第4章 微专题(二) 函数的公切线问题-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备

b>a; 又0<cos 12023<1 , 所以c= cos 12023 2023 < 1 2023=a , 即a>c,所以b>a>c. 【答案】 (1)D (2)B 【规律方法】 构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数,利用单调性,比较函数 值的大小; (2)构造不同的函数,通过比较两个函数的 函数值进行比较大小. [跟踪训练] 4.(1)(2024·山西联考)设a=12e ,b=lnπ2π , c=ln 33 ,则 ( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b (2)已知a=1012,b=1111,c=1210,则a,b,c 的大小关系为 ( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 微专题(二) 函数的公切线问题 函数的公切线问题,是导数的重要应用之 一,利用导数的几何意义,通过双变量的处理, 从而转化为零点问题,主要利用消元与转化, 考查构造函数、数形结合能力,培养逻辑推理、 数学运算素养. 求两函数的公切线 (2024·湘潭模拟)已知直线l是曲线 y=ex-1与y=lnx+1的公切线,则直线l 的方程为 . 【答案】 y=ex-1或y=x 【解析】 设直线l与曲线y=ex-1相切于 点P(a,ea-1),与曲线y=lnx+1相切于 点Q(b,lnb+1), 则ea=1b= lnb-ea+2 b-a , 整理得(a-1)(ea-1)=0, 解得a=1或a=0, 当a=1时,l的方程为y=ex-1; 当a=0时,l的方程为y=x. 【规律方法】 求切线方程时,注意区分曲线 在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 是y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0);求过某点 的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解. [跟踪训练] 1.(2024·南平模拟)已知曲线y=alnx 和曲 线y=x2 有唯一公共点,且这两条曲线在该 公共点处有相同的切线l,则直线l的方程 为 . 与公切线有关的求值问题 (2024·德阳模拟)已知曲线y=ex 在 点(x1,y1)处的切线与曲线y=lnx 在点 (x2,y2)处的切线相同,则(x1+1)(x2-1) 等于 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 【解析】 根据常用函数的导数可知 y=ex⇒y'=ex, y=lnx⇒y'=1x , 则两函数在点(x1,y1)和(x2,y2)处的切线 分别为 y-y1=ex1(x-x1), y-y2= 1 x2 (x-x2), 化简得y=ex1x+(1-x1)ex1, y=1x2 x+lnx2-1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 850 由题意可得 ex1=1x2 , (1-x1)ex1=lnx2-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 化简得x1x2+x2-x1+1=0⇒(x1+1)(x2 -1)=-2. 【答案】 B 【规律方法】 利用导数的几何意义解题,关 键是切点,要充分利用切点既在曲线上又在 切线上构造方程. [跟踪训练] 2.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈ R),若经过点A(0,-1)存在一条直线l与 f(x)的图象和g(x)的图象都相切,则a等 于 ( ) A.0 B.-1 C.3 D.-1或3 判断公切线条数 (2024·广州模拟)曲线C1:y=x2 与 曲线C2:y=lnx公切线的条数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解 析】 设 公 切 线 与 y=x2 的 切 点 为(x1,x21), 与y=lnx的切点为(x2,lnx2), y=x2 的导数为y'=2x,y=lnx 的导数为 y'=1x , 则在切点(x1,x21)处的切线方程为y-x21= 2x1(x-x1),即y=2x1x-x21, 则在切点(x2,lnx2)处的切线方程为 y-lnx2= 1 x2 (x-x2), 即y=1x2 x+lnx2-1, ∴ 2x1= 1 x2 , x21=1-lnx2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 整理得到x21-lnx1=1+ln2, 令f(x)=x2-lnx,x∈(0,+∞), 则f'(x)=2x-1x= 2x2-1 x , f'(x)>0⇒x> 22 ;f'(x)<0⇒0<x< 22 , ∴f(x)在区间(0,22 )上单调递减,在区间 (2 2 ,+∞)上单调递增, f(x)min=f( 2 2 )=12+ 1 2ln2<1+ln2 , 即函数 f(x)与y=1+ln2的 图 象 如 图 所示, 由图可知,函数f(x)的图象与直线y=1+ ln2有两个交点,则方程x21-lnx1=1+ ln2有两个不相等的正根,即曲线C1:y=x2 与曲线C2:y=lnx公切线的条数是2. 【规律方法】 运用导数与斜率之间的关系 可以将两曲线公切线的切点表示出来,构造 新的函数,通过零点存在定理判断函数零点 个数,即方程解的情况. 【答案】 C [跟踪训练] 3.已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1, 则f(x)和g(x)的公切线的条数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 求参数的取值范围 (2024·保定模拟)若曲线f(x)=kx (k<0)与g(x)=ex 有三条公切线,则k的 取值范围为 ( ) A.-1e ,0 B.-∞,-1e C.-2e ,0 D.-∞,-2e 【解析】 设公切线为l,P(x1,y1)是l与 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 950 f(x)的切点,由f(x)=kx , 得f'(x)=-kx2 ,设Q(x2,y2)是l与g(x)的 切点, 由g(x)=ex,得g'(x)=ex, 所以l的方程为y-y1= -k x21 (x-x1), 因为y1= k x1 , 整理得y=-kx21 x+2kx1 , 同理y-y2=ex2(x-x2), 因为y2=ex2, 整理得y=ex2x+ex2(1-x2), 依题意,可得 -kx21 =ex2, 2k x1 =ex2(1-x2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去x1,得4k=-ex2(x2-1)2, 由题意此方程有三个不相等的实根, 设h(x)=-ex(x-1)2, 即直线y=4k与曲线h(x)有三个不同的 交点, 因为h'(x)=ex(1-x2), 令h'(x)=0,则x=±1, 当x<-1或x>1时,h'(x)<0; 当-1<x<1时,h'(x)>0, 所以h(x)有极小值为h(-1)=-4e-1, h(x)有极大值为h(1)=0, 因为h(x)=-ex(x-1)2,ex>0,(x-1)2≥ 0,所以h(x)≤0, 当x趋近于-∞时,h(x)趋近于0; 当x趋近于+∞时,h(x)趋近于-∞, 故h(x)的大致图象如图. 所以当-4e-1<4k<0,即-1e<k<0 时,直 线y=4k与曲线h(x)有三个交点. 【答案】 A 【规律方法】 利用导数的几何意义,构造参 数关于切点横坐标或切线斜率k的函数,转 化成函数的零点问题或两函数的交点问题, 利用函数的性质或图象求解. [跟踪训练] 4.(2024·桂林模拟)若曲线C1:y=x2 与曲线 C2:y= ex a (a>0)存在公切线,则实数a的取 值范围是 ( ) A.(0,1) B.1,e 2 4 C.e 2 4 ,2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.e 2 4 ,+∞􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060 2f(x)]>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-∞,0)上单调 递增, 故x2f(x)>0⇒g(x)>0, 当x<0时,g(x)>0=g(-2),可得-2<x<0; 当x>0时,g(x)>0=g(2),可得x>2. 综上所述,不等式x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 2.A 令φ(x)=exf(x)-ex,x∈R, 则φ'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex =ex[f(x)+f'(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1,∴f(x)+f'(x)-1>0, ∴φ'(x)>0, ∴φ(x)在定义域上是增函数, 不等式exf(x)>ex+1可化为exf(x)-ex>1, 又φ(0)=e0f(0)-e0=1, ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0),故x>0, ∴原不等式的解集为{x|x>0}. 3.B 令g(x)=f(x)sinx,则g'(x)=f(x)cosx+f'(x) sinx, 当x∈ -π2 ,0 时恒有f(x)cosx+f'(x)sinx>0,所以 g'(x)>0, 则g(x)=f(x)sinx在 -π2 ,0 上单调递增, 所以g -π6 >g -π4 ,则 -12f -π6 >- 22f -π4 ,即 f (-π6 < 2f -π4 ,选 项 A 错 误; g -π6 >g(-π3),则-12f(-π6)>- 32f(-π3), 又f(x)为奇函数,所以-f(-x)=f(x),即f (π6 )> - 3f(- π3 ),选 项 B正 确;g(- π3 )<g(- π4 ),则 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),所以 3f(π3 )< 2f(π4 ),选 项C错误;由 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),得- 3f(π3 )> 2f(-π4 ),选项D错误. 4.(1)D (2)D (1)易知a=12e= lne 2e , b=lnπ2π ,c=ln 33 = ln3 2×3 , 令f(x)=lnx2x (x>0), 则f'(x)=1-lnx2x2 , f'(x)<0⇒x>e, 所以f(x)在(e,+∞)上单调递减, 又因为e<3<π, 所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b. (2)构造函数f(x)=(22-x)lnx,x≥10, f'(x)=-lnx+22x-1 , f'(x)=-lnx+22x-1 在[10,+∞)上单调递减, 且f'(10)=-ln10+115-1= 6 5-ln10< 6 5-lne 2= 6 5-2<0 , 所以f'(x)=-lnx+22x-1<0 在[10,+∞)恒成立, 故f(x)=(22-x)lnx在[10,+∞)上单调递减, 所以f(10)>f(11)>f(12), 即12ln10>11ln11>10ln12, 所以1012>1111>1210,即a>b>c. 微专题(二) 函数的公切线问题 跟踪训练 1.答案:2ex-y-e=0 解析:设曲线g(x)=alnx 和曲线f(x)=x2 在公共点 (x0,y0)处的切线相同, 则f'(x)=2x,g'(x)=ax , 由题意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0), 即 2x0= a x0 , x20=alnx0, 解得a=2e,x0=e, 故切点为(e,e), 切线斜率k=f'(x0)=2e, 所以切线方程为y-e=2e(x-e), 即2ex-y-e=0. 2.D 设直线l与f(x)=xlnx相切的切点为(m,mlnm), 由f(x)=xlnx得f'(x)=1+lnx, 可得切线的斜率为1+lnm, 则切线方程为y-mlnm=(1+lnm)(x-m), 将A(0,-1)代入切线方程可得 -1-mlnm=(1+lnm)(0-m), 解得m=1,则切线l的方程为y=x-1, 联立 y=x-1, y=x2+ax 可得x2+(a-1)x+1=0, 由Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3. 3.A 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m,f(m)), (n,g(n)),f'(x)=2x-4, g'(x)=-x-2,g'(n)=f'(m)=g (n-f(m) n-m , 解得m=-n -2 2 +2 ,代入化简得8n3-8n2+1=0, 构造函数h(x)=8x3-8x2+1, h'(x)=8x(3x-2), 则h(x)在(-∞,0),(23 ,+∞)上单调递增, 在(0,23 )上单调递减,极大值h(0)>0,极小值h(23 )< 0,故函数h(x)的图象和x轴有3个交点,方程8n3-8n2 +1=0有三个解,故公切线有3条. 4.D y=x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m, y=e x a (a>0)在点(n,e n a )处的切线斜率为e n a , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —803— 如果两个曲线存在公切线,那么2m=e n a . 又由斜率公式得到2m= m2-e n a m-n , 由此得到m=2n-2, 则4n-4=e n a 有解, 则y=4x-4,y=e x a 的图象有公共点. 当直线y=4x-4与曲线y=e x a 相切时,设切点为(s,t), 则e s a =4 ,且t=4s-4=e s a , 可得t=4,s=2, 即有切点(2,4),a=e 2 4 , 故a的取值范围是a≥e 2 4. 第五章 三角函数 第一节 任意角和弧度制及三角函数的概念 基础知识必备 1.(1)端点 (2)正 负 零 (3)α+k·360°,k∈Z 2.(1)半径 1弧度的角 (2)π (3)Rα 12lR 3.(1)y x yx (2)yr x r y x 考点知能突破 针对训练 1.答案:-675°和-315° 解析:所有与45°终边相同的角可表示为: β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z), 解得-765360≤k<- 45 360 (k∈Z), 从而k=-2和k=-1, 代入得β=-675°和β=-315°. 2.A 设扇形的弧长为l,则12l ·2=8,即l=8,所以扇形的 圆心角的弧度数为8 2=4. 故选A. 3.D 因为-1≤cosx≤1,且sin(cosx)>0,所以0<cosx ≤1,又sinx<0,所以角x为第四象限角,故选D. 4.A 由 三 角 函 数 定 义 可 知 Q 点 的 坐 标(x,y)满 足x= cos2π3=- 1 2 ,y=sin2π3= 3 2. 所以Q 点的坐标为 -12 ,3 2 . 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础知识必备 1.(1)sin2x+cos2x=1 (2)sinxcosx 2.-sinα -sinα sinα cosα cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα tanα -tanα -tanα 考点知能突破 针对训练 1.C 由诱导公式得sin(π-α)+cosα=sinα+cosα= 23 , 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29 ,则2sinαcosα =-79<0 , 因为α∈(0,π), 所以sinα>0,所以cosα<0, 所以sinα-cosα>0, 因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=169 , 所以sinα-cosα=43 ,故选C. 2.D sin π2+α ·tan(π+α)=cosα·tanα=sinα,因为 α∈(0,π),且cosα=-1517 ,所 以sinα= 1-cos2α= 1- -1517 2 =817 ,即sin π2+α ·tan(π+α)=817.故 选D. 3.答案:103 解析:3sinα+cosα=0⇒cosα≠0⇒tanα= - 13 , 1 cos2α+2sinαcosα = cos 2α+sin2α cos2α+2sinαcosα =1+tan 2α 1+2tanα = 1+ -13 2 1-23 =103. 第三节 三角恒等变换 基础知识必备 ①sinαcosβ-cosαsinβ ② tanα-tanβ 1+tanαtanβ ③cosαcosβ-sinαsinβ ④cos2α-sin2α ⑤ 2tanα 1-tan2α 考点知能突破 针对训练 1.答案:4sinα 解析:2sin(π-α)+sin2α cos2α2 =2sinα+2sinαcosα1 2 (1+cosα) = 4sinα(1+cosα) 1+cosα =4sinα. 2.解:因 为∠SOP=α,所 以 PS=sinα,SR=2cosα,故 S矩形PQRS=SR·RS=2cosα·sinα=sin2α, 故当α=π4 时,矩形的面积有最大值1. 3.答案:-4 3 解析:原式= 3×sin12°cos12°-3 sin12°(4cos212°-2) = 3sin12°-3cos12° 2sin12°cos12°(2cos212°-1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —903—