精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

玉溪一中2024—2025学年上学期高三年级月考（二） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考籍号、考场号和座号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题p的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（ ） A. E与G相互独立 B. E与H相互独立 C. F与G相互独立 D. G与H相互独立 6. 已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数在上可导，其导函数且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极大值 C. 函数有极小值 D. 函数有极小值 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（    ） A. 筒车转动的角速度 B. 当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C. 当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D. 盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为 B. 若，则直线的倾斜角为 C. D. 若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______． 13. 如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为__________． 14. 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.（结果用表示） 四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，. （1）证明：； （2）点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值． 16. 如图，四边形ABCD的内角，，，，且． （1）求角B； （2）若点是线段上的一点，，求的值． 17. 已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M. （1）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； （2）若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程． 18. 已知函数 （1）证明：在区间存在唯一极大值点； （2）求的零点个数． 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. ①若，，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 玉溪一中2024一2025学年上学期高三年级月考（二） 数学 注意事项： 1,答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自已的学校、姓名、考籍号、考场号和座号填写在答题 卡上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号·回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.己知命题P:r∈N,ex≤e ,则命题p的否定为() ]x∈N,ex>e B.3xeN,ex≥e c.r∈N,erse D.VxeN,ex>er 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系即可得出结果. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命思D的否定为r∈N,ex>e 第1页/共28页 6学科网6组卷网 故选：D. 2.在复平面内，复数2对应的点在第一象限，则复数2(+)°对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可设z=a+bi,且a>0,b>0,由乘方运算可得z(1+i)=4a-4hi, 即可得出结论. 【年们猴盒设0+，且46eR,由金统：对应的点在营一套提利0>06>0 所以z-(1+i1)°=(a+bi(1+i)°=(a+bi(1+i+2i2=4(a+bi)）=-4a-4hi 易知复数2-(+i)°对应的点坐标为4a,4b),又4a<0,4b<0, 所以复数2(+)对应的点在第三象限 故选：C 2cosa+sin(a-")=0 3.已 6 ,则tan=() 5v5 5V5 A.-V5 B.- 3 c.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系得解. cosa+sin(a-)=2cosa+ 3 【详解】因为 -sin a- -sin a + cosa=0 6 2 2 2 tan a sina =3 所以 cosa 故选：A 第2页/共28页 6学科网命组卷网 4若西=血名x=1,则下列不等关系一定不成立的是() A>为> B>光>x2 Cx>光=x D.x>￥> 【答案】B 【解析】 1 【分析】由e·x3=lnx2x=1,可得 5=h6元，作出商数ey=nxy=(>0)的图象， 作出y=m,变换m的值即可得出答案， 【详解】因为e。=血本=】 则4=血5=J 1 3, 由e>0,得>1，>0 =e,y=lnx,y=-（x>0) 作函数 的图象，同时作出y=m, y=Inx V=x- 如上图，变换m的值可以发现>>，>=，>>均能够成立，>>不可能 成立 故选：B, 5.抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次 点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则() A.E与G相互独立 B.E与H相互独立 第3页/共28页 6学科网列组卷网 C.F与G相互独立 D.G与H相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义 P(AB)=P(A)P(B) 判断个选项的正误。 【详解】解：由题意得： Pm间-片.门-名-6.Pno-名-g.0-6日 2=1P(E)PG=2X9 111 P(EG)= 对于选项A: 36-18, 2918,P(EG)=P(E)P(G),所以E和G互相独 立，故A正确： 111 对于选项B: P(EH)P(E)P(H=-x 21224,P(EH)≠P(E)P(H),所以E和H不互相独 立，故B错误： 对于选项C: PF©=PPG=6Xg54,PFG)≠PF)P(O),所以F和G不互相独立了 36, 故C错误； 时于选项D:P(G=0P(GPH)=g×2=1O8,P(GHD≠P(GP(H0.所以G和H不 立，故D错误； 故选：A n-2 6.已知数列a}的通项公式为。=2n-13前项的和为s,则&取得最小值时u的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】 第4页/共28页 6学科网6组卷网 【分析】解法一：根据选项验证取得最小值时n的值即可 解法二：利用作差法判断数列的单调性，继而判断出数列的项的正负情况，即可确定答案， 【详解】解法一：由已知，易知4<0且a,<04>0且a>0,故S最小时为故选：B 解法三：由题意可知0.2。 可得01-a.三27--22=”-2m-13）”-22m-1 (2n-11)(2n-13) 9 (2n-11)(2n-13), 9 >0.<n< 令(2n-11(2n-13),则2 2 故当n=6时，a<4 令a-a<0.即2m-102n-1B)0,则n< 9 <0 2或U3 2, 即当n≤5或n≥7时，a,1<a,； 0品0.2a5 2, ，令二2n-130,则n=> =0 6以”品0，则r20号 则当n=l时，a>0,当n=2时.4=0， 当3≤n≤6时，a.<0,当n≥7时，a,>0, 第5页/共28页 命学科网命组卷网 故4>4=0>4>4>4>a6.4>a>4,>…>0 故当n=6时，S取得最小值， 故选：B 7.在下图所示直四棱柱ABCD-ABCD,中，底面ABCD为菱形， B=∠DB-.4=2, 点P在体对角 BD上，则顶点B到平面APC距离的最大值为() D B D 2 5 A B.2 C.2 D.√2 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC交BD于点O,由题意得AC⊥BD,接着建立空间直角坐标系求出向量AB和平面 AB.n 的法向量，即可根据向量法的点到平面距离公式d= 求解 APC n 同 【详解】连接AC交BD于点O, 由题意，得AC⊥BD,OB=OD=5AB= 第6页/共28页 6学科网命组卷网 OA=OC=AB2-OB2 -V 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， wgao小 4c-aio西-号0am-(a2.ta-Am05s 亚-+原-m-浮j(-02+92 D C B P i⊥AC 设平面4PC的-个法向量为n=(Ky,):则n⊥AP APC n.AC=3y=0 y=0 取 2 x=4入 则i=(4,021-1) 设顶点B到平面APC距离为d 第7页/共28页 命学科网命组卷网 AB.n 2元 22 V(42)2+(21-1)}V2022-4+1, 当元=0时d=0, 2 2 d= 当 时， 0<元≤1 -120-身+6- 所以当元2即=) 1 21 2时点B到平面APC距离最大为V162 故选：A 8已知西数f(冈的定义域为R,函数f(2x-)是奇函数，f(-)=f-4).当xe,2]时， 9 f(y)=a2-a.若f)+f④=-3，则J八4的值为() 33 65 33 65 A.16 B.16 C.16 D.16 【答案】A 【解析】 f(3)+f(4)=-3 【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据 求出“值，最后利用对称性和周期性计算 9 4的值即可 【详解】因为f(2x-)是奇函数，所以f(-2x-)=-f(2x-), 则f（x-)=-f(x-),故fx-2)=-f()】 又f-)=fx-4),所以fx-4)=-f(x-2).即f(x-2)=-f) 第8页/共28页 命学科网命组卷网 所以fx-④)=-f(x-2)=f(),则f（)的周期为4， 当x∈3,4时，x-2e[l2],又fw)=-fx-2), 则f6)+f④=-f0-f(2)=-3,即f()+f(2)=3,即4a-a=3,解得a=1, 则当x∈，2]时，f(x)=x2-1 由f=-fx-2),得fx+2)=-f(),又f(x-2)=-f(-x) )-)-)-(目-1君 故选：A, 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得α=1，再通过其对称性和周期性求出 的值 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9设函数()在R上可导，其导商数()且函数y=(1-f(內的图象如图所示，则下列结论中 定成立的是() A函数()有极大值(-2) B函数()有极大值(2) 第9页/共28页 6学科网 命组卷网 C.函数()有极小值f(0 D.函数)有极小值(2) 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值 【详解1庙图可知，x(∞2)，1-x>0,且-/(>0，则了()>0.f()在区间 (-0,-2)单调递增， 当x(-2,),1-x>0,且（-)f'()<0,则f()<0,f(在区间-2,1单调递减， 当x∈(，2)，1-x<0,且1-f(>0,则(y<0,f(在区同（2)单调递减， 当x(2,如），1-x<0,且1-f'(四0，则f()>0,f()在区间(2，)单调递指 所以函数f(:的极大值为f(-2),函数f()的极小值为(2) 故选：AD 10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图 画描绘了筒车的工作原理（图）·假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动 如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当1=0，盛水筒 M位于点B(3,-3V3), 经过t秒后运动到点P(x,),点P的纵坐标满足y=f()=Rsin(oM+p)( 20,0>0阿<2)，则下列叙述正确的是 第10页/供28页 6学科网命组卷网 图1 图2 0= rad/s A.筒车转动的角速度30 B.当筒车旋转10秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0 C。当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6N5 D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，确定函数解析式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可 【详解】A:因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒， 2元_元rad/s 所以0=60=30 因此A正确； B:因为当1=0时，盛水筒M位于点B3,-3V3),所以R=V3+(33列=6， 商以专0=6mp=35np=-9.以为州5.=子。 即f0=6sm01-). 所uf0)=6sm30x10-6sn0=0 因此B正确； C:由B可知：盛水筒M的纵坐标为35 ,设它的横坐标为x, 第11页/共28页 6学科网命组卷网 所以有Vx2+(-33)=6→x=3,因为筒车旋转50秒时，所以此时盛水筒M在第三象限，故 x=-3,盛水筒M和初始点B的水平距离为3-(（-3)=6，因此C错误， 元1-π=元→1=25∈(0,60] D:因为3032 所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中， 盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25s，因此D正确. 故选：ABD 1Ⅱ.已知抛物线=2mD>0)的焦点为F,过F的直线'交抛物线于AB 两点，以线段AB为直径的 圆交轴于 M,N 两点，设线段4B的中点为H,下列说法正确的是《) A若抛物线上存在一点B(,3),到焦点F的距窝等于4，则抛物线的方程为=4y 2 B.若AFBF=2p2,则直线AB的倾斜角为4 C.04-0B=-3 1 D.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠HMW的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】设直线1的方程为 =mx+ 2,与抛物线方程联立，由根与系数关系得出+2和2，A选 项可直接由焦半径公式列方程得出P的值，即可做出判断；选项BCD均可转化为坐标的计算，代入根与 系数关系，即可做出判断. 【详解】设A(x,Bx2,y2),直线1的方程为 =x+ 2, 第12页/供28页 6学科网6组卷网 y=mx+卫 x2=2py ,得x-2pmx-p2=0 则x+3=2pm,x52=-p2 所以%+为=m6++n=2pmr+p,y=日 4, 对于A：若抛物线上存在一 点B(,3),到焦点厂的距离等于4， 3+2=4 即EF上4，则2，解得p=2, 所以抛物线的方程为=4，放A正确： 对于B,FH8F卡0+号X0+2=2p2 即+号0+)+ -=2p2 ”4 代入y+⅓=2pm㎡+p,5=g 4 g+号x2pmr+pn+2=2 可得42 -=2p2 4 ,解得m=±l, π3π 所以1直线的斜率k=±1，即直线的倾斜角为4或4，故B错误； 对于C:010B=5+5=-p2+D=-3p 44，故C正确： 对于D:若点F到抛物线准线的距离为2，则P=2 所以抛物线方程为t=4y,片+与=4m2+2 连接HM,过点H作HC⊥x轴于点C, 第13页/供28页 可学科网命组卷网 x2=2py H 则l4.+2=2m+1 2 2 ImM4_当++卫_4m+2+2-2m㎡+2 2 2 2 所以m∠MN-C-2m-2mt2=1-】 1HM12(m2+1)2(m2+1)2(m2+1), 1 因为m2≥0，所以2(m2+1) 综上，sin∠HMN最小值为2，故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为1，HbB,)】 (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算△： (3)列出韦达定理： (4)将所求问题或题中的关系转化为了+，的形式： (5)代入韦达定理求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 第14页/共28页 学科网 命组卷网 12设随机变量x服从正态分布N(0,),若P(X≤x)=0.8,则P(X≤) 3 【答案】0.6#5 【解析】 【分析】由概率的性质结合对称性求解. 【详解1因为P(X≤)=0.8，所以P(X>)=0.2即P(X<-x)=0.2 则P(X≤)=P(-≤X≤)=1-2P(X>x)=0.6 故答案为：0.6 18.如图，在A△MBC中，已知MB=2,AC=4,∠B1C=60,BC,AC边上的两条中线MM,BN相交于 点P,则∠MPN的余弦值为 【答案】14拼14 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得BC=2W3,即△ABC为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量 夹角的坐标表示即可得出结果 【详解】在△ABC中，由余弦定理可得 BC=4B+AC2-24B-4Cc0ZB4C-4+I6-2x2x4x-12 ,即BC=23: 第15页/共28页 学科网命组卷网 因此满 BC2+AB=AC,可行△MBC是以∠ABC=90的直角三角形： 以B为坐标原点， BA,BC 分别为轴，’轴，如下图所示： M B A(2,0),B(0,0),C0,23,M(0,V3,N,v3AM=(-2,5,BN=,v3) 易知∠MPN即为向呈MM,BN 的夹角， 所以os∠MPN=cos(AM,）- AM.BN_-2+31V万 AM BN7x2 2V714 √万 故答案为：14 14.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构 成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠 宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在 前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有 颗珠宝；则第n件首饰所用珠宝总数为 颗.（结果用n表示） 第16页/供28页 6学科网组卷网 图1 图2 图3 图4 【答案】 ①.66 ②.2n2-n 【解析】 【分析】分析数据规律可得，-a1=4n-3 ,再利用累加法即可求解 【详解】设第”件首饰上的珠宝颗数为，则4=1,4=6,4=15,4，=28.4，=45 因为4-4=4×1+1,4-4=4×2+1，a,-4,=4×3+14,-Q,=4×4+1 所以猜想，-a1=4(n-)+1=4n-3 所以推断。-4，=4×6-3=21 即a=4+21=66 由an-an=4n-3 则4-a2=4(n-）3,4-4=4×2-3 以上备式相如得%，-4=4a+n-1++2）-3a-)-0-1a+2）-30a-）=2-n-1 2 所以0，=2n2-n 故答案为：66,2n2-n 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17页/供28页 6学科网 命组卷网 15.如图，在正四棱柱 ABCD-AGD中.B=24M=4,点开，P,G,日分别在棱 AA,BB,CC,DD,上， AE=1,BF=DH=2,CG=3 A B H D (1)证明：EH/FG: (2)点P为线段 D.H BEG 的中点，求平面PG与平面 夹角的余弦值， 【答案】(1) 取CC中点Q,BF中点M,连接EM,Mg,QH,则 M=BF=l,G0=3-2=1 2 由正四棱柱 BCD-ABGD得，DD∥CC,DD=CC,CD∥AB,CD=AB.且FM∥GQ 又点H,Q为DD,CG中点，所以DH∥C2,DH=CQ,即四边形Di0C为平行四边形， HQ∥DC∥AB∥EMHQ=DC=AB=EM 同理可得，四边形AEMB为平行四边形，所以 则H∥EM,H0=EM EH∥MQ 所以四边形EMQH为平行四边形，所以 第18页/供28页 6学科网6组卷网 FM=GQ=1,FM∥GQ MQ∥FG 因为 ,所以四边形MQGF为平行四边形，所以 所以EH IFG √万 (2)14 【解析】 【分析】(1)利用作辅助线，结合平行四边形的性质证明线线平行，即可证明结论； BEG (2)建立空间直角坐标系，求出平面PEG与平面 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答 案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点DA,DCDD为，，：轴建系如图， B P H D 易得E(2,01,B(2,24),G(02,3),P(0,0,3) 则E=(（-20,2),EG=(-2,2,2),EB=(0,2,3). 设平面PG与平面BBC法向是分别为成=（化y动元=m儿） m-EP=0 「-2x+2z=0 m:BG=0即{-2x+2y+2=0 令x=1则m=,0 第19页/共28页 命学科网命组卷网 n.EB=0 [2n+3p=0 由 n-BG=0:即{-2m+2n+2p=0令 n=3则元=3，-2) 设平面P8G与平面BEG的夹角为a,则cc(元，网非"-2=门 V2×V1414, √万 故平面PEG与平面BEG夹角的余弦值为14· 16如图，四边形ABCD的内角B+D=元，AB=3,DA=l,BC=CD,且4C=V7 (1)求角B: (2)若点P是线段AB上的一点，PC=V5,求PA的值。 2 【答案】(1)3 (2)2 【解析】 【分析】(I)设BC=CD=x>0,在△ABC、△ACD分别利用余弦定理可得出关于x、COsB的方程 组，解出COsB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值： (2)利用正弦定理可求得∠BPC= 2,利用勾股定理求出PB,即可求得PA的长 【小问1详解】 设BC=CD=x>0. 在△ABC 由余弦定理得 4C2=9+t-2×3 B=7,即￥+2=6 B ， 第20页/共28页 学科网命组卷网 又在4AC 中响余弦定理得4C2=1+-2x1 xcosD=7,即-6=2 cD@. 因为B+D=元，则coSD=cOs(π-B)=-cOsB 联立①②可得x=2(负值舍去)，c0sB、./》 B=2,因为B∈(0，)，所以5=3， 【小问2详解】 BC PC 在△PBC中，由正弦定理知，sin∠BPC sin B, 所以sin∠BrC=BCsin2 2=1, PC 3 又0<∠BPC<,故∠BPC- 2, 在直角三角形△PBC中，由勾股定理知，PB=VBC2-PC2=1, 此时PA=AB-PB=2」 y2 5 17.已知椭圆C:a+=l(a>b>0),且该椭圆的离心率为2，直线1不过原点0且不平行于坐标 轴，I与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与直线I的斜率的乘积为定值： (2)若直线1的方程为x-2y+2N2=0,延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形O1PB为平行四边形。 求椭圆C的方程， 【答案】(1) 第21页/共28页 6学科网命组卷网 2=1- 23 依题意，因为 a2=4,所以a2=4b2 d b2 设 ,则 A(xy2),B(xy2),M(xu,yu) a2+b2 两式相减可得(G-)+口2(-)=0 -g-6-1-4+-1 得-==4，即（偶-）+)4， 因为M为线段AB的中点， 则+名=2xwy+⅓=2yw 直线OM的斜率kaw= xM,直线I的斜率 =出当 x1-x2, 于是得4w=二业.2=-⅓0+)1 名-为32xM(x-x2)(x+x)4是定值， 所以直线OM的斜率与直线I的斜率的乘积为定值 (2) +上 16*41 【解析】 【分析】(1)根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解 (2)联立直线1与椭圆C的方程，结合(1)的信息及已知求出点P(-2V2,V2), 即可求得椭圆C的方程 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第22页/供28页 6学科网命组卷网 设点P的坐标为Pyn), Jx=2y-22 由x2+4y2=4h2,消去x并整理得：2y2-2V2y+2-6=0 则片+乃=V2,x+龙=2(y+2)-42=-22 又四边形OAPB为平行四边形，即线段AB与线段OP互相平分， x,=2xM=x+x2=-2V2 y=2yw=%+%=2,即点p-22,2 则 丽卫在糖国c上，于是限4份十是，根D=44的6 所以椭圆C的方程为：164 f(x)=Inx-x+2sinx 18.已知函数 （1)证明：f四在区间0，)存在唯一极大值点； (2)求f闲的零点个数。 【答案】(1) 设86)=()=-1+2cosx 当x∈(0，)时， g'6)=-2sinx-2<0 所以8W在0，刊上单调递减 第23页/共28页 6学科网命组卷网 所以g(x)在3’2上有唯一的零点a, 即函数（田在0， 上存在唯一零点， 当xe(0,四时，f(>0,f田在(0，@上单调递蜡： 当xe(a,时，f()<0,f因在a网上单调递减， 所以f四在0，刊)上存在唯一的极大值点口 (2) f(x) 有且仅有两个零点 【解析】 【分析】(1)求出导函数的导数，可知导函数单调递减，再由零点存定理知导数在区间上有唯一零点， 即可得出原函数有唯一极值点： (2)分区间讨论，可确定函数在 ,四上存在两个零点，再讨论函数在G20时，xe2元，切） 时的 单调性，利用最值确定函数无零点 【小问1详解】 略 【小问2详解】 @南加：在0对上存-前板大位台行a到引 所以fa>j =h子+2>2-0 1 又因为 /=-2-2+2im22<=2 e2+2<0 所以f四在0，四上拾有一个零点。 f(π)=lnπ-π<2-π<0 又因为 第24页/共28页 命学科网命组卷网 所以f田在a,对 在 上也恰有一个零点， ②当xe2时，R则six≤0，f)≤血-x, 设)=lhx-xhi)=！-1<0 所以)在压，2)上单调道波，所以h)≤h网<0， 所以当x∈，2四时.f)≤A()s()<0 时， 成立， 所以f田东[元，2m) 在 上没有零点 ③当xe2元，+o时，f≤I血x-x+2 设()=nr-x+2,0'()=1-1<0 所以)在2，O)上单调递减。 所以)5p2x)=lh2x-2m+2<2-2m+2=4-2元<0 所以当x∈2元，+切）时，f)≤o()sp(2)<0 恒成立， 所以f四在2x+o 上没有零点 f(x) 综上， 有且仅有两个零点. (0,) 【点睛】关键点点睛：在分析函数零点时，首先要分区间讨论，结合(1)可确定函数在 上零点个数， 其次分析当x2风时，利用放缩法可 f(x)≤lnx-x ，构造函数 h(x)=Inx-x ,利用导数确定最大 值小于0，即可判断函数无零点，最后讨论当x∈[2元，+o 时，放缩≤nx-x+2 即可利用类似方法 确定函数无零点， 第25页/供28页 命学科网命组卷网 19.“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展地摊经济”，在元宵节 举办形式多样的猜灯谜活动 (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠， 抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片， 其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若 抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上 一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等， 小明准各采用如下策略：不摘前k(1≤k<m)条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适 合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设k=n,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P. ①若n=4,k=2,求P: ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值·（取 1.1 1 +…+ kk+1 =In n-1k) 3 【答案】(1)5 5 (2)①12；②P的最大值为e,此时t的值为e. 【解析】 【分析】(1)由分类加法原理和分步乘法原理求解： (2)①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是 第26页/共28页 命学科网命组卷网 最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果： P(4) ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出 再用导数求出最值即可 【小问1详解】 8张完全相同的卡片，3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，由抽取规则可知， 33332332133 该顺客取到写有B卡片的概率为P8十8×气+8×气*。十8×号×。×行3. P= 【小问2详解】 ①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有 4=24 种情况 要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况： 最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置， A?=6种情况， 2A3=4 最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条，其他的灯谜随意在哪个位置，有 种情况 6+45 P=- 故所求概率为 2412 ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件B,表示最适合的灯谜在灯谜中排在第J条， 因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以P n 以给定所在位置的序号作为条件， P(A)=EP(4IB)P(B)=IEP(4IB) 当1≤j≤k时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时P(4B,)=0, 当f+1sjsn 1-1 时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前 条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时， 第27页/共28页 6学科网6组卷网 由全率公式P(4)立点=纪！-5n: n kj-l nkj n k, 令资(=7n(x>0),g)=n”-1 n n x n, 令g四=0，则-8. 0,gw0.re8所，g0. 当e0,”） n 0, n -,n 所以g(x)在e上单调递增，在(e上单调递减 所以当-时.P)= k=n nk取得最大值，最大值为e,此时e 即P的最大值为e,此时t的值为e: 【点睛】方法点睛： 全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题 第28页/供28页