精品解析：湘教版2022-2023学年九年级数学上册期末复习提高卷

2022—2023学年湘教版数学九年级上册期末复习提高卷 一、单选题 1. 光明中学的七年级学生对月球上是否有水的猜想，有35%的人认为有水，45%的人认为无水，20%的人表示不知道，该校现有七年级学生480人，则认为有水的学生约有（ ） A. 96人 B. 216人 C. 168人 D. 200人 2. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ） A 35sin米 B. 米 C. 35cos米 D. 米 3. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 4. 方程y2＝-a有实数根的条件是（ ） A. a≤0 B. a≥0 C. a>0 D. a为任何实数 5. 在对物体做功一定情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（ ） A. 2.4m B. 1.2m C. 1m D. 0.5m 6. 下列说法正确的是（ ） A. 在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是随机事件 B. 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 C. 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 D. 了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 7. 如图，矩形两对角线相交于点，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 11. 在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ） A. 小王的捐款数不可能最少 B. 小王的捐款数可能最多 C. 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D. 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 12. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( ) A. B. C. D. 13. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A B. C. D. 14. 方程的解是（ ） A. 2或0 B. ±2或0 C. 2 D. －2或0 15. 如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、填空题 16. 卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼__________斤． 17. 如图，矩形的边上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接EF，则=__ 18. 如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________． 19. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 20. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限． 三、解答题 21. 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 22. 某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请你依据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校七年级共有名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？ 23. 如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． （1）求证：△BGC∽△DGF； （2）求证：； （3）若点G是DC中点，求的值． 24. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 25. 已知直角三角形中，，，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合，点为边的中点，当点不与点重合时，过点作线段的垂线与的一边交于点，构造，设点的运动时间为． （1）线段的长为______． （2）点在线段上运动时，用表示线段的长．（线段不0） （3）点在线段上运动，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （4）当点经过点后，作点关于的对称点为，当时，直接写出的值． 26. 阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数． （1）分别判断和是不是王氏函数； （2）若是王氏函数，求的取值范围； （3）若是王氏函数，且的最大值为27，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022—2023学年湘教版数学九年级上册期末复习提高卷 一、单选题 1. 光明中学的七年级学生对月球上是否有水的猜想，有35%的人认为有水，45%的人认为无水，20%的人表示不知道，该校现有七年级学生480人，则认为有水的学生约有（ ） A. 96人 B. 216人 C. 168人 D. 200人 【答案】C 【解析】 【分析】有35%的人认为有水，这里的35%是总数480的35%，所以总数乘以百分比即可． 【详解】解：480×35%=168人． 故选：C． 【点睛】统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体． 2. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ） A. 35sin米 B. 米 C. 35cos米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来． 【详解】在Rt△ABC中， , 即， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，根据解三角函数的定义，列出方程是解题关键． 3. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答． 【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD=3， ∴AB：3=3， ∴AB=9（cm）， ∵外径为10cm， ∴9+2x=10， ∴x=0.5（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长． 4. 方程y2＝-a有实数根的条件是（ ） A. a≤0 B. a≥0 C. a>0 D. a为任何实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 5. 在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（ ） A. 2.4m B. 1.2m C. 1m D. 0.5m 【答案】B 【解析】 【分析】利用点P的坐标求出F=，当F=10时，即F==10，求出s，即可求解． 【详解】解：设函数的表达式F=， 将点P的坐标代入上式得：3=，解得k=12， 则反比例函数表达式为F=， 当F=10时，即F==10， 解得s=1.2（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是随机事件 B. 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 C. 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 D. 了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案． 【详解】解：在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中不可能事件，故A选项不正确； 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，故B选项错误； 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，故该口罩的合格率为90%，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，故C选项正确； 了解某班学生的身高情况适宜全面调查，故D选项错误； 　故选：C． 【点睛】此题考查语句判断，正确理解随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点是解题的关键． 7. 如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出AB的长和∠DAB的度数，然后利用tan∠ADB=即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AB=CD=1， 在Rt△ABD中， tan∠ADB==， ∴∠ADB=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及锐角三角函数，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 8. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，相似三角形的性质与判定等等，根据题干的条件可得出为直角的中线，则，再由角平分线的定义和等边对等角得到，则，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵于点F，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为， 去年上半年平均每周作业时长为分钟， 去年下半年平均每周作业时长为分钟， 今年上半年平均每周作业时长为分钟， 现在平均每周作业时长比去年上半年减少了， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键． 10. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选:D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 11. 在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ） A. 小王的捐款数不可能最少 B. 小王的捐款数可能最多 C. 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D. 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的定义即可判断出：A一定正确，平均数一定大于等于最小的数；B有可能，其它12人的捐款数都少于平均数元，那么小王捐款数要比平均数多2元，此时小王最多；C也可能，当最后一名的捐款数远远低于其它人的捐款数时，平均数有可能比第12位低；D不一定，如果前七名每个人皆比平均数多2元，那么后五名每个人只需要比平均数少元即可，此时小王的捐款数和第7名相同．故选D． 【详解】因为小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，所以小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可能排在第12位.故选D. 【点睛】本题考查算术平均数，一般地，对于n个数x1,x2,……xn,我们把，叫做这个n数的算术平均数，算术平均容易受到极端值的影响，理解这一点很重要． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案. 【详解】四边形OABC正方形，且， ， 将正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形， ∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1， ， 继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……， 发现是8次一循环，所以…余3， 点的坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键. 13. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解． 【详解】如图所示，过F点作∥，交于点I， 证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 ，，，， 又 ，即 解得或（舍去） ， FI∥HM ， ， ， 解得： 经检验：符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系． 14. 方程的解是（ ） A. 2或0 B. ±2或0 C. 2 D. －2或0 【答案】B 【解析】 【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论． 【详解】． 解：∵， ∴， ∴或或， 故选：B． 【点睛】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键． 15. 如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值． 【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∵ ∴，即 ∴DE=AE= ∵BC=AO，且， ∴ ∴ ∴ ∴ 设点A， ∴ 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键． 二、填空题 16. 卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼__________斤． 【答案】600 【解析】 【分析】捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条，据此求出带记号的鱼的频率，用带记号的鱼总数除以频率得鱼塘中鱼的总条数，然后乘以一条鱼的平均质量即可求解． 【详解】解：∵捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条 ∴做记号的鱼被捞出的频率为 =0.1 ∵池塘中共有20条做记号的鱼 ∴池塘中总共约有20÷0.1=200（条） ∴估计鱼塘中鱼的总质量为200×3=600（斤） 故答案为：600． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 17. 如图，矩形的边上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接EF，则=__ 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点M，证明，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出． 【详解】解：过点E作于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形性质与判定，矩形的性质，求正切，证明是解题的关键． 18. 如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可以证得△AOD∽△BOC，再根据相似三角形的性质得到AO∶OD=BO∶OC，从而得到△AOB∽△DOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答． 【详解】解：在△AOD和△BOC中，，∠AOD=∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， ∴AO∶OB=DO∶OC=AD∶BC=1∶2， ∴OB=4，DO=3， ∴在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC，AO∶OD=BO∶OC=2∶3， ∴△AOB∽△DOC， ∴= AO∶OD=2∶3， 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键． 19. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当x≥－2时，x2+x－2=10， 解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）； 当x＜－2时，（－2）2+x－2=10， 解得：x=8（不合题意，舍去）； ∴x=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质确定m的取值范围，进而分析得出答案． 【详解】解：∵反比例函数（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大， ∴k＜0， 又反比例函数的图象经过点， ∴ ∴ ∴在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键． 三、解答题 21. 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2）， （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解出方程； （2）利用配方法解出方程； （3）利用公式法解出方程； （4）利用因式分解法解出方程． 【小问1详解】 解：（1） 所以 【小问2详解】 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得： ， 解得： ，； 【小问3详解】 方程化为一般形式，得， ∴， ∴， ； 【小问4详解】 方程分解得： 可得或， 解得：或． 【点睛】本题考查直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解出方程，掌握这些方法是本题解题关键． 22. 某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请你依据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校七年级共有名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）216人 【解析】 【分析】根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥塑”课程的学生数除以总人数，再乘以即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数； 用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图； 用样本估计总体即可． 小问1详解】 解：参加此次问卷调查的学生人数是：； 选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：． 故答案为：，； 小问2详解】 “绘画”的人数为：人， 补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 名． 答：七年级学生中选择“书法”课程的约有人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23. 如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． （1）求证：△BGC∽△DGF； （2）求证：； （3）若点G是DC中点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF． （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论． （3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴△BGC∽△DCF． 【小问2详解】 证明：由（1）知△BGC∽△DGF， ∴， ∴ ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：由（1）知△BCC∽△DGF， ∴， 在△BGC与△DEC中， ∴△BGC≌△DEC（ASA） ∴ ∵G是CD中点 ∴ ∴ ∵△BGC∽△DGF ∴ 在Rt△BGC中，设，则， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 24. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 （3）9元 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据（1）的解析式将x=3代入求出销售量，再根据每千克利润×销售量=总利润列式求解即可； （3）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（2，120）和（4，140）代入得，， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y=10x+100（0＜x＜20）； 【小问2详解】 解：根据题意得，x=3时销售量， （元）， 答：当每千克干果降价元时，超市获利元； 【小问3详解】 解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090； 解得：x1=1，x2=9；整理得：x2-10x+9=0 为了让顾客获得更大实惠，x=9 答：这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 已知直角三角形中，，，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合，点为边的中点，当点不与点重合时，过点作线段的垂线与的一边交于点，构造，设点的运动时间为． （1）线段的长为______． （2）点在线段上运动时，用表示线段的长．（线段不为0） （3）点在线段上运动，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （4）当点经过点后，作点关于的对称点为，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得； （2）当在线段上时，，当点在的延长线上时，； （3）当是以为腰的等腰三角形时，分情况讨论，解直角三角形即可得到答案； （4）根据题意，分三种情况：当点在上时，是的中点，当点在上时，解直角即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为8； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； ； 【小问3详解】 解：如图1所示： 当时， ， ， ，解得， 当时， ，点是的中点， ， 点和点重合，此时是上的高， ， ， ，解得， 综上所述：或； 【小问4详解】 解：如图2所示： 当点在上时， ，， ， ， ， ， ， 如图3所示： 当点在上时， 同上理可得， 在中，，， ， ， ， 在中，，作于，如图4所示： ， 由平行线分线段成比例可知为中点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，轴对称性质，相似三角形判定与性质等知识，读懂题意，正确分类，作出相应图形，数形结合，灵活运用相关知识求解是解决问题的关键． 26. 阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数． （1）分别判断和是不是王氏函数； （2）若是王氏函数，求的取值范围； （3）若是王氏函数，且的最大值为27，求的值． 【答案】（1）是王氏函数，不是王氏函数 （2）≤ （3）3 【解析】 【分析】（1）利用王氏函数的定义判断即可； （2）先利用王氏函数的定义化简得到有≥恒成立，即≥，再利用x的范围即可得出L的范围； （3）先利用李氏函数的定义得出结论化简得有≥，即，最后求出a的值． 【小问1详解】 由≥得 ①， ∴=3 ∴（满足） ②， ∴= ∴（不是定值，不满足） ∴是王氏函数，不是王氏函数； 【小问2详解】 若是王氏函数，则有≥恒成立，即≥ ∵， 设 ∴ ∴≤恒成立 ∴≤ 故≤； 【小问3详解】 由题≥ ∴且 ∴，， 即 ∴ 所求的值是3． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$