专题集训38 导数中的函数构造(含同构)问题-（配套练习）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

专题集训(三十八)　导数中的函数构造(含同构)问题 (时间：40分钟　满分：52分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(1—6题，每小题5分，共30分) 1.设a＝－，b＝－，c＝－，则(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 答案：B 解析：a＝－＝－－1，b＝－(－)－1，c＝－－1.令f(x)＝ex－x－1，所以f'(x)＝ex－1，令f'(x)＝ex－1＝0，得x＝0，当x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f()＞f()，所以c＞a.令g(x)＝(ex－x)－(e－x＋x)＝ex－e－x－2x(x＞0)，所以g'(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g()＞g(0)＝0，所以－＞＋，所以－－1＞＋－1，所以a＞b，所以b＜a＜c.故选B. 2.若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　) A. B.1 C.e D.2e 答案：B 解析：由x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，两边同除以x1x2得－≤－，即＋≤＋.令f(x)＝＋，则f(x)在(0，a)上为增函数，所以f'(x)≥0在(0，a)上恒成立.而f'(x)＝，可知f(x)在(0，1)上为增函数，所以0＜a≤1，所以a的最大值为1.故选B. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)＞0，且有f(3)＝3，则f(x)＞3e3－x的解集为(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，3) C.(1，＋∞) D.(3，＋∞) 答案：D 解析：设F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]＞0，所以F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.因为f(x)＞3e3－x等价于f(x)·ex＞3e3，即F(x)＞F(3)，所以x＞3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).故选D. 4. 设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，满足f(x)－xf'(x)＞0，若a＝4f(1)，b＝2f(2)，c＝f(4)，则(　　) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 答案：A 解析：因为f(x)满足f(x)－xf'(x)＞0，令g(x)＝，x≠0，则g'(x)＝＜0，所以g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，所以g(1)＞g(2)＞g(4)，即f(1)＞＞，所以4f(1)＞2f(2)＞f(4).所以a＞b＞c.故选A. 5.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则(　　) A.ab＞e B.b＞ea C.ab＜e D.b＜ea 答案：B 解析：由已知aea＜bln b，则ealn ea＜bln b.设f(x)＝xln x，则f(ea)＜f(b).因为a＞0，所以ea＞1.因为b＞0，bln b＞aea＞0，所以b＞1.当x＞1时，f'(x)＝ln x＋1＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea＜b.故选B. 6.(2025·辽宁部分重点中学协作体考试)设函数f＝ax·eax与函数h＝xln ＋2ln(x＋2)，当x∈，曲线y＝f与y＝h交于一点P，则－x0＝(　　) A.－2 B. －1 C. 1 D. 2 答案：D 解析：由题意得f(x0)＝h(x0)，即ax0·＝x0ln (x0＋2)＋2ln (x0＋2)，所以ax0·＝(x0＋2)ln (x0＋2)，所以·ln ()＝(x0＋2)ln (x0＋2).令g(x)＝xln x(x＞0)，则g()＝g(x0＋2)，g'(x)＝1＋ln x(x＞0)，由g'(x)＞0，得x＞，由g'(x)＜0，得0＜x＜，所以g(x)在上递减，在上递增，所以g(x)min＝g＝ln ＝－，所以当0＜x＜时，－＜g(x)＜0，当x＞时，g(x)＞－，当x0＞0时，x0＋2＞2，所以g(x0＋2)＞g(2)＝2ln 2＞0，所以g()＝g(x0＋2)＞0，所以，x0＋2∈.因为g(x)在上递增，所以＝x0＋2，所以－x0＝2.故选D. 二、多项选择题(7、8题，每小题6分， 共12分) 7.下列不等关系中正确的是(　　) A.＜ B.bea＞aeb(a＞b＞1) C.cos＜ D.sin 1.2＞ 答案：ABD 解析：对于A，＜⇔3ln 2＜2ln 3⇔ln 8＜ln 9，故A正确；对于B，设k(x)＝，x＞1，则k'(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，＋∞)上单调递增，因为a＞b＞1，所以k(a)＞k(b)，即＞，故bea＞aeb，故B正确；对于C，cos＜⇔cos＜1－＝1－，故构造f(x)＝cos x－1＋x2(x＞0)，则f'(x)＝x－sin x＞0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f＝cos－＞f(0)＝0，即cos ＞，故C错误；对于D，sin 1.2＞sin＝，故D正确.故选ABD. 8.已知函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，若当x＜0时，xf '(x)－f (x)＜0，且f (1)＝0，则(　　) A.2f(e)＞ef(2) B.当m＜2时，f(m)＞mf(1) C.3f (－π)＋πf(3)＜0 D.不等式f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞) 答案：ACD 解析：构造函数g(x)＝，其中x≠0，因为函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，所以g(－x)＝＝＝g(x)，故函数g(x)为偶函数，当x＜0时，g'(x)＝＜0，所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝0，则g(1)＝＝0，则g(－1)＝g(1)＝0.因为e＞2，所以g(e)＞g(2)，即＞，2f (e)＞ef (2)，故A正确；不妨取m＝1，则f (1)＝0，mf (1)＝0，B错误；因为偶函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(－π)＝g(π)＞g(3)，即＞，整理可得3f (－π)＋πf (3)＜0，C正确；当x＜0时，由f (x)＞0可得g(x)＝＜0＝g(－1)，解得－1＜x＜0，当x＞0时，由f (x)＞0可得g(x)＝＞0＝g(1)，解得x＞1.综上所述，不等式f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，D正确.故选ACD. 三、填空题(9、10题，每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若f'(x)sin x－f(x)cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f(x)＜2f()sin x的解集为　　　　. 答案：(0，) 解析：令F(x)＝，则F'(x)＝＞0，所以F(x)在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f(x)＜2f()sin x，可化为＜，即F(x)＜F().因为0＜x＜π，所以0＜x＜，即不等式f(x)＜2f()sin x的解集为(0，). 10.设实数m＞0，若对任意的x≥e，不等式x2ln x－≥0恒成立，则m的最大值是　　　　. 答案：e 解析：x2ln x－m≥0变形为ln x·≥.构造函数g(x)＝xex(x＞0)，则上述不等式等价转化为g(ln x)≥g.由g'(x)＝(1＋x)ex，易求得g(x)在(0，＋∞)单调递增，所以ln x≥，即m≤x ln x，只需m≤，设f(x)＝xln x，x≥e，则f'(x)＝ln x＋1＞0恒成立，所以f(x)min＝f(e)＝e，所以m的最大值是e. 学科网（北京）股份有限公司 $