精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期末复习与检测试题

2023-2024学年第二学期浙教版八年级数学期末复习与检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）， 请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. x≥0且x≠-2 B. x≥-2且x≠0 C. x≥0 D. x≥-2 2. 在下面所给的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＜1 C. k＜1且k≠0 D. k≥1 6. 一场有19位同学参加的比赛，取前10名进决赛且所得分数互不相同．某同学知道自己的分数后要判断是否能进决赛，他只需要知道这19位同学所得分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足（不考虑风速的影响）．从，高空抛物到落地所需时间分别为，，则是的（ ） A. 2倍 B. 倍 C. D. 8. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 9. 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 29 D. 24 10. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一组数据的方差是则这组数据的标准差是_________． 12. 已知，则化简_______________． 13. 将方程整理成的形式为______． 14. 如图，在中，，，是斜边上的中线，点N是边上一点，点D，E分别为的中点，则的值是______． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，，则的周长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______． 三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）； 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某中学八年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题． （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整． （2）填表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 82.8 　 　 85 二班 84 75 　 　 （3）成绩B级以上（包括B级）为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多． 20. 如图，E，F是的对角线AC上两点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 21. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象相交于点与点，连结． （1）求一次函数与反比例函数表达式． （2）求的面积． （3）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 22. 年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元． 销售单价x（元/盒） 15 17 日销售量y（盒） 150 100 （1）求年糕饺日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式． （2）求年糕饺每盒的成本价． （3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？ 23. 如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上． （1）求证：． （2）现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题． ①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：． ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 24. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①分别求出A、B两点的坐标． ②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形． （3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期浙教版八年级数学期末复习与检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）， 请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. x≥0且x≠-2 B. x≥-2且x≠0 C. x≥0 D. x≥-2 【答案】B 【解析】 【分析】由分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 2. 在下面所给的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180度后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称阻形的关键是找对称轴，图形两部分沿对称轴折登后可重合． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项错误； B、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项正确； C、轴对称图形不是中心对称图形，故该选项错误； D、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的减法，二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握同类二次根式的定义，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的性质是解题的关键． 4. 已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．∵ ， ∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意； B．∵ ， ∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意； C．由 不能证明四边形是平行四边形，符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意； 故选：C． 5. 若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＜1 C. k＜1且k≠0 D. k≥1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况，判别式即可得到答案. 【详解】解：由题意知，△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式. 6. 一场有19位同学参加的比赛，取前10名进决赛且所得分数互不相同．某同学知道自己的分数后要判断是否能进决赛，他只需要知道这19位同学所得分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数． 【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以． 故选：B． 【点睛】中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．学会运用中位数解决问题． 7. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足（不考虑风速的影响）．从，高空抛物到落地所需时间分别为，，则是的（ ） A. 2倍 B. 倍 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把，代入，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴，即是的倍． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 8. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 9. 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 29 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝×12＝6，得到OD＝3，根据勾股定理得到OC＝＝5，根据菱形的性质得到OC＝OA＝5，则可求解菱形OABC的面积． 【详解】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴， ∴S△COD＝×12＝6． ∵CD＝4， ∴OD＝3． ∴由勾股定理得OC＝＝5． ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝OA＝5． ∴S菱形OABC＝OA•CD＝5×4＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义的应用，掌握反比例函数的比例系数的几何意义及菱形的性质是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一组数据的方差是则这组数据的标准差是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据标准差的定义进行计算． 【详解】解：标准差=． 故答案是：2． 【点睛】本题考查标准差的定义，解题的关键是根据方差算出标准差． 12. 已知，则化简_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出，再根据二次根式的化简法则即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 13. 将方程整理成形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先移项得到，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到． 【详解】解：方程， 移项：， 配方得：， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 14. 如图，在中，，，是斜边上的中线，点N是边上一点，点D，E分别为的中点，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据三角形中位线定理即可得到的值． 【详解】解：在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∵点D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：1 【点睛】此题考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，从而得出，由勾股定理得出，从而得出，再证明出得出，即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案； ∴； ②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案． 故答案为：， 【详解】解：①∵在上， ∴，即， 如图，连接，过作轴于，过作轴于， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， 同理可得：， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴， ， 如图，过作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∴，而， ∴，， ∴正方形的面积． 故答案为：， 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题． 三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先对每个二次根式进行化简，再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可得答案； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再将所得结果合并即可． 【详解】（1）解：原式＝ =； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是明确运算顺序，对于只有加减的运算，先化为最简二次根式，再算加减；对于含有乘除法的二次根式，先算乘除法，如果可以用乘法公式，利用乘法公式进行化简再合并同类二次根式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 解： ， 或， 解得． 【点睛】本题考查了因式分解法与公式法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 某中学八年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题． （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整． （2）填表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 82.8 　 　 85 二班 84 75 　 　 （3）成绩B级以上（包括B级）为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多． 【答案】（1）见解析 （2）85、100 （3）一班成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得一班C等级的学生数，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得一班的中位数以及二班的众数； （3）根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况． 【小问1详解】 一班C等级的学生有：， 补全的条形统计图如图所示； 【小问2详解】 把25个数据按大小顺序排列，最中间的是第13个数据 ， 而， 所以，一班的中位数在B等级，是85， ∵， ∴A等级出现次数最多， ∴二班的众数是100， 故答案为：85、100； 【小问3详解】 一班B级以上（包括B级）的人数为：（人）； 二班B级以上（包括B级）的人数为：（人）； ∵ ∴从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 20. 如图，E，F是的对角线AC上两点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可证明四边形为平行四边形； （2）过点C作交的延长线于点G，根据含角直角三角形的性质得到，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 如图所示，过点C作交的延长线于点G ∵， ∴ ∵ ∴的面积． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先将反比例函数即可求出解析式，再将代入解析式求出，最后将两点代入一次函数即可求出； （2）设一函数与轴交点，令，代入，求出点坐标，利用割补法即可求出的面积； （3）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：反比例函数表达式为 把代入反比例函数，得， 把代入， 得，解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，一次函数与轴交点，令，代入，则， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）知， 当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，掌握割补法求三角形面积和待定系数法求解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 22. 年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元． 销售单价x（元/盒） 15 17 日销售量y（盒） 150 100 （1）求年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式． （2）求年糕饺每盒的成本价． （3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？ 【答案】（1） （2）8（元/盒） （3）销售单价为13元/盒 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入中求出y的值，进而求出每一盒的利润，由此即可求出成本价； （3）根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式为， ∴， ∴， ∴年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式为， 【小问2详解】 解：把代入中得，， 每盒利润为（元） 成本价为（元/盒） 【小问3详解】 解：由题意得， ， 解得， ∵要尽可能让利顾客、扩大销售， ∴销售单价13元/盒． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． 23. 如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上． （1）求证：． （2）现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题． ①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：． ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后利用证明即可； （2）①首先根据题意证明出，然后得到，然后利用三角形内角和定理即可得到，进而证明出； ②根据题意分三种情况讨论：点在直线上，点在直线上和点在直线上，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 在正方形和正方形中， ，，， ． 【小问2详解】 ①证明：， ， ． ，， ， ． ， ， ． ②解：在正方形中， 平分， ， 根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类： Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则， ， ，， ， ． Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分， ， ，， ，，三点共线， ． Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点， ， ， ，， ， ． 综上所述：为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①分别求出A、B两点的坐标． ②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形． （3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】（1）是 （2）①点A的坐标为，点B的坐标为；②证明见解析； （3），或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到答案； ②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； （3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ②证明：，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ①如图，当时， ，， ，解得：， ； ②如图，当时， ，， ，解得：， ； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则， ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得：， ， ④如图，当时， ，， ，解：， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$