线与平面垂直的性质 立体几何初步 直线与平面垂直的判定 立体几何初步 平面与平面垂直的性质 立体几何初步 平面与平面垂直的判定 平面解析几何初步 直线的倾斜角 平面解析几何初步 直线的斜率 平面解析几何初步 斜率的计算公式 平面解析几何初步 三点共线 平面解析几何初步 两条直线平行的判定 平面解析几何初步 两条直线垂直的判定 平面解析几何初步 直线的点斜式方程 平面解析几何初步 直线的斜截式方程 平面解析几何初步 直线的两点式方程 平面解析几何初步 直线的截距式方程 平面解析几何初步 中点坐标公式 平面解析几何初步 直线的一般式方程 平面解析几何初步 两条直线的交点坐标 平面解析几何初步 两点间的距离公式 平面解析几何初步 两点间距离公式的应用 平面解析几何初步 点到直线的距离公式 平面解析几何初步 两条平行直线间的距离 平面解析几何初步 圆的标准方程 平面解析几何初步 圆的一般方程 平面解析几何初步 轨迹方程 平面解析几何初步 点与圆的位置关系 平面解析几何初步 关于点、直线对称的圆的方程 平面解析几何初步 圆的切线方程 平面解析几何初步 直线与圆相交的性质 平面解析几何初步 直线与圆的位置关系 平面解析几何初步 圆与圆的位置关系及其判定 平面解析几何初步 相交弦所在直线的方程 平面解析几何初步 直线和圆的方程的应用 平面解析几何初步 圆方程的综合应用 平面解析几何初步 空间直角坐标系 平面解析几何初步 空间中的点的坐标 平面解析几何初步 空间两点间的距离公式 算法初步 算法的概念 算法初步 算法的特点 算法初步 排序问题与算法的多样性 算法初步 流程图的概念 算法初步 程序框图 算法初步 顺序结构 算法初步 选择结构 算法初步 循环结构 算法初步 设计程序框图解决实际问题 算法初步 程序框图的三种基本逻辑结构的应用 算法初步 伪代码 算法初步 赋值语句 算法初步 输入、输出语句 算法初步 条件语句 算法初步 循环语句 算法初步 秦九韶算法 算法初步 进位制 统计 简单随机抽样 统计 分层抽样方法 统计 系统抽样方法 统计 分布的意义和作用 统计 频率分布表 统计 频率分布直方图 统计 频率分布折线图、密度曲线 统计 茎叶图 统计 众数、中位数、平均数 统计 极差、方差与标准差 统计 用样本的频率分布估计总体分布 统计 用样本的数字特征估计总体的数字特征 统计 随机抽样和样本估计总体的实际应用 统计 散点图 统计 变量间的相关关系 统计 两个变量的线性相关 统计 最小二乘法 统计 线性回归方程 概率 随机事件 概率 概率的意义 概率 概率的基本性质 概率 互斥事件与对立事件 概率 互斥事件的概率加法公式 概率 等可能事件 概率 等可能事件的概率 概率 相互独立事件 概率 相互独立事件的概率乘法公式 概率 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 概率 古典概型及其概率计算公式 概率 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 概率 随机数的含义与应用 概率 模拟方法估计概率 概率 几何概型 三角函数 任意角的概念 三角函数 终边相同的角 三角函数 弧度制 三角函数 象限角、轴线角 三角函数 弧度制的应用 三角函数 弧度与角度的互化 三角函数 弧长公式 三角函数 扇形面积公式 三角函数 单位圆与周期性 三角函数 三角函数线 三角函数 任意角的三角函数的定义 三角函数 三角函数的定义域 三角函数 三角函数值的符号 三角函数 三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数 诱导公式的推导 三角函数 诱导公式的作用 三角函数 运用诱导公式化简求值 三角函数 三角函数的周期性及其求法 三角函数 正弦函数的图象 三角函数 正弦函数的奇偶性 三角函数 正弦函数的定义域和值域 三角函数 正弦函数的单调性 三角函数 正弦函数的对称性 三角函数 余弦函数的图象 三角函数 余弦函数的奇偶性 三角函数 余弦函数的定义域和值域 三角函数 余弦函数的单调性 三角函数 余弦函数的对称性 三角函数 正切函数的图象 三角函数 正切函数的定义域 三角函数 正切函数的值域 三角函数 正切函数的单调性 三角函数 正切函数的周期性 三角函数 正切函数的奇偶性与对称性 三角函数 同角三角函数间的基本关系 三角函数 同角三角函数基本关系的运用 三角函数 三角函数的化简求值 三角函数 弦切互化 三角函数 三角函数中的恒等变换应用 三角函数 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 三角函数 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 三角函数 已知三角函数模型的应用问题 平面向量 向量的物理背景与概念 平面向量 向量的几何表示 平面向量 向量的模 平面向量 零向量 平面向量 单位向量 平面向量 平行向量与共线向量 平面向量 相等向量与相反向量 平面向量 向量的加法及其几何意义 平面向量 向量的减法及其几何意义 平面向量 向量的三角形法则 平面向量 两向量的和或差的模的最值 平面向量 向量加减法的应用 平面向量 向量数乘的运算及其几何意义 平面向量 向量的共线定理 平面向量 向量的线性运算性质及几何意义 平面向量 平面向量的基本定理及其意义 平面向量 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量 平面向量的坐标运算 平面向量 平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量 线段的定比分点 平面向量 平面向量坐标表示的应用 平面向量 平面向量数量积的含义与物理意义 平面向量 平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 平面向量 数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量 向量在几何中的应用 平面向量 向量在物理中的应用 平面向量 平面向量的综合题 三角恒等变换 两角和与差的余弦函数 三角恒等变换 两角和与差的正弦函数 三角恒等变换 两角和与差的正切函数 三角恒等变换 二倍角的正弦 三角恒等变换 二倍角的余弦 三角恒等变换 二倍角的正切 三角恒等变换 半角的三角函数 三角恒等变换 三角函数的积化和差公式 三角恒等变换 三角函数的和差化积公式 解三角形 正弦定理 解三角形 正弦定理的应用 解三角形 余弦定理 解三角形 余弦定理的应用 解三角形 三角形中的几何计算 解三角形 解三角形的实际应用 数列 数列的概念及简单表示法 数列 等差数列 数列 等差关系的确定 数列 等差数列的性质 数列 等比数列 数列 等比关系的确定 数列 等比数列的性质 数列 等差数列的通项公式 数列 等差数列的前n项和 数列 等比数列的通项公式 数列 等比数列的前n项和 数列 数列的应用 数列 数列的求和 数列 数列递推式 数列 数列与函数的综合 数列 数列与不等式的综合 数列 等差数列与等比数列的综合 不等式 不等关系与不等式 不等式 不等式比较大小 不等式 一元二次不等式 不等式 一元二次不等式的解法 不等式 一元二次不等式的应用 不等式 二元一次不等式组 不等式 二元一次不等式的几何意义 不等式 二元一次不等式（组）与平面区域 不等式 简单线性规划 不等式 简单线性规划的应用 不等式 其他不等式的解法 不等式 基本不等式 不等式 基本不等式在最值问题中的应用 不等式 不等式的综合 框图 工序流程图（即统筹图） 框图 绘制简单实际问题的流程图 框图 流程图的作用 框图 结构图 框图 绘制结构图 常用逻辑用语 四种命题 常用逻辑用语 四种命题间的逆否关系 常用逻辑用语 四种命题的真假关系 常用逻辑用语 充分条件 常用逻辑用语 必要条件 常用逻辑用语 充要条件 常用逻辑用语 必要条件、充分条件与充要条件的判断 常用逻辑用语 逻辑联结词“或” 常用逻辑用语 逻辑联结词“且” 常用逻辑用语 逻辑联结词“非” 常用逻辑用语 复合命题 常用逻辑用语 复合命题的真假 常用逻辑用语 全称量词 常用逻辑用语 存在量词 常用逻辑用语 全称命题 常用逻辑用语 特称命题 常用逻辑用语 命题的否定 常用逻辑用语 命题的真假判断与应用 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的实际背景及作用 圆锥曲线与方程 椭圆的定义 圆锥曲线与方程 椭圆的标准方程 圆锥曲线与方程 椭圆的简单性质 圆锥曲线与方程 抛物线的定义 圆锥曲线与方程 抛物线的标准方程 圆锥曲线与方程 抛物线的简单性质 圆锥曲线与方程 双曲线的定义 圆锥曲线与方程 双曲线的标准方程 圆锥曲线与方程 双曲线的简单性质 圆锥曲线与方程 椭圆的应用 圆锥曲线与方程 抛物线的应用 圆锥曲线与方程 双曲线的应用 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的关系 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的综合 圆锥曲线与方程 曲线与方程 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 空间向量与立体几何 空间向量的概念 空间向量与立体几何 空间向量的基本定理及其意义 空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量与立体几何 空间向量的加减法 空间向量与立体几何 空间向量的数乘运算 空间向量与立体几何 空间向量运算的坐标表示 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量与立体几何 空间向量的夹角与距离求解公式 空间向量与立体几何 向量的数量积判断向量的共线与垂直 空间向量与立体几何 直线的方向向量 空间向量与立体几何 平面的法向量 空间向量与立体几何 空间点、线、面的位置 空间向量与立体几何 用向量证明平行 空间向量与立体几何 用向量证明垂直 空间向量与立体几何 异面直线 空间向量与立体几何 直线与平面所成的角 空间向量与立体几何 点、线、面间的距离计算 空间向量与立体几何 用空间向量求直线间的夹角、距离 空间向量与立体几何 用空间向量求直线与平面的夹角 空间向量与立体几何 用空间向量求平面间的夹角 空间向量与立体几何 二面角的平面角及求法 导数及其应用 变化的快慢与变化率 导数及其应用 导数的几何意义 导数及其应用 导数的加法与减法法则 导数及其应用 导数的乘法与除法法则 导数及其应用 导数的运算 导数及其应用 简单复合函数的导数 导数及其应用 函数的单调性与导数的关系 导数及其应用 利用导数研究函数的单调性 导数及其应用 函数在某点取得极值的条件 导数及其应用 利用导数研究函数的极值 导数及其应用 利用导数求闭区间上函数的最值 导数及其应用 定积分 导数及其应用 微积分基本定理 导数及其应用 定积分的简单应用 推理与证明 合情推理的含义与作用 推理与证明 进行简单的合情推理 推理与证明 归纳推理 推理与证明 类比推理 推理与证明 演绎推理的意义 推理与证明 演绎推理的基本方法 推理与证明 进行简单的演绎推理 推理与证明 合情推理和演绎推理之间的联系和差异 推理与证明 分析法和综合法 推理与证明 反证法 推理与证明 反证法的应用 推理与证明 数学归纳法 数系的扩充与复数的引入 虚数单位i及其性质 数系的扩充与复数的引入 复数的基本概念 数系的扩充与复数的引入 复数相等的充要条件 数系的扩充与复数的引入 复数的代数表示法及其几何意义 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的乘除运算 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的加减运算 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的混合运算 数系的扩充与复数的引入 复数求模 计数原理 分类加法计数原理 计数原理 分步乘法计数原理 计数原理 计数原理的应用 计数原理 排列及排列数公式 计数原理 组合及组合数公式 计数原理 排列数公式的推导 计数原理 组合数公式的推导 计数原理 排列、组合及简单计数问题 计数原理 排列、组合的实际应用 计数原理 排列与组合的综合 计数原理 二项式定理 计数原理 二项式系数的性质 计数原理 二项式定理的应用 概率与统计 离散型随机变量及其分布列 概率与统计 总体分布的估计 概率与统计 连续型随机变量 概率与统计 超几何分布 概率与统计 条件概率与独立事件 概率与统计 二项分布与n次独立重复试验的模型 概率与统计 离散型随机变量的期望与方差 概率与统计 概率的应用 概率与统计 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 概率与统计 相关系数 概率与统计 独立性检验 概率与统计 独立性检验的基本思想 概率与统计 独立性检验的应用 概率与统计 回归分析 概率与统计 回归分析的初步应用 概率与统计 可线性化的回归分析 几何证明选讲 平行截割定理 几何证明选讲 平行线等分线段定理 几何证明选讲 平行线分线段成比例定理 几何证明选讲 相似三角形的判定 几何证明选讲 相似三角形的性质 几何证明选讲 直角三角形的射影定理 几何证明选讲 圆周角定理 几何证明选讲 圆的切线的判定定理的证明 几何证明选讲 圆的切线的性质定理的证明 几何证明选讲 弦切角 几何证明选讲 圆內接多边形的性质与判定 几何证明选讲 与圆有关的比例线段 坐标系与参数方程 平面直角坐标系与曲线方程 坐标系与参数方程 极坐标系 坐标系与参数方程 简单曲线的极坐标方程 坐标系与参数方程 极坐标刻画点的位置 坐标系与参数方程 平面直角坐标轴中的伸缩变换 坐标系与参数方程 极坐标系和平面直角坐标的区别 坐标系与参数方程 点的极坐标和直角坐标的互化 坐标系与参数方程 坐标系的选择及意义 坐标系与参数方程 参数方程的概念 坐标系与参数方程 抛物运动轨迹的参数方程 坐标系与参数方程 参数的意义 坐标系与参数方程 参数方程化成普通方程 坐标系与参数方程 直线的参数方程 坐标系与参数方程 圆的参数方程 坐标系与参数方程 椭圆的参数方程 不等式选讲 不等式 不等式选讲 绝对值不等式 不等式选讲 不等式的基本性质 不等式选讲 绝对值三角不等式 不等式选讲 绝对值不等式的解法 不等式选讲 不等式的证明 不等式选讲 比较法 不等式选讲 综合法与分析法(选修） 不等式选讲 反证法与放缩法 不等式选讲 二维形式的柯西不等式 不等式选讲 一般形式的柯西不等式 不等式选讲 柯西不等式的几何意义 不等式选讲 排序不等式 $$ 1 2 2024届高三年级4月份大联考 理数试题 3 本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 铅笔涂黑。答案 写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 第Ⅰ卷 1.已知集合，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，知，所以 ；由 ，所以 .故选B. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 2.已知，则 ( ) A.2 B. C. D.1 [解析] 由，得，所以 ，所以 .故选D. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 3.在中，在边上，且，是边上任意一点，与交于点 ,若 ,则 ( ) A. B. C.3 D. [解析] 、、三点共线，设 ，则 ，又 ,所以,，所以 .故选C. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 4.设,为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下面为真命题的是( ) A.若 ， ， ，则 B.对于空间中的直线，若 ， ，，，则 C.若直线上存在两点到平面 的距离相等，则 D.若 ， ，则 [解析] 对于A:在长方体中，令平面是平面 ， √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 平面为平面 ，直线为直线，直线为直线 ，显然 ， ， ，此时直线,是异面直线，, 不平行，故A 错误；对于B:当 ， ，，时，只有, 相交时才 有 ，故B错误；对于C:若直线上存在两点到平面 的距离相等， 则 或与 相交，故C错误.对于D:因为 ，过作平面 和 平面 交于，则，而 ，故 ，又 ，故 ， 故D正确.故选D. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 5.在平面直角坐标系中，把到定点,距离之积等于 的点的 轨迹称为双纽线.若,点为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是 关于 轴不对称 关于 轴对称 ③直线与 只有一个交点 上存在点，使得 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 [解析] ①设到定点, 的距离之积为 4，可得 ，整理得 ，即曲线C的方程为 ，易得曲线C关于轴， 轴，原 点对称，图象如图所示， 所以①不正确，②正确；③联立方程组，可得 ，即 ，所以，所以直线与曲线C只有一个交点 ，所以③正确.④原点 满足曲线C的方程，即原点在曲线C上，则，即曲线C上存在点 与 原点重合时，满足 ，所以④正确.故选C. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 6.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报 出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2 024个被 报出的数应该为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] 报出的数字依次是1，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2， ,除了首项以外 是个周期为6的周期数列.故选A. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 7.已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥 外接球的表 面积为 ，则三棱锥 的高为( ) A.1 B. C. D. [解析] 如图，为等边三角形，设D为中点， 面 ，则,所以， ， 设三棱锥外接球的半径为,则 , 所以.由 ，解得 .所以三棱 锥的高为 .故选B. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 8.将函数的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关 于对称，则实数 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 由函数，将函数的图象向左平移 个单位长 度后，得到函数，又由 图象关于 对称，所以 ,，解得,，因为 ，所以 当时， 取得最小值，最小值为 .故选C. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 9.在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别 为、、…、，乙班的十个人成绩分别为,， ， .假设这两组数据中位数 相同、方差也相同，则把这20个数据合并后( ) A.中位数一定不变，方差可能变大 B.中位数可能改变，方差可能变大 C.中位数一定不变，方差可能变小 D.中位数可能改变，方差可能变小 √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 [解析] 不妨设,，则、、…、 的中位数为 ,、、…、的中位数为.， 或 ，则合并后的数据中位数是或者 ，所以中位数不变.设第一 组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为 ，合并后总数为20， 平均数为，方差为 ， . 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大.故选A. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 10.已知,若当时，关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，当时，， ，则 ， 即，所以 .故选A. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 11.设，为双曲线的上、下焦点，点为 的上顶点，以 为直径的圆交 的一条渐近线于,两点，若 ，则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知以为直径的圆的方程为 ，根据对称性，不妨设一条渐 近线方程为,联立得，，又，所以 ， ，则，即 .所以离心率 .故选C. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 12.某兴趣小组的几位同学在研究不等式 时给出一道题: 已知函数， .函数 ， 当时， 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 [解析] ，，当 时， ，令 ，则由 ，可得，，，则 ，在 恒成立，在上单调递减，, ; ,.令，易证 为增函数， ， 或,当 成立 时，有，所以或 .故选C. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第 题为选考题，考生根据要求作答。 13.已知函数为奇函数，且最大值为1.则函数 的最大值和最小值的 和为___. 2 [解析] 奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0.所以 最值之和为0.则 的最值之和为2.故答案为2. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 14.在四次独立重复试验中，试验每次成功的概率为 .则在至少成功1次的条件下，4次试 验全部成功的概率 为___. [解析] 在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为， .故答 案为 . 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 15.若直线与抛物线和圆 从左到右依次交于 点、、、，则 ____. 22 [解析] 由与联立得，设, ， ，则 ， ， .故答案为22. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 16.在中,的角平分线交边于点，若，，则 面 积的最大值为___. 3 [解析] 因为角的平分线交于点，则 ， 故，则.以 为坐标原点建立如图平面 直角坐标系， 则因为，，故，，设 ， 则化简可得，即 ，故 点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆除去,.故 时， 面积取最大值为 .故答案为3. 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17.（本小题满分12分） 已知等差数列满足，前项和为,是关于 的二次函数且最高次 项系数为1. （1）求 的通项公式； 解:因为为等差数列，设首项为，公差为 ， , ， .（2分） ， , .（4分） .（6分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 （2）已知，求的前项和 . 解: ， .（9分） .（12分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 26 18.（本小题满分12分） 如图是一个半圆柱，,分别是上、下底面圆的直径， 为 的中点，且,是半圆上任一点（不与、 重 合）. （1）证明:平面 平面，并在图中画出平面 与平面 的交线（不用证明）； 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 27 解:在上， , 由题意可知，,, 平面， 面，又 面 ， 平面 平面 .（3分） 过作的平行线交于点，则即为平面与平面 的 交线.（4分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 28 （2）若点满足，求平面与平面 夹角的余弦值. 解: ， , ，解得 ， , ,（6分） 所以以为原点，以为轴，过在平面内作 的垂线 为轴，过作的平行线为 轴建立空间直角坐标系. 则，，则平面 的一个法向量为 ，取 ，（8分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 29 又，,， ， 设平面的一个法向量为 ， 则,即，令,则 ,则 ,（10分） 设平面与平面夹角为 ，则 .（12分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19.（本小题满分12分） “直播的尽头是带货”，如今网络直播带货 越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否 持久带货的关键.某主播委托甲、乙两个工厂 为其生产加工商品，为了了解商品质量情况， 分别从甲、乙两个工厂各随机抽取了100件商 品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品， 统计的结果如下图: （1）根据独立性检验，判断是否有 的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 31 解:由题意得列联表如下: 一等品 非一等品 合计 甲 70 30 100 乙 60 40 100 合计 130 70 200 ，（2分） 所以没有 的把握认为商品为一等品与加工工厂有关.（3分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 32 （2）将样本数据的频率视为概率，现在甲、乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮 活动分别从甲、乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品 的概率； 解:两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为 ， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为 ；（5分） 两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为 ， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为 .（7分） 则两轮活动中恰有三个一等品的概率为: .（8分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 33 （3）综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商 品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若 执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品； 若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为 概率，以整箱检验费用的期望记为,所有赔偿费用的期望记为,以和 的 大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 附:，其中 . 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 34 解:由已知，每个零件为三等品的概率为 ，设每箱30个商品中的三等品个数为 ， 则，所以 .（9分） 若不进行检验，则， 元.（10分） 若进行检验，则总检验费用的期望值为元.因为 ，所以应 进行检验.（12分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 35 20.（本小题满分12分） 已知函数，的导函数为 . （1）讨论 的单调性； 解: ， 当，即时，此时， ， 故在 上单调递增.（2分） 当，即时，令 ， 则, . 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 36 ①当时，,在， 上单调递增，在 上单调递减.（4分） ②当时， ， 在上单调递减，在 上单调递增.（6分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 37 （2）当时，证明: . 证明:当时，证原不等式等价于证，令 ， 则,且,故只需证 ， 即证 ，（8分） 令 ， 则 ，（9分） 令，则 ,（10分） 在上单调递增，在上单调递减.又, ， 当时，，即，当时，，即 ， 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 38 在上单调递增，在 上单调递减， ， ， 所以，当时， .（12分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为；直线与 只有一 个交点. （1）求 的方程； 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 40 解:因为，所以， . 设椭圆方程为 ,（2分） 由消去得 . 又因为直线与椭圆 只有一个交点, 所以,解得 . 所以椭圆方程为 .（4分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）的左、右焦点分别为,，上的点,（,两点在轴上方）满足 . ①试判断（ 为原点）是否成立，并说明理由； [答案] 直线不能平行于轴，所以设直线的方程为 ， 设,由，得 ， ， 则 ； 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 42 同理:设直线的方程为 ， 设,由，得 ， ， 则 ；（6分） 若，即 ， 即:，方程无解，所以 不成立.（8分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 43 ②求四边形 面积的最大值. [答案] 设直线和椭圆另一交点为 ，由椭圆的对称性知 ， 又 ， .（10分） 设，则， , 在 上是减函数， 当时，取最大值3，此时,即 .（12分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 44 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（选修 ，坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（ 为参数）.以坐标原点为 极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程; 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 45 解: ， ① ， ② ，得 . 所以曲线的普通方程为 .（2分） 由 ， ，可将化为 . 故直线的直角坐标方程为 .（4分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 46 （2）已知点的坐标为，直线交曲线的同支于，两点，求 的取值 范围. 解:由（1）知，直线恒过点，故可设直线的参数方程为 （其中 为参数）， 设,两点对应的参数分别是， . 将直线的参数方程代入 ， 得 . 因为直线交曲线的同支于，两点，曲线的渐近线方程为 ， 所以，所以 ， 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 47 由韦达定理，可得，，与 异号.（6分） 所以 .（8分） 由于，从而 ， 所以所求式的取值范围为 .（10分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 48 23.（选修 ，不等式选讲）（本小题满分10分） 已知函数, . （1）当,时，解不等式 ； 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 49 解:当,时 ， 当时， ， （舍）.（2分） 当时， ， ，又 ， . 当时， ， 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 50 ，又 ， .（4分） 综上，所求不等式解集为 .（5分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）若,,，且函数 的最小值为5，证明: . 证明:因为 ， 当且仅当 时取等号， 所以 ，（6分） 因为,, ，所以由柯西不等式，可知 ，（8分） 当且仅当 时等号成立， 所以 .（10分） 2024届高三年级4月份大联考 理 数 LL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 52 53 $$