课时作业17 任意角和弧度制及三角函数的概念-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(十七) 任意角和弧度制及三角函数的概念 1.下列各角中,与43°角终边重合的是 ( ) A.137° B.143° C.-317° D.-343° 2.(2024·湖南省祁东县第一中学校联考阶段 练习)已知一扇形的圆心角为40°,半径为 9,则该扇形的面积为 ( ) A.9π B.12π C.18π D.36π 3.集合 αkπ+π4≤α≤kπ+ π 2 ,k∈Z 中 的 角 所表示的范围(阴影部分)是 ( ) A. B. C. D. 4.已知角α第二象限角,且 cosα2 =-cos α 2 , 则角α 2 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm, 则扇形圆心角(正角)的弧度数为 ( ) A.12 B. π 2 C.14 D. π 4 6.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负 半轴重合,终边在第三象限且与单位圆交于 点P - 55 ,m ,则sinα= ( ) A.- 55 B. 5 5 C.-2 55 D. 2 5 5 7.(2024·大理白族自治州民族中学质量检 测)已知角α 的终边落在直线y=2x,则 sinα的值为 ( ) A.2 55 B. 5 5 C.-2 55 D.± 2 5 5 8.(多选)已知角α的终边经过点P(-4m, 3m),(m≠0),则2sina+cosa的值可能为 ( ) A.35 B.- 3 5 C.25 D.- 2 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —032— 课时作业 9.(多选)(2024·江西萍乡统考质量检测)已 知角θ的终边有一点P(a,2a),若a<0,则 ( ) A.sinθ=- 55 B.sinθ=-2 55 C.tanθ=12 D.tanθ=2 10.(多选)下列各角中,与角495°终边相同的 角为 ( ) A.3π4 B.- 5π 4 C.-9π4 D. 13π 4 11.若α是第四象限角,则点Pcosα2 ,tanα2 在 第 象限. ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.建于明朝的杜氏雕 花楼被誉为“松江 最美的一座楼”,该 建筑内有很多精美的砖雕,砖雕是我国古 建筑雕刻中很重要的一种艺术形式,传统 砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如 图是一扇环形砖雕,可视为扇形OCD 截去 同心扇形OAB 所得部分,已知AD=1m, 弧AB=π3m ,弧CD=2π3m ,则此扇环形砖 雕的面积为 m2. 13.已 知 角 α 的 终 边 一 点 P 的 坐 标 为 sin5π6 ,cos5π6 ,则 角 α 的 最 小 正 值 为 . 14.已 知 角 α(0≤α≤2π)的 终 边 过 点 Psin2π3 ,cos2π3 ,则α= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —132— 班级: 姓名: 所以函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,2)单调递减, 在(2,+∞)单调递增, 所以函数f(x)有两个极值点,当x=1时函数取得极大 值,当x=2时函数取得极小值,故①错误,②③④正确. 故答案为:②③④ 7.答案:2 解析:f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6), 令f'(x)=0,解得x=2或6, 当x<2或x>6时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当2<x<6时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 故f(x)在x=2取得极大值,故极大值点为2. 故答案为:2 8.答案:-19 解析:因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3, 2], f'(x)>0,1<x≤2或-3≤x<-1, f'(x)<0,-1<x<1, 所以f(x)在[-3,-1),(1,2]单调递增,在[-1,1]单调 递减. 因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1, 所以 M=1,N=-19,故 MN=-19. 故答案为:-19 9.解析:(1)∵f'(x)=3x2+a,则f'(x)的最小值为f'(0)= a, 由题意可得:a=-34. (2)由(1)可得:f(x)=x3-34x+b ,x∈[1,2],则f'(x) =3x2-34 ,x∈[-1,2], 令f'(x)>0,解得12<x≤2 或-1≤x<-12 ;令f'(x) <0,解得-12<x< 1 2 ; 则 f (x)在 -1,-12 , 12,2 单 调 递 增,在 -12 ,1 2 单调递增, 且f 12 = 12 3 -34× 1 2+b=- 1 4+b ,f -12 = -12 3 +34× 1 2+b= 1 4+b , f(-1)=-1-34 (-1)+b=-14+b ,f(2)=23-34× +b=132+b , 且-14+b< 1 4+b< 13 2+b , 所以函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值 f(x) max= 13 2+b ,最小值 f(x) min=- 1 4+b , 又∵函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值与最小值的 和为7, 则13 2+b+ - 1 4+b =254+2b=7,解得b=38. 10.解析:(1)f(x)=ax3+bx,f'(x)=3ax2+b. ∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2, ∴f(1)=a+b=2,f'(1)=3a+b=0, 解得a=-1,b=3, ∴f(x)=-x3+3x, 经验证在x=1处取得极大值2, 故a=-1,b=3. (2)f'(x)=-3(x+1)(x-1), 令f'(x)>0,解得-1<x<1, 令f'(x)<0,解得x>1或x<-1, 因此f(x)在[-2,-1)单调递减,在(-1,1)单调递增, 在(1,3]单调递减, f(3)=-18<f(-1), 故函数f(x)的最小值是-18, f(-2)=2=f(1),故函数f(x)的最大值是2. 课时作业(十七) 1.C 与43°角终边重合的角为:α=43°+k·360°(k∈Z),则 当k=-1时,α=-317°,故C正确.经检验,其他选项都 不正确.故选:C. 2.A 因为40°=40× π180rad ,所以该扇形的面积为S=12 × π180×40 ×92=9π.故选:A 3.C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+ π 2 ,n∈Z,此 时α表示的范围与π4≤α≤ π 2 表示的范围一样;当k=2n +1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+n+ π 2 ,n∈Z,此时 α表示的范围与π4+π≤a≤ π 2+n 表示的范围一样,故 选:C. 4.C 因为角α第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+ k·360°(k∈Z), 所以45°+k·180°<a2<90°+k ·180°(k∈Z), 当k是偶数时,设k=2n(n∈Z),则45°+n·360°<α2< 90°+n·360°(n∈Z), 此时α 2 为第一象限角; 当k是奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则225°+n·360°< α 2<270°+n ·360°(n∈Z),此时α2 为第三象限角;综上 所述:α 2 为第一象限角或第三象限角, 因为 cosα2 =-cos α 2 ,所以cosα2≤0 ,所以α 2 为第三 象限角.故选:C. 5.A 设扇形的半径为r,圆心角为α(0<α<2π),由题意, 得 1 2r 2α=4 2r+rα=10 , 由2r+rα=10得,r= 102+α ,代入1 2r 2α=4, 得2α2-17α+8=0,解得α=12 或α=8(舍去). 故扇形圆心角的弧度数为1 2. 故选:A 6.C ∵P - 55 ,m 在单位圆即 - 55 2 +m2=1∴m2=1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —043— -15= 4 5∴m=± 2 5 5 终边在第三象限所以m<0,m= -2 55 ,所以P - 55 ,-2 55 所以sinα=m=-2 55 .故 选:C. 7.D 设直线y=2x任意一点P 的坐标为(m,2m)(m≠0), 则OP= m2+(2m)2= 5|m|(O 为坐标原点), 根据正弦函数的定义得:sinα=yr = 2m OP= 2m 5|m| , m>0时,sinα=2 55 ;m<0时,sinα=-2 55 ,所以选项 D正确,选项A,B,C错误,故选:D. 8.CD 已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0) 所 以 sinα = 3m (-4m)2+(3m)2 = 3m|5m| ,cosα = -4m (-4m)2+(3m)2 =-4m|5m| 则当m>0时,sinα=35 ,cosα=-45 ,此时2sinα+cosα =2×35+ (-45 )=25 ; 当m<0时,sinα=-35 ,cosα=45 ,此时2sinα+cosα= 2× -35 +45=-25; 所以2sinα+cosα的值可能为25 或-25. 故选:CD. 9.BD 由题知,因为a<0,所以点P(a,2a)在第三象限, 所以sinθ= 2a a2+(2a)2 = -2 55 ,tanθ=2aa =2 ,故 选:BD. 10.AB 对于A,495°=360°+135°,135°=3π4 ,故A正确;对 于B,与3π4 终边相同的角为α=3π4+2kπ ,k∈Z,当k=- 1时,α=-5π4 ,故B正确;对于C,令3π4+2kπ= 9π 4 ,解得 k=-32∉Z ,故C错误;对于D,令3π4+2kπ= 13π 4 ,解得 k=54∉Z ,故D错误.故选:AB. 11.CD 根据给定条件确定α2 角的范围,再确定cosα2 与 tanα2 符号,即可判断作答.因α是第四象限角,即2kπ- π 2<α<2kπ ,k∈Z,则kπ-π4< α 2<kπ ,k∈Z, 当k是奇数时,α2 是第二象限角,cosα2<0 ,tanα2<0 , 点P 在 第 三 象 限,当k 是 偶 数 时,α2 是 第 四 象 限 角, cosα2>0 ,tanα2<0 ,点P 在第四象限,所以点P 在第 三或四象限.故选:CD. 12.答案:π2 解析:设圆心角为α,则α=CD ︵ OD= AB︵ OA , 所以 2π 3 OA+1= π 3 OA ,解得OA=1m,所以OD=2m, 所以此扇环形砖雕的面积为1 2 ·CD︵·OD-12AB ︵·OA =12× 2π 3×2- 1 2× π 3×1= π 2m 2. 故答案为:π 2 13.答案:5π3 分析:根据坐标值符号确定α所在象限,由三角函数定 义求sinα,最后确定其对应的最小正角. 解析:因为sin5π6>0 ,cos5π6<0 ,所以角α的终边在第四 象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=- 3 2 , cosα=sin5π6= 1 2 ,故 角α 的 最 小 正 值 为5π3. 故 答 案 为:5π 3 14.答案:11π6 解析:sin2π3= 3 2>0 ,cos2π3=- 1 2<0 ,因此α在第四象 限,又0≤α≤2π,所以3π2<α<2π , tanα= -12 3 2 =- 33 ,所以α=11π6 . 故答案为:11π 6 . 课时作业(十八) 1.B 根据题意有cosα-sinαcosα = 3 3 ,即1-tanα= 33 ,所以 tanα=1- 33 ,所 以tanα+π4 =tanα+11-tanα= 2- 33 3 3 = 2 3-1,故选B. 2.D 方法一:∵α 为第二象限角,∴sinα= 1-cos2α= 1- -13 2 =2 23 , ∴tanα=sinαcosα= 2 2 3 -13 =-2 2. 方法二:∵cosα=-13 , ∴角α终边一点P 的坐标为(-1,2 2), 则tanα=2 2-1=-2 2. 故选:D. 3.A 因为tanθ=43 ,所以sinθ cosθ= 4 3 ; 因为sin2θ+cos2θ=1,所以169cos 2θ+cos2θ=1,解得cosθ =±35 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —143—