第3章 第8节 第1课时 函数的零点与方程的解、二分法-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备

【解析】 画出函数y=f(x)与y=k的图 象,如图所示. 由图可知,当0<k<1时,y=k和y=f(x) 的图象有三个交点,即方程f(x)=k有三 个不同的实根. 【答案】 (0,1) 当参数的不等关系不易找出时,可将函数 (或方程)等价转化为方便作图的两个函 数,再根据题设条件和图象确定参数的取 值范围. [针对训练] 2.(2024·福建厦门双十中学月考)(多选)对 任意 两 个 实 数 a,b,定 义 min{a,b}= a,a≤b, b,a>b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x) =min{f(x),g(x)},则 ( ) A.F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个不同的实根 C.F(x)在区间[-1,1]上单调递增 D.F(x)有4个单调区间 3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若 方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则 实数k的取值范围是 ( ) A.0,12 B.12,1 C.(1,2) D.(2,+∞) 4.函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0, 若x·[f(x)-f(-x)]<0,则x的取值范 围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把 使 的实数x叫做函数y=f(x)的 零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y=f(x)有 . 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且 ,那么 函数y=f(x)在区间 内有零点,即 存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函 数零点存在性定理. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象 与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 无 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 530 函数零点及其所在区间的判断 (一题多解)函数f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为 ( ) A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】 法一(定理法):函数f(x)=log3x +x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在 (0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲 线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log32>0, 根据零点存在性定理可知,函数f(x)=log3x +x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内. 法 二 (图 象 法):函 数 f(x)的零点所在的区间 转 化 为 函 数 g(x)= log3x,h(x)=-x+2图 象交点的横坐标所在的 范围.作出两个函数的图象如图所示,可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 【答案】 B 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用 函 数 零 点 存 在 性 定 理 进 行 判断 能够容易判 断区间端点 值所对应函 数值的正负 图象法 画出函数图象,通 过观察图象与x轴 在给定区间上是否 有交点来判断 容易画出函 数的图象 [针对训练] 1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是 ( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 确定函数的零点个数 (一题多解)函数f(x)= x2+x-2,x≤0, -1+lnx,x>0 的 零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】 法一(方程法):由f(x)=0, 得 x≤0, x2+x-2=0 或 x>0, -1+lnx=0, 解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2 个零点.故选B. 法二(图象法):函数f(x)的图象如图所示, 由图象知函数f(x)共有2个零点.故选B. 【答案】 B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则 有几个解就有几个零点. (2)定理法:利用定理不仅要求函数在区间 [a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f (b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如 单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定 函数有多少个零点. (3)图象法:转化为两个函数的图象的交点 个数问题.先画出两个函数的图象,看其交 点的个数,其中交点的横坐标有几个不同 的值,就有几个不同的零点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 630 [针对训练] 2.已知函数f(x)= ln(x-1),x>1, 2x-1-1,x≤1, 则f(x) 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 函数零点的应用 (1)函数f(x)=x2-ax+1在区间 12 ,3 上 有零点,则实数a的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.2,52 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 D.2,103􀭠􀭡 􀪁 􀪁 (2)已知函数f(x)= ex,x≤0, lnx,x>0, g(x)= f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的 取值范围是 . 【解析】 (1)由题意知方程ax=x2+1在 1 2 ,3 上有解,即a=x+1x在 12,3 上有 解,设t=x+1x ,x∈ 12 ,3 ,则t的取值范围是 2,103 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 .所以实数a的取值范围是 2,103􀭠􀭡 􀪁 􀪁 .故 选D. (2)函数g(x)=f(x)+x+a 存在2个零 点,即关于x 的方程f(x)=-x-a有2个 不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y =-x-a有2个交点,作出直线y=-x- a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可 知,-a≤1,解得a≥-1. 【答案】 (1)D (2)[-1,+∞) 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参 数的不等式(组),通过解不等 式(组)确定参数的取值范围 分离 参数法 先将参数分离,然后将原问题 转化成求函数值域的问题加以 解决 数形 结合法 将函数解析式(方程)适当变形, 转化为图象易得的函数与一个 含参的函数的差,在同一平面直 角坐标系中画出这两个函数的 图象,结合函数的单调性、周期 性、奇偶性等性质及图象求解 [针对训练] 3.函数f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区 间(1,2)内,则实数a的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 4.已知函数f(x)= 2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的 取值范围是 . 5.若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零 点,则实数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 730 -x),因为二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12 在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,且当x=4时, t=4,所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上 单 调 递 增,所 以 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在(2,4)上单调递增,在[4,6)上单调递减,故A错 误.因为t∈(0,4],所以y=lnt∈(-∞,2ln2],即f(x)∈ (-∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值,故B、C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6 -4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x- 2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) =f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D 正确.故选BCD. 5.解:(1)当a=12 时,f(x)=log12( 1 2x 2-x),由12x 2-x> 0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 利 用 复 合 函 数 单 调 性 可 得 函 数 f(x)的 增 区 间 为 (-∞,0),减区间为(2,+∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称 轴为x=12a. ①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数,则g(x)=ax2-x 在[2,4]上单调递减,且g(x)min> 0,即 1 2a≥4 , g(4)=16a-4>0, 此不等式组无解. ②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min>0, 即 1 2a≤2 , g(2)=4a-2>0, 解得a>12. 又a>1,所以a>1. 综上,实数a的取值范围为[1,+∞). 第七节 函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a) f(x)+b (2)f(ωx) Af(x) (3)-f(x) f(-x) -f(-x) (4)f(|x|) |f(x)| 考点知能突破 针对训练 1.D 先画出函数f(x)= x2,x≥0, 1 x ,x<0 的图象,如图①所示, 再根据函数f(x)与-f(-x)的图象关于坐标原点对称, 即可画出函数-f(-x)的图象,即g(x)的图象,如图②所 示.故选D. 2.ABD 根据函数f(x)=2-x2 与 g(x)=x2,画出函数F(x)=min {f(x),g(x)}的图象,如图.由图 象可知,函数F(x)=min{f(x),g (x)}的图象关于y轴对称,所以A 项正确;函数F(x)的图象与x 轴 有三个交点,所以方程F(x)=0有三个不同的实根,所以 B项正确;函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1, 0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调 递减,所以C项错误,D项正确。 3.B 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直 线g(x)=kx与直线AB 平行时斜率为1,当直线g(x)=kx 过A点时斜率为12 ,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时, k的范围为 12 ,1 .故选B. 4.答案:(-3,0)∪(0,3) 解析:函 数 f(x)的 图 象 大 致 如 图 所示. 因为f(x)为奇函数,且x·[f(x)- f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知,不等式的解集为(-3,0) ∪(0,3). 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0 (2)x轴 零点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 考点知能突破 针对训练 1.D 因为f(x)=3x-x2,所以f(-1)=3-1-1=-23< 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C 当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x≤1 时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1.故选C. 3.C 由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一 个零点在区间(1,2)内, 所以 f(1)<0, f(2)>0, 即 -a<0 , 4-1-a>0, 解得0<a<3, 故选C. 4.答案:(0,1) 解 析:画 出 函 数 f (x)= 2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0 的 图 象,如 图 所示. 由于函数g(x)=f(x)-m 有3个 零点,结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案:-14 ,2 解析:因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点, 所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x 在[-1,1]上有解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —403— 方程a=4x-2x 可变形为a= 2x-12 2 -14 , 因为x∈[-1,1],所以2x∈ 12 ,2 ,所以 2x-12 2 - 1 4∈ - 1 4 ,2 . 所以实数a的取值范围是 -14 ,2 . 第二课时 函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴 考点知能突破 针对训练 1.D 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5 千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最 高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最 少,故选项B错;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升 汽油,故选项C错;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率 比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省 油,故选项D对. 2.答案:(1)120 (2)80 解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而 且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出 的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系 应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m 描述,将表中数据代入可得 a(60-120)2+m=116, a(100-120)2+m=84, 解得 a=0.01,m=80, 所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种 植成本取到最低值80元/100kg. 3.答案:10 解析:设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天 支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他 费 用 每 天 比 前 一 天 少200× 0.03=6(元),所以x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).从而有y= 1 x (3x2-3x+300)+200×1.8=300x +3x+357≥417 ,当 且仅当300 x =3x ,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 第四章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 基础知识必备 1.f (x0+Δx)-f(x0) Δx 常数A f (x0+Δx)-f(x0) Δx A (x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 2.lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx 3.0 nxn-1 cosx -sinx axlna ex 1xlna 1 x 4.(3)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (4)f' (x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)2] (g(x)≠0) 5.y'u·u'x 考点知能突破 针对训练 1.ABC 对于A: 1lnx '=- 1ln2x·(lnx)'=- 1xln2x, 对于B:(x2ex)'=(x2+2x)ex, 对于C:(xcosx)'=cosx-xsinx, 对于D:x-1x '=1+1x2.故选ABC. 2.A 函数y=x2 与y=lnx+a的导函数分别为y'=2x, y'=1x. 设切点的横坐标为t(t>0), 则 t2=lnt+a, 2t=1t. 解得a=1+ln22 .故选A. 3.答案:2ex-y=0 解析:设切点坐标为(t,e2t), 因为f(x)=e2x,所以f'(x)=2e2x,f'(t)=2e2t,则曲线 y=f(x)在点(t,e2t)处的切线方程为y-e2t=2e2t(x-t). 由于该直线过原点,故-e2t=-2te2t,得t=12 ,则过原点 且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2ex,即2ex-y =0. 4.答案:2e 解析:设切点P(x0,y0),由y=lnx,得y'= 1 x , 由x2=ay,得y'=2ax , 则有 1 x0 =2ax0 , y0=lnx0, x20=ay0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a=2e. 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.单调递增 单调递减 常数函数 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=a(x-1)-1+1x= (x-1)(ax-1) x , 令f'(x)=0,则x1=1,x2= 1 a , ①若a=1,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增 函数; ②若0<a<1,则1a>1 , 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数, 当x∈ 1,1a 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 当x∈ 1a ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)是增函数; ③若a>1,则0<1a<1 , 当x∈ 0,1a 时,f'(x)>0,f(x)是 增 函 数,当 x∈ 1 a ,1 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —503—