辽宁省本溪市高级中学高一数学：《二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳》专题

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 本溪高中高一数学组 1、一元二次方程 根的分布情况 设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为 ，方程的根即为二次函数图象与 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（ ） 得出的结论 大致图象（ ） 得出的结论 综合结论（不讨论 ） 表二：（两根与 的大小比较） 分布情况 两根都小于 即 两根都大于 即 一个根小于 ，一个大于 即 大致图象（ ） 得出的结论 大致图象（ ） 得出的结论 综合结论（不讨论 ） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在 内 两根有且仅有一根在 内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在 内，另一根在 内， 大致图象（ ） 得出的结论 或 大致图象（ ） 得出的结论 或 综合结论（不讨论 ） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧 ，（图形分别如下）需满足的条件是 （1） 时， ； （2） 时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况： 若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值。如方程 在区间 上有一根，因为 ，所以 ，另一根为 ，由 得 即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 有且一根在区间 内，求 的取值范围。分析：①由 即 得出 ；②由 即 得出 或 ，当 时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；综上分析，得出 或 根的分布练习题 例1、已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。 解：由 即 ，从而得