河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期开学检测数学试题

2024-2025学年高二上学期开学检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1． 选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则边所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．，，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 6．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 7．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。） 9．一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 10．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 11．已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．圆P的圆心坐标为 C．圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D．的最小值为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。） 12．求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程 . 13．点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） （14分）15．已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． （14分）16．已知直线交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)若的中点为为坐标原点，求的最大值. （15分）17．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. （16分）18．如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． (1)建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； (2)根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． （18分）19．已知点，曲线上任意一点均满足. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点，证明：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D B B B ABC ABC 题号 11 答案 BCD 5．D【详解】若表示椭圆，则有， 解得或.故选：D. 6．B【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 7．B【详解】圆的圆心，半径为1，因为，则， 由题意可知：，相交于圆心，则，整理得所以． 8．B【详解】设，，，若，则， 即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 由条件可知，圆与圆有交点， 则，解得：，所以的最大值为. 9．ABC【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：时，故A正确；对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确；对于D：时，故D错误； 10．ABC 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确，对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 11．BCD 【详解】对于A，椭圆C的方程可化为，则半焦距， 所以离心率，故A错误； 对于B，圆P的方程可化为，则圆心为，故B正确； 对于C，圆P上的点显然在椭圆C内， 联立可得， 而， 所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确； 对于D，设， 则 则， 所以时，取得最小值， 又B是圆：上一点，即可得, 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 12． 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 设直线方程为， 将代入得，解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 13．4 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得．故答案为：4． 14．【详解】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，   表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：.故答案为： 15．(1) (2)或 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标，则，解得． 故其半径．故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：，因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 16．(1)(2) 【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离为， 故，故，故直线的方程为，即. （2）设，因为是的中点，所以，所以， 又直线过定点，所以， 所以， 整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最大值为.   17．(1)(2) 【详解】（1）由条件设，因为所在的直线和垂直， ∴，∴∴，. （2）设，，因为，∴， ∴. ∴，，因为在，∴. ∴，∴，∴的方程为，即.   18．(1)直角坐标系见解析，，(2) 【详解】（1）以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由已知，圆的半径为，则半圆的方程为． 椭圆的短半轴长，又， 所以， 所以半椭圆的方程为． （2）设第一象限内的点的横坐标为，则，． 由得， 解得，此时．故达到最佳美观的效果时长为． 19．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设的坐标，由， 得， 化简，得，即. 故的轨迹方程为. （2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 当与轴不垂直时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为 由得. 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上， 方法二：当与轴重合时，. 当与轴不重合时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为. 由得. 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$