广东省2024届学业水平考试（春季高考）数学科模拟三

2024届广东学业水平考试（春季高考）数学科模拟三（原卷版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（   ） A．950 B．1000 C．1050 D．1100 3. 复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4．已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．“sin A＝”是“A＝30°”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 7. 若不等式的解集为，则（ ） A. 1 B. C. D. 8.设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，点D在边AB上，．记，则 (　　) A． B． C． D． 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 12. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为 ． 14．若正数满足，则的最小值是 ． 15．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 16．若为第二象限角，且，则tan＝ ． 17．已知函数，若，则 . 18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1—BD—C的大小为__________． 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在） （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的 中位数及样本数据的平均数； 20.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 21. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 （1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费； （2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量． 22. 如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点. （1）求、两地之间的距离； （2）求. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届广东学业水平考试（春季高考）数学科模拟三（解析版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，，则（     ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】因为，，所以．故选B． 2．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（   ） A．950 B．1000 C．1050 D．1100 【答案】D 【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可. 【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样，则. 故选：D. 3. 复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，利用复数乘法运算求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：D 4．已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 5．“sin A＝”是“A＝30°”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 B　[因为sin 30°＝，所以“sin A＝”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是，故“sin A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故“sin A＝”是“A＝30°”的必要不充分条件． 6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】如图所示，截面正方形ABCD的面积为16，故边长，即底面半径，侧棱长为，则圆柱的侧面积是．故选B． 7. 若不等式的解集为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 8.设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数、对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：，，所以， ， 所以. 故答案为：A. 9. 函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令指数为，求出，再代入计算可得； 【详解】解：令，解得， 所以当时，， 所以函数过定点. 故选：B 10. 在中，点D在边AB上，．记，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：因点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 C　解析：如图，连接AC1，BC1，AC． 因为AB⊥平面BB1C1C， 所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角， 所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2， 所以在Rt△ABC1中，AC1＝＝4． 在Rt△ACC1中， CC1＝＝＝2， 所以V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8． 12. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解. 【详解】解：因为是奇函数且，所以， 又当时，， 所以，解得， 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为 ． 【答案】 【分析】利用独立事件乘法公式计算即可. 【详解】甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，互不影响，互相独立， 故2人都射中的概率为 故答案为： 14．若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】，，，（当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 15．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 16．若为第二象限角，且，则tan＝ ． 【答案】－ 【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得． 【详解】因为为第二象限角，且，所以， 所以． 故答案为：． 17．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】代入，求出，得到. 【详解】，故， 所以， 则. 故答案为： 18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1—BD—C的大小为__________． 30°　解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O． 因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD． 因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角． 在Rt△C1CO中，C1C＝，CO＝AC＝， 则C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝． 由图可知，二面角C1­BD­C为锐二面角， 所以∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°． 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在） （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数； 【详解】（1）月收入在的频率为．………………2分 （2）从左数第一组的频率为； 第二组的频率为； 第三组的频率为；………………4分 ∴中位数位于第三组，设中位数为，则 ∴ ………………7分 样本数据的中位数为2400（元） 由， 样本数据的平均数为2400（元）．………………10分 20.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 20．【解析】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面， ∵平面，∴，………………1分 ∵在中，，，， ∴，∴， ∴．………………2分 ，………………3分 ∴平面，………………4分 ∵平面，∴．………………5分 （2）∵是中点，∴………………7分 ∵平面，，………………8分 ∴．………………10分 21. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 （1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费； （2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量． 解：（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.………………3分 （2）设用水量为，需要缴纳的水费为， 由题可知，………………5分 整理得，………………6分 当时，，………………7分 当时，，………………8分 当时，，………………9分 所以令， 解得，因此乙用户该月的用水量为.………………10分 22. 如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点. （1）求、两地之间的距离； （2）求. 解：（1）由余弦定理可得： …………4分 所以，.………………6分 （2）由余弦定理可得，………………8分 所以，，则为锐角，故，………………10分 因此，.………………12分 19．在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可求出角B的值； （2）由已知求出的值，再利用诱导公式和两角和的正弦公式可求得结果 【详解】（1）在中，由余弦定理可知，因为，所以，又，得， （2）因为，所以， 在中，， 则 9. 在中，，点P是的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得； 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，，所以 故选：C 下列命题为真命题的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．【答案】B 【解析】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误． 故选B． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$