精品解析：2023-2024学年人教版八年级数学下册期末复习测试题

人教版八年级数学下册期末复习（3） 数学试题 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，总分30分） 1. 由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，5 C. ，2， D. 6，8，10 2. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2 3. 下列各式中，是最简二次根式是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A. 5 B. 3 C. D. 7. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（ ） A. 当点P与点A重合时，最小 B. 当点P与点D重合时，最小 C. 当最小时，A、E、C三点共线 D. 当最小时， 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点A在第二象限内，点B，C在第一象限内，已知，对角线交于点，将正方形向左平移，当点B移动到y轴上时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，总分18.0分） 11. 甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则________选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 12. 若有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在▱ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 _____． 15. 含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点 …，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是________ 16. 如图，正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于H，连接交于I．连接，则下列结论，①；②；③；④若，则．其中正确的是_______．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，总分27.0分） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段、、的长； （2）判断的形状，并说明你的理由． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 417 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 22. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题． （1）当时，轿车行驶速度为______千米小时； （2）轿车到达乙地后，货车距乙地______千米； （3）直接写出线段对应的函数表达式及定义域______； （4）出发后经过______小时轿车可以追上货车． 23. 在数学课外学习活动中，小明和他同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 24. 如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 25. 已知：如图，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点，并且． （1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由： （2）如图2，，点在线段上运动时（点F不与C、D重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八年级数学下册期末复习（3） 数学试题 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，总分30分） 1. 由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，5 C. ，2， D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据直角三角形三边的数量关系，运用勾股定理逆定理，依次对四个选项进行计算、判断即可． 【详解】解：A．，能组成直角三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，更不可能组成直角三角形，故B符合题意； C．，能组成直角三角形，故C不符合题意； D．，能组成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的平均数是1，得到，解得，结合众数的定义解答即可． 本题考查了平均数，众数，熟练掌握两数的定义是解题的关键． 【详解】根据数据的平均数是1，得到， 解得， 所以众数为1 故选A． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、是最简二次根式，故本选项合题意； D、，故本选项不合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 5. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长， 最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短． 故选：B． 6. 将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 7. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用角平分线性质和平行线性质，得到，利用等腰三角形性质，证明四边形为菱形，从而得到，利用勾股定理得到，进而得到，进而利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，角平分线性质，菱形的判定和性质，平行线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 8. 如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（ ） A 当点P与点A重合时，最小 B. 当点P与点D重合时，最小 C. 当最小时，A、E、C三点共线 D. 当最小时， 【答案】D 【解析】 【分析】以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，且，设交于点，再证明，利用等腰三角形的性质，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，连接． 等边三角形， ，，， ， ， ，， 点在射线上运动，且，设交于点， 则， 当时，的长最小，此时，则， ，， ， ，即：点为中点 ， ， ． 综上，当点为中点时，的长最小，此时； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点A在第二象限内，点B，C在第一象限内，已知，对角线交于点，将正方形向左平移，当点B移动到y轴上时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据正方形的性质以及勾股定理可得，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，则，根据，可得，再由，可得，从而得到当点B移动到y轴上时，正方形向左平移了个单位长度，即点M向左平移了个单位长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，． ∴． 如图，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，则， ∵， ∴，． 在中，由勾股定理得： ，解得（负值已舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴当点B移动到y轴上时，正方形向左平移了个单位长度， 即点M向左平移了个单位长度． ∴平移后点M的坐标为，即， 故选D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可． 【详解】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM， 由直线yx可知，∠MOA＝60°， ∴∠MOA＝∠OAM＝60°， ∴△OAM是等边三角形， ∴OA＝OM， ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∴∠OAQ＝∠MAP， ∴△OAQ≌△MAP（SAS）， ∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO， ∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动， 过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值， 此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°， ∴∠OBA＝30°， ∴AB＝2OA＝8． 故选：C． 【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动． 二、填空题（本大题共6小题，总分18.0分） 11. 甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则________选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差定义．根据题意利用方差定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵方差越小越稳定， ∴乙成绩更稳定， 故答案为：乙． 12. 若有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0， 解得x≥0且x≠3． 故答案为：x≥0且x≠3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 13. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，在中利用勾股定理列出方程，进而解答即可． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：． ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在▱ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 _____． 【答案】6或或 【解析】 【分析】当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH=EH，再计算出∠BPE=∠BEP=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF=EF=3，先求出BG=4，从而得到PF=4，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6． 【详解】解：当P点在BA上，BP=BE=6， 作BH⊥PE于H，如图1， 则PH=EH， ∵∠B=120°， ∴∠BPE=∠BEP=30°， 在Rt△BEH中，BH=BE=3，EH=BH=3， ∴PE=2EH=6； 当P点在AD上，BP=PE， 作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2， 则BF=EF=3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=60°， 在Rt△ABG中，AG=AB=4，BG=AG=4， ∴PF=4， 在Rt△PEF中，PE=； 当点P在CD上，如图3， EB=EP=6， 综上所述，PE的长为6或6或． 故答案为6或6或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质、勾股定理． 15. 含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点 …，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵含角的菱形， ∴， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 同理可得出：，则， 则点的坐标是：， ∴点的坐标是：． 故答案为：． 16. 如图，正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于H，连接交于I．连接，则下列结论，①；②；③；④若，则．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①过点作于点，证明和全等得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质可对结论①进行判断；②过点作于于于，根据角平分线性质得，进而得，则平分，从而得，再根据，得，由此得，据此可对结论②进行判断；③连接，过点作于交于点，证明和全等得，再证明和全等得，然后证明为等腰直角三角形得，则，进而得，据此可对结论③进行判断；④根据得，由此可求出的长，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点作于点，如图1所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②过点作于于于，如图2所示： ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③连接，过点I作于交于点T，如图3所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， 即， 由勾股定理得：， ， 即， 故结论③不正确； ④∵， ， ， ∵四边形为矩形， ， 在中， 由勾股定理得：， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，总分27.0分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 根据平方差公式，负整数指数幂和二次根式的乘法、加减法可以解答本题． 【详解】解：原式． 18. 已知，求的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查代入求值，二次根式的运算，运用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段、、的长； （2）判断的形状，并说明你的理由． 【答案】（1），， （2）时等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：，，； 【小问2详解】 解：时等腰三角形，理由如下： ， 时等腰三角形． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取的学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 41.7 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 【答案】（1）100；91 （2）七，七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好 （3）共有1308人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的概念求出、； （2）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答； （3）用样本估计总体，得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级测试评分为100的出现次数2，出现次数最多， ∴； 八年级饮食营养质量评分位于第8位的是91， ∴； 故答案为：100；91； 【小问2详解】 七年级的学生的测试评分较好，理由如下： 七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好； 【小问3详解】 两个年级学生评分为优秀的学生共有人． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，菱形的性质，矩形的判定； （1）先证明，再结合，，从而可得答案； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证； 【小问1详解】 证明：∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 22. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题． （1）当时，轿车行驶速度为______千米小时； （2）轿车到达乙地后，货车距乙地______千米； （3）直接写出线段对应的函数表达式及定义域______； （4）出发后经过______小时轿车可以追上货车． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据速度路程时间，即可得到答案； 根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度，然后即可计算出轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米； 根据函数图象中的数据，可以计算出线段对应的函数表达式，写出定义域； 根据函数图象中的数据，可以计算出段对应的函数解析式，然后令段对应的函数值等于段对应的函数值，求出相应的的值即可． 【小问1详解】 解：千米小时； 故答案为：； 【小问2详解】 由图象可得，货车的速度为， 千米， 即轿车到达乙地后，货车距乙地千米， 故答案为：50； 【小问3详解】 设线段对应的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即线段对应的函数表达式是； 故答案为：； 【小问4详解】 设段对应的函数解析式为， 点在该函数图象上， ，得， 段对应的函数解析式为， 段对应的函数解析式为， 令， 解得， 答：轿车在货车出发后经过小时可以追上货车， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 24. 如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】（1）①；②， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【小问1详解】 解：①由图和题意可知：大正方形的边长为； 故答案为：； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得； 故答案为：，； 【小问2详解】 用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：， ∴， ∴． 25. 已知：如图，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点，并且． （1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由： （2）如图2，，点在线段上运动时（点F不与C、D重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由. 【答案】（1） （2）四边形不能成为正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）先证，得到，继而，即可得出结论； （2）先证 ，得，从而得，又因为点F在线段上运动时(点F不与C、D重合），则P、E不重合，所以，即可得出结论． 小问1详解】 解：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和是直角三角形， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：四边形不能成为正方形，理由如下． ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点F在线段上运动时(点F不与C、D重合）， ∴P、E不重合， ∴， 即四边形不能成为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$