精品解析：鲁教版（五四制）2023-2024学年七年级数学下册期末模拟试卷（二）

2023-2024学年度鲁教版七年级数学下册期末模拟（二） 一．选择题（共12小题，满分48分） 1. 社会主义核心价值观中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．现将12个词语写在12张不透明的卡片上（背面完全一样），背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到社会层面价值取向的卡片的概率为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠B=58°，∠C=32°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A. 56° B. 58° C. 60° D. 68° 3. 已知|2x+y+3|+（x-y+3）2=0，则（x+y）2019等于（ ） A. 2019 B. -1 C. 1 D. -2019 4. 能把三角形的面积分成相等的两部分的线段是（ ） A. 三角形的中线 B. 三角形的高 C. 三角形的角平分线 D. 三角形的中线和高 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=34°，则∠FGC为（ ） A. 34° B. 48° C. 56° D. 68° 7. 若数使关于不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分，若，则长为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 8 9. 如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③ D. ④ 11. 学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（    ） A. B. C. D. 12. 如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分） 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 14. 不等式组的最小整数解是__________． 15. 一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为______千米/小时． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长为__________． 17. 如图，爱思考的小红观看舞蹈时，发现某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知ABCD，∠BAE=93°，∠DCE=116°，则∠E的度数是______． 18. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求出m的取值范围_____． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 解方程组和不等式组： （1） （2） 20. 请先阅读下列材料，再解决问题． 例题:已知，求证: 证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式两边同时加上m，得 仿照上例，证明下题：已知，求证． 21. 已知方程组和方程组有相同的解，则m的值． 22. （1）如图①，小明同学作出两条角平分线，得到交点，就指出若连接，则平分，你觉得有道理吗？为什么？ （2）如图②，中，，，，的角平分线上有一点，设点到边的距离为.（为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：最大值为. 小何发现：当时，连接，则平分. 请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由. 23. 为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢． 项目 学生数 长跑 短跑 跳绳 跳远 200 √ × √ √ 300 × √ × √ 150 √ √ √ × 200 √ × √ × 150 √ × × × （1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率； （2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率； （3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？ 24. （2016广西玉林市崇左市）蔬菜经营户老王，近两天经营是青菜和西兰花． （1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？ 青菜 西兰花 进价（元/市斤） 2.8 3.2 售价（元/市斤） 4 4.5 （2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元） 25. （1）发现 如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE． 填空： ①∠DCE的度数是　 ； ②线段CA、CE、CD之间的数量关系是　 　． （2）探究 如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由． （3）应用 如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度鲁教版七年级数学下册期末模拟（二） 一．选择题（共12小题，满分48分） 1. 社会主义核心价值观中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．现将12个词语写在12张不透明的卡片上（背面完全一样），背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到社会层面价值取向的卡片的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用社会层面的价值取向的卡片数量除以总数量即可得． 【详解】解：将12个词语写在12张不透明的卡片上（背面完全一样），背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张， 则抽到社会层面价值取向的卡片的概率为＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查概率公式. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率. 2. 如图，在△ABC中，∠B=58°，∠C=32°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A. 56° B. 58° C. 60° D. 68° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出结论． 【详解】解：∵△ABC中，∠B=58°，∠C=32°， ∴∠BAC=180°-∠B -∠C =180°-58°-32°=90°． ∵直线MN是线段AC的垂直平分线， ∴∠C=∠CAD=32°， ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-32°=58°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和和线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 3. 已知|2x+y+3|+（x-y+3）2=0，则（x+y）2019等于（ ） A. 2019 B. -1 C. 1 D. -2019 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可列二元一次方程组，求出x和y的值代入代数式即可． 【详解】解：∵|2x+y+3|+（x-y+3）2=0， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，乘方的符号规律，绝对值的非负性．理解两个非负数（式）的和为0，那么这两个非负数（式）都为0是解决此题的关键． 4. 能把三角形的面积分成相等的两部分的线段是（ ） A. 三角形的中线 B. 三角形的高 C. 三角形的角平分线 D. 三角形的中线和高 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的概念结合三角形的面积公式，得出结果． 【详解】解：因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形 所以把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的中线． 故选：A． 【点睛】考查了三角形中的重要线段的概念和性质，还考查了三角形的面积，注意三角形的中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式x+1≥2x﹣1，得：x≤2， 解不等式，得：x＜4， 则不等式组的解集为x≤2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=34°，则∠FGC为（ ） A. 34° B. 48° C. 56° D. 68° 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠EF可得∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，根据直线AC'∥BD'得∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，最后由对顶角性质求得∠FGC＝68°． 【详解】解：如图所示： ∵把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕， ∴∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1， ∵AC'∥BD'， ∴∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB， ∵∠EFB＝34°， ∴∠1＝34°， ∴∠3＝2∠1＝68°， 又∵∠FGC＝∠3， ∴∠FGC＝68°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线性质，角平分线的应用，对顶角的性质，解题关键是合理利用平行线的性质以及角平分线的性质． 7. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出a的取值范围即可． 【详解】解：不等式组， 解①得：x＜5， 解②得：x≥， ∵该不等式组有且只有四个整数解， ∴0＜≤1， 解得：﹣2＜a≤2， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法，正确得出关于a的一元一次不等式组是解答的关键． 8. 如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分，若，则的长为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，进而求出，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等， ∴点P到AE、AD的距离相等， ∴点P在∠BAC的平分线上， 故①正确； ∵点P到AE、BC的距离相等， ∴点P在∠CBE的平分线上， 故②正确； ∵点P到AD、BC的距离相等， ∴点P在∠BCD的平分线上， 故③正确； ∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上， 故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟记“在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是解题的关键． 11. 学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组. 【详解】解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆， 根据题意得 ： 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 12. 如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分24分） 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案. 【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形， 所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率． 14. 不等式组的最小整数解是__________． 【答案】0 【解析】 【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分,找出嘴角整数解即可. 详解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为 原不等式组的最小整数解为0. 故答案为0. 点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可. 15. 一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为______千米/小时． 【答案】12 【解析】 【分析】设船的速度为，水流的速度为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设船的速度为，水流的速度为， 由题意可知：逆流航行的时间为10小时，则 ，解得 船在静水中的速度为12千米/小时 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，由于DE是线段AC的垂直平分线，，所以易证，从可知△ABC的周长为：． 【详解】解：∵， ∴， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的周长为： 故答案为:． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE＝CE＝BC． 17. 如图，爱思考的小红观看舞蹈时，发现某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知ABCD，∠BAE=93°，∠DCE=116°，则∠E的度数是______． 【答案】23°##23度 【解析】 【分析】作，根据平行线的性质可得，进而即可求∠E； 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵∠BAE=93°， ∴， ∵ABCD，， ∴， ∴ ∵∠DCE=116°， ∴ ∴， 故答案为：23°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 18. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求出m的取值范围_____． 【答案】1≤m＜2 【解析】 【分析】解不等式组得出m＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】 解不等式，得：x＞m， 解不等式，得：x≤m+2， 所以不等式组的解集为m＜x≤m+2． 方程9﹣x=2x的解为x=3， 方程3+x=2(x+)的解为x=2， 所以m的取值范围是1≤m＜2． 故答案为1≤m＜2． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 解方程组和不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组： （1）加减消元法解方程组即可； （2）求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：，得：， 把，代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 请先阅读下列材料，再解决问题． 例题:已知，求证: 证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得 仿照上例，证明下题：已知，求证． 【答案】见详解. 【解析】 【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立. 【详解】解：∵，且， ∴， 不等式两边同时减去5y，则 ∴. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质进行解题. 21. 已知方程组和方程组有相同的解，则m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，首先求得方程组的解是解题的关键．当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解方程组， 解得， 代入得，， 解得：． 22. （1）如图①，小明同学作出两条角平分线，得到交点，就指出若连接，则平分，你觉得有道理吗？为什么？ （2）如图②，中，，，，的角平分线上有一点，设点到边的距离为.（为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：的最大值为. 小何发现：当时，连接，则平分. 请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由. 【答案】（1）有道理，理由详见解析；（2）小季和小何都正确，理由详见解析 【解析】 【分析】（1）过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，根据角平分线的性质即可得解； （2）根据等积法的相关方法进行求解即可. 【详解】（1）如下图，过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，连接IC ∵AI平分∠BAC，IM⊥AB，IK⊥AC ∴IM=IK，同理IM=IN ∴IK=IN 又∵IK⊥AC，IN⊥BC ∴CI平分∠BCA； （2）如下图，过C点作CE⊥AB于点E，则d最大值为CE长 ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴的最大值为 ∴小季正确； 假设此时平分，如下图，连接AI，BI，过I点作IG，IH，IF分别垂直于AC，BC，AB于点G，H，F ∵AI平分，CD平分∠ACB ∴BI平分∠CBA ∵IG⊥AC，IH⊥BC，ID⊥AB ∴IG=IH=IF=d ∵ ∴ ∴ ∴ ∴假设成立，当时，连接，则平分 ∴小何正确. 【点睛】本题主要考查了等积法及角平分线的性质，熟练掌握等积法的运用及角平分线性质的证明是解决本题的关键. 23. 为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢． 项目 学生数 长跑 短跑 跳绳 跳远 200 √ × √ √ 300 × √ × √ 150 √ √ √ × 200 √ × √ × 150 √ × × × （1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率； （2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率； （3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？ 【答案】（1）；（2）；（3）跳绳 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据求概率的公式即可得到结论；（2）根据求概率的公式即可得到结论；（3）根据求概率的公式求得各项概率进行比较即可得到结论． 试题解析：（1）同时喜欢短跑和跳绳的概率=； （2）同时喜欢三个项目的概率=； （3）同时喜欢短跑的概率=，同时喜欢跳绳的概率=， 同时喜欢跳远的概率=， ∵ ∴同时喜欢跳绳可能性大． 24. （2016广西玉林市崇左市）蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花． （1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？ 青菜 西兰花 进价（元/市斤） 2.8 3.2 售价（元/市斤） 4 4.5 （2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元） 【答案】（1）250；（2）给青菜定售价为不低于4.1元/市斤． 【解析】 【分析】(1)、设批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意列出方程组，解方程组青菜青菜和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱； (2)、设给青菜定售价为a元；根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】(1)、设批发青菜x市斤，西兰花y市斤； 根据题意得： 解得：， 即批发青菜100市斤，西兰花100市斤， ∴100（4﹣2.8）+100（4.5﹣3.2）=120+130=250（元）； 答：当天售完后老王一共能赚250元钱； （2）设给青菜定售价为a元/市斤； 根据题意得：100（1﹣10%）×（x﹣2.8）+100（4.5﹣3.2）≥250， 解得：x≥≈4.1； 答：给青菜定售价为不低于4.1元/市斤． 考点：(1)、一元一次不等式的应用；(2)、二元一次方程组的应用 25. （1）发现 如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE． 填空： ①∠DCE的度数是　 ； ②线段CA、CE、CD之间的数量关系是　 　． （2）探究 如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由． （3）应用 如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长． 【答案】（1）①120°，②CA＝CE+CD；（2）∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由见解析；（3）DA＝5或． 【解析】 【分析】（1）①证△BAD≌△CAE，从而得出∠ACE＝∠B＝60°，进而得出∠DCE的大小； ②根据△BAD≌△CAE可知BD＝CE，从而得出CA＝CE+CD； （2）先证△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，从而得出CA、CE、CD之间的数量关系； （3）如下图，先证点B，C，A，D四点共圆，得出△ADE是等腰直角三角形，最后在Rt△BED中，利用勾股定理可求得． 【详解】（1）发现 解：①∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°； 故答案为：120°， ②∵△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝EC+CD， ∴CA＝BC＝CE+CD； 故答案为：CA＝CE+CD． （2）探究 ∠DCE＝90°；CA＝CD+CE． 理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． ∴△BAD≌△CAE(SAS)． ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°． ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°． 在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA， ∵CB＝CD+DB＝CD+CE， ∴CA＝CD+CE． （3）应用 DA＝5或． 作DE⊥AB于E，连接AD， ∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC＝＝＝2， ∵∠BDC＝90°，DB＝DC， ∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°， ∵∠BDC＝∠BAC＝90°， ∴点B，C，A，D四点共圆， ∴∠DAE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝DE， ∴BE＝6﹣DE， ∵BE2+DE2＝BD2， ∴DE2+(6﹣DE)2＝26， ∴DE＝1，DE＝5， ∴AD＝或AD＝5． 【点睛】本题考查三角形全等的证明与性质，勾股定理的运用，解题关键是找出全等三角形，利用对应边相等的关系进行边长转换，得出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$