精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟试题

2024年浙教版数学八年级下学期期末模拟试卷 考试时间：90分钟 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 谢尔宾斯基地毯 C 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 2. 若反比例函数图象过点，则该图象必经过第（ ）象限 A. 一、三 B. 二、四 C. 一、二 D. 三、四 3. 已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或 7. 已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ） A. 若方程有解，则函数图象一定有交点 B. 若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C. 若方程无解，则函数的图象一定有交点 D. 若方程无解，则函数的图象一定没有交点 8. 如图，已知动点P在反比例函数的图象上，轴于点A，动点B在y轴正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会（ ） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 不变 D. 先变大后变小 9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 四边形和都是正方形，E在上，连接交对角线于点H，交于点I．若要求两正方形的面积之和，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 把化为最简二次根式，结果是______ ． 12. 已知一组数据2，1，x，6的中位数是3，则x的值为______． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值是__________． 14. 若点，， 在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是__________（用“”连接） 15. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 16. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______． 三、解答题（共8题，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 19. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为． （1）若一次性燃烧完药物需10分钟． ①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式． ②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？ （2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？ 20. 如图，已知点E是的边延长线上的一个点，．连接，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请判断四边形的形状并说明理由． 21. 随着科技的发展，某省正加快布局以等为代表的新兴产业．据统计，目前该省基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省基站数是目前的4倍；到后年底，全省基站数量将达到17.34万座． （1）计划在今年底，全省基站数量是多少万座？ （2）按照计划，从今年底到后年底，全省基站数量的年平均增长率为多少？ 22. 如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2． （1）求n的值． （2）若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． （3）若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点四边形是正方形，并求出点F的坐标． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案? 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 问题解决 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 24. 如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且． （1）如图1，若点E是中点． ①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由． ②设，．请探究m，n之间的关系． （2）如图2，，连接，若，，求的长． （3）如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年浙教版数学八年级下学期期末模拟试卷 考试时间：90分钟 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 谢尔宾斯基地毯 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据这一定义分析即可得出答案． 【详解】解： A项不是中心对称图形，故此选项不合题意； B项不是中心对称图形，故此选项不合题意； C项是中心对称图形，故此选项符合题意； D项不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形是旋转180度后两部分完全重合是解题的关键． 2. 若反比例函数的图象过点，则该图象必经过第（ ）象限 A. 一、三 B. 二、四 C. 一、二 D. 三、四 【答案】A 【解析】 【分析】将代入中得到，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴该图象必经过第一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 3. 已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴时，随的增大而减小，时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解本题的关键． 4. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式的定义即可求解． 【详解】方差中“3”是这组数据的平均数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质． 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”， 第一步应是假设∠B=∠C， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 6. 若关于x的方程，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，当时，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，， 则， 解得：； 当时，， 则在中， ， 解得：， 综上：k的值是或， 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解有且只有一个x的值使等式成立． 7. 已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ） A. 若方程有解，则函数的图象一定有交点 B. 若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C. 若方程无解，则函数的图象一定有交点 D. 若方程无解，则函数的图象一定没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】联立函数解析式，得到，得到，结合方程的根的情况，得到的符号，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∴， ∴当方程有解时，，无法判断的符号，函数的图象不一定有交点；故A，B选项错误； 当方程无解时，，则：，∴，即函数的图象一定有交点，故选项正确，D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的个数判断函数图象的交点问题．熟练掌握根与判别式的关系，是解题的关键． 8. 如图，已知动点P在反比例函数的图象上，轴于点A，动点B在y轴正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会（ ） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 不变 D. 先变大后变小 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明轴，则有，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，由此可得结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会不变， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移抛物线解析式的变化原则：“上加下减，左加右减”，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴新抛物线为，即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 10. 四边形和都是正方形，E在上，连接交对角线于点H，交于点I．若要求两正方形的面积之和，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】C 【解析】 【分析】延长，分别交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，且，则两正方形的面积之和为，先根据正方形的性质、勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，分别交于点， 设正方形的边长为，正方形的边长为，且， 则两正方形的面积之和为， ∵四边形和都是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， 则要求两正方形的面积之和，只需知道的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 把化为最简二次根式，结果是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用商的算术平方根法则化简即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式商的算术平方根法则是解本题的关键． 12. 已知一组数据2，1，x，6的中位数是3，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据中位数的定义可得将这组数据按从小到大进行排序后，第2个数和第3个数的和为6，由此即可得． 【详解】解：∵一组数据2，1，x，6的中位数是3， ∴将这组数据从小到大排列后，第2个数和第3个数的和为6， ∴（其他情形不符合题意）， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴, 整理得，， ∴, ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键． 14. 若点，， 在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是__________（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】将点，，代入分别求出、、的值，再进行比较即可． 【详解】解：把点代入得：， 把点代入得：， 把点代入得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段和差，根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵在中，边上的高，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长等于， 如图所示， ∵在中，边上的高为，， ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴的周长等于：， 则的周长等于或， 故答案为：或． 16. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 三、解答题（共8题，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的性质，先将分母有理化，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 其中， ， ∴， ∴，； 小问2详解】 移项得： 因式分解得： ∴，． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握基本的解方程的方法是解题关键． 19. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为． （1）若一次性燃烧完药物需10分钟． ①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x函数表达式． ②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？ （2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？ 【答案】（1）①药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为；②当时，学生不能在教室停留； （2）11分钟 【解析】 【分析】（1）①先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，利用即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；②分别求出药物燃烧时和药物燃烧后， 时，x的值即可得到答案； （2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照（1）①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴药物燃烧时的函数解析式为， ∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为， 把代入中得：， ∴， ∴药物燃烧后的解析式为； ②在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，学生不能在教室停留； 在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，学生不能在教室停留； 综上所述，当时，学生不能在教室停留； 【小问2详解】 解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟， 同理可得当时，， 当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为， 同理可得时，， 在中，当时，， ∴当时为有效消毒时间； 在中，当时，， ∴当时为有效消毒时间； 综上所述，当时为有效消毒时间， ∵有效消毒时间为120分钟， ∴， 解得（负值舍去）， ∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 20. 如图，已知点E是的边延长线上的一个点，．连接，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请判断四边形形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形得到，，由，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 21. 随着科技的发展，某省正加快布局以等为代表的新兴产业．据统计，目前该省基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省基站数是目前的4倍；到后年底，全省基站数量将达到17.34万座． （1）计划在今年底，全省基站数量是多少万座？ （2）按照计划，从今年底到后年底，全省基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】（1）6万座 （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据计划到今年底，全省基站数是目前的4倍，列出算式计算即可； （2）设全省基站数量的年平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【小问1详解】 解：由题意得：（万座）； 答：计划在今年底，全省基站数量是6万座． 【小问2详解】 解：设全省基站数量的年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：全省基站数量的年平均增长率为． 22. 如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2． （1）求n的值． （2）若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． （3）若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 【答案】（1）8 （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可； （2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可； （3）分以为边，为对角线讨论即可． 【小问1详解】 解：∵点B横坐标为2，且B在直线上， ∴， ∴， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 设， ∵轴， ∴D的横坐标为c， 又D在的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：设，则 一、以为边时， ①如图，四边形为正方形， 则，C和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），（舍去）， ∴，， ∴； ②如图，四边形为正方形， 则，D和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 二、以为对角线时， 如图，四边形为正方形， 则是中点，，M和E的纵坐标相同 ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），，（舍去） ∴，，或， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案? 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 问题解决 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 【答案】（1）；（2）可挂6个，（3）21 m 【解析】 【分析】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得． （2）抛物线，得与横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个． （3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，勾股定理求得中，（m）． 【详解】解：（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得 ，解得 ∴． （2）抛物线，令，，解得或10 ∴点 如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称， ∵ ∴左侧可挂3个，桥面可挂6个． 最右侧位于点上方1m处，即点． （3） 如图，当水位达到最高时，水位线为， 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当时，，，， 中，（m），故至少需21 m． 【点睛】本题考查二次函数待定系数法确定解析，图象性质，勾股定理，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 24. 如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且． （1）如图1，若点E是中点． ①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由． ②设，．请探究m，n之间的关系． （2）如图2，，连接，若，，求的长． （3）如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下的最小值． 【答案】（1）①图见解析，，理由见解析；②或； （2）无解 （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，得到，根据E是中点，求出的长，即可得解；②分和两种情况进行讨论求解； （2）利用，，以及，列出方程求出值，进而求出的值即可； （3）将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，，得到，进而推出当三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①如图， ∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴． ∴． ②当时，如图，过点P作于点R ∵ ∴四边形ABRP是矩形， ∴，， 同（1）可得 ∴， ∴． 当时，如图， 同理可得． ∴或． 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 类比（1）②得，（舍去），， 此时，； 故此时的不存在． 【小问3详解】 将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由（1）②可知：， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$