精品解析：江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年八年级上学期第一次月数学考试题

江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年‌八上数学第一次月考试卷 一．选择题（共7小题） 1. 如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE, 若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（ ） A. 36° B. 37° C. 38° D. 45° 2. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，，，则的长为(　　) A. B. C. D. 4. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 84 D. 42 5. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 6. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A 13 B. 14 C. 15 D. 16 二．填空题（共11小题） 8. 如图，，，，，，则__________． 9. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1=110°，则∠GFC′=_______． 10. 已知点P为内一点，且，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若OP=6，则的周长为______． 11. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 12. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A=24°，则∠CDE=________°． 14. 如图，，且，，是上两点，，，若，，，则长为______． 15. 如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则___________． 16. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 17. 如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是_____． 18. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ______． 三．解答题（共6小题） 19. （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 20. （动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF＝AD，AB＝AD+BC． （1）AE与BE垂直吗？说明你的理由； （2）若AE＝5，BE＝3，试求出四边形ABCD的面积． 22. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG长． 23. 已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 24. 定义：如图，为直线同侧两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点关于直线的“等角点”．如图①，在中，分别是上的点，，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，得到图②，延长交的延长线于点，延长至点，使，连接，得到图③，请解答下列问题： （1）在图②中，与的数量关系是 ； （2）在图③中，求证：点为点关于直线“等角点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年‌八上数学第一次月考试卷 一．选择题（共7小题） 1. 如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE, 若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（ ） A. 36° B. 37° C. 38° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和等于180°,求出∠AEB，再根据翻折变换的性质可得AE=CE，根据等边对等角可得∠EAD=∠C，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠EAD+∠C，最后计算即可得解． 【详解】∵ ∴ ∵将△ABC折叠点C与点A重合， ∴AE=CE， ∴∠EAD=∠C， 由三角形的外角性质得，∠AEB=∠EAD+∠C， ∴ ∴ 故选:B. 【点睛】考查折叠性质以及三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 2. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 3. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案． 【详解】如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=11，AC=5， ∴BE=×（11-5）=3． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 4. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 84 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，故阴影部分的面积 ，再根据平移的性质得到，，根据梯形的面积公式即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∴阴影部分的面积 ， 平移距离为6， ，， 阴影部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质，梯形的面积公式，得到阴影部分和梯形的面积相等时解题的关键． 5. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解． 【详解】解：∵BC=16，DC：DB=3：5， ∴CD=，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°， ∴DE=CD=6， 即点D到AB的距离是6cm． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出点D到AB的距离并求出CD的长度是解题的关键． 6. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形两底角相等的性质以及平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三 角形对应角相等可得，然后求出 ，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 【详解】解： 在中， 整理得， 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题． 【详解】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB=EA，GB=GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+EG=16， ∴EA+GC+EG=16， ∴GA+EG+EG+EG+EC=16， ∴AC+2EG=16， ∵EG=1， ∴AC=14， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 二．填空题（共11小题） 8. 如图，，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1=110°，则∠GFC′=_______． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠DEG＝∠1＝110°，再根据翻折的性质得出∠DEF＝55°，∠CFE＝∠FE，进而利用平行线的性质求出∠FE＝125°，∠GFE＝55°，即可求出∠GFC′． 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴ADBC， ∴∠DEG＝∠1＝110°， 由翻折可得，∠DEF＝∠GEF＝∠DEG＝55°，∠CFE＝∠FE， ∵ADBC， ∴∠CFE＝∠FE＝180°－∠DEF＝125°，∠GFE＝∠DEF＝55°， ∴∠GFC′=∠FE－∠GFE＝70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10. 已知点P为内一点，且，分别作出点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，若OP=6，则的周长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，．根据轴对称的性质可得，，，，从而得出的周长，又易证为等边三角形，即得出，即的周长为6． 【详解】如图，连接，． ∵P点关于OA、OB的对称点分别为、， ∴，，，， ∴的周长． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质．解题突破口是根据轴对称的性质得出，，，． 11. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 12. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 【答案】58°##58度 【解析】 【分析】先证明△BAD≌△CAE，利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A=24°，则∠CDE=________°． 【答案】69° 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得∠ACD=∠BCD=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDB，然后根据翻折的性质可得∠CDE=∠CDB． 【详解】解：∵∠ACB=90°，将△CBD沿直线CD翻折180°，得到△CED，点E恰好落在边AC上， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°， 由三角形的外角性质得，∠CDB=∠A+∠ACD=24°+45°=69°， 由据翻折的性质得，∠CDE=∠CDB=69°． 故答案为：69°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 14. 如图，，且，，是上两点，，，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同角的余角相等，由，，，得，，，则，然后证明，最后由全等三角形的性质和线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则___________． 【答案】##20厘米 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出即可． 【详解】∵垂直平分于点F， ∴， ∵， ∴， 即， ∵垂直平分于点D， ∴， 故答案为：． 16. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 17. 如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【详解】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC ∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB ∴△ABP≌△DBP（ASA） ∴AP＝PD， ∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP， ∴S△PBC＝S△ABC＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 18. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ______． 【答案】80° 【解析】 【分析】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求得∠D+∠G＝50°，继而求得答案． 【详解】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN． ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠EPF＝130°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和的性质，从而完成求解． 三．解答题（共6小题） 19. （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可； （2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可； （3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证． 【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下： ∵△ABD≌△ECD，AB＝5， ∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x， ∴AE=2x． 由△ACE三边关系得：， 又∵AC＝3， ∴， 解得：1＜x＜4． 故答案是：1＜x＜4． （2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． ∵D是BC边上的中点， ∴CD＝DB． 在△CDF与△BDG中， ， ∴△CDF≌△BDG（SAS）． ∴CF＝BG， ∵DE⊥DF， ∴． 在△EDF与△EDG中， ， ∴△EDF≌△EDG． ∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG， 即BE+CF＞EF． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键． 20. （动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存，或 【解析】 【分析】（1）证明即可得到线段长； （2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围； （3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值． 【小问1详解】 、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 ，， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； 综上， 【小问3详解】 存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时，． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键． 21. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF＝AD，AB＝AD+BC． （1）AE与BE垂直吗？说明你的理由； （2）若AE＝5，BE＝3，试求出四边形ABCD的面积． 【答案】（1）垂直，理由见解析；（2）15． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAD+∠ABC＝180°，由角平分线的性质得出∠DAE＝∠EAF＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明△AED≌△ AEF（SAS），得出S四边形ADEF＝2S△AEF，同理得出S四边形BCEF＝2S△BEF，则可求出答案． 【详解】解：（1）结论：AE⊥BE． 理由：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， 又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC， ∴∠DAE＝∠EAF＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°， ∵∠EAB+∠ABE+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BE； （2）∵AF＝AD，AB＝AD+BC， ∴BF＝BC， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS）， ∴S四边形ADEF＝2S△AEF， 同理△BEF≌△BEC， ∴S四边形BCEF＝2S△BEF， ∴S四边形ABCD＝S四边形ADEF+S四边形BCEF＝2S△AEF+2S△BEF＝2S△ABE＝2××5×3＝15． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质. 22. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）连接DB，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG，即可求证； （2）证明△ADG≌△ADF，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）解：GAD=FAD，AGD=AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG=(AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键． 23. 已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）与全等，理由见解析；此时 （2）存在，，或， 【解析】 【分析】（1）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可． 【小问1详解】 解：当时，与全等，此时．理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：点的运动速度为，运动的时间为， ∴， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，和全等； ②当，时，， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，和全等． 综上所述：当，或，时，和全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 24. 定义：如图，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点关于直线的“等角点”．如图①，在中，分别是上的点，，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，得到图②，延长交的延长线于点，延长至点，使，连接，得到图③，请解答下列问题： （1）在图②中，与的数量关系是 ； （2）在图③中，求证：点为点关于直线的“等角点”． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意和旋转的性质证明即可求证； （）由可得，进而得，即证明，得到，进而可得，过点作关于的对称点，连接，再证明得到三点共线即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及新概念“等角点”等知识，正确理解新概念“等角点”是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：由（）得，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， 即交直线于点， ∴点为点关于直线的“等角点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$